MathGymOS/ Analytische Geometrie/ Lage/ Ebenen 2

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Normalenvektoren[Bearbeiten]

Ein Solarpanel

Damit Solarzellen optimal die Sonnenenergie in elektrischen Strom umwandeln können sollten die Sonnenstrahlen möglichst senkrecht auf das Solarpanel treffen.

Ein Solarpanel befindet sich in der Ebene:

Der Vektor ist orthogonal zu beiden Richtungsvektoren der Ebene, denn

und

damit ist auch orthogonal zu jedem Verbindungsvektor von je zwei Punkten der Ebene. Ein solcher Vektor wird als ein Normalenvektor der Ebene bezeichnet. Kommen die Sonnenstrahlen aus Richtung dieses Vektors, dann treffen sie senkrecht auf das Solarpanel.

Definition

Ein Normalenvektor einer Ebene ist orthogonal zu jedem Verbindungsvektor je zwei unterschiedlicher Punkte der Ebene. Sind P und Q Punkte der Ebene mit Ortsvektoren und so gilt

bzw. .
 


Ist die Ebene E in Parameterform gegeben

so ist jeder Normalenvektor orthogonal zu beiden Richtungsvektoren, d.h. und .

Anders ausgedrückt und ,

bzw.

Dieses Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen. Jede dieser Lösungen liefert einen möglichen Normalenvektor der Ebene.

Es gibt unendlich viele Normalenvektoren zu einer Ebene E, die aber alle kollinear sind.

Der vermeintlich schnellere Weg zum Normalenvektor benötigt das Vektorprodukt. Ein möglicher Normalenvektor der Ebene E ist:

.

Einheitsnormalenvektoren[Bearbeiten]

Definition

Ein Einheitsnormalenvektor ist ein Normalenvektor mit Betrag .

 


Ist ein Normalenvektor einer Ebene, so ist ein Einheitsnormalenvektor.

Es gibt zu einer Ebene E genau zwei Einheitsnormalenvektoren, die sich nur in ihrer Orientierung unterscheiden.


Die Allgemeine Normalenform[Bearbeiten]

Das Solarpanel im obigen Beispiel befindet sich in der Ebene Ein Punkt dieser Ebene ist der Punkt P mit Ortsvektor . Ein Normalenvektor der Ebene ist .

Dann gilt für jeden Punkt X der Ebene mit Ortsvektor , dass der Verbindungsvektor orthogonal zu ist, oder kurz .

Für jeden Punkt Y (Ortsvektor ), der nicht auf der Ebene liegt, ist dagegen der Verbindungsvektor auch nicht orthogonal zu , anders ausgedrückt .

Normalenvektor.png

Damit erfüllen ausschließlich die Punkte X mit Ortsvektor die zur Ebene E gehören die folgende (Punkt-)Normalen-Gleichung:

Löst man die eckige Klammer auf und rechnet das Skalarprodukt aus, so erhält man:

Diese Darstellungsformen der Ebene heißen Normalenformen der Ebene.

Definition

Ist ein Normalenvektor einer Ebene E und ist der Ortsvektoren eines Punkte von E, dann nennt man folgende Gleichungen eine Normalenform (NF) von E:

bzw. mit

Diese erste Darstellung wird manchmal auch Punkt-Normalen-Form (PNF) und die zweite Allgemeine-Normalen-Form (ANF) genannt.

 



Die Hesse'sche Normalenform[Bearbeiten]

Die Wahl des Normalenvektors zur Darstellung einer Ebene in Normalenform ist nicht eindeutig. Beschränkt man sich auf einen Einheitsnormalenvektor, so erhällt man eine Hesse'sche Normalenform der Ebene. Diese ist dann bis auf das Vorzeichen eindeutig.

Ist eine Ebene in Normalenform gegeben

so erhällt man eine Hesse'sche Normalenform durch Division durch :

bzw. mit und :

Definition

Die Darstellung der Ebene E durch die Gleichung

,

wobei ein Einheitsnormalenvektor ist, wird Hesse'sche Normalenform (HNF) genannt.

 


Regel

Die Zahl ist charakteristisch für die Ebene. Sie beschreibt gerade den Abstand der Ebene zum Ursprung.

 




Die Koordinatenform[Bearbeiten]

Die allgemeine Normalenform einer Ebene

lässt sich auch schreiben als

Führt man das Skalarprodukt aus, erhält man ein Koordinatenform der Darstellung von E.

Definition

Die Darstellung der Ebene E durch die Gleichung:

heißt eine Koordinatenform der Ebene (KF).

 



Von der Normalenform oder der Koordinatenform zurück zur Parameterform[Bearbeiten]

Mit Hilfe der Koordinatenform ist es sehr leicht, drei verschiedene Punkte zu finden, die auf der Ebene liegen, aber nicht auf einer gemeinsamen Gerade. Das können z.B. die drei Spurpunkte sein, falls diese existieren. Aus den drei Punkten lässt sich dann wie hier beschrieben die Parameterform der Ebene konstruieren.


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