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Parameterform einer Ebene

Genau wie Geraden lassen sich auch Ebenen mit Hilfe von Vektoren beschreiben, indem eine Vektorgleichung angegeben wird, die die Ortsvektoren aller Punkte der Ebene erfüllen. Diese Parameterdarstellung der Ebene enthält wie die Darstellung der Geraden einen Stützvektor, aber im Gegensatz zu dieser zwei Richtungsvektoren (statt einem bei der Gerade).

Definition

Jede Ebene E lässt sich durch eine Gleichung der Form

E:\;{\vec {x}}={\vec {p}}+s\cdot {\vec {u}}+t\cdot {\vec {v}}\qquad \left(s,t\in \mathbb {R} \right)

beschreiben. Hierbei ist ${\vec {p}}$ ein Stützvektor und ${\vec {u}}$ und ${\vec {v}}$ sind Richtungsvektoren von E. Diese Richtungsvektoren dürfen nicht kollinear sein. Diese Darstellung von E heißt (wie bei der Darstellung von Geraden bereits erläutert) Parameterform.

Für jedes Paar von Parametern (s;t), welches man in die Parameterform der Ebene E einsetzt, erhält man den Ortsvektor eines Punktes der Ebene. Umgekehrt gibt es für jeden Punkt der Ebene ein Paar von Parametern (s;t), so dass ${\vec {p}}+t\cdot {\vec {u}}+s\cdot {\vec {v}}$ der Ortsvektor des Punktes ist.

Bemerkung: Die Parameterform lässt sich relativ leicht aufstellen, hat aber dafür den Nachteil, dass es zu einer Ebene verschiedene Parameterformen gibt, denen man ohne viel zu rechnen nicht ansieht, dass sie die selbe Ebene beschreiben, siehe unten.

Von drei Punkten zur Ebene

Drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, legen eine Ebene eindeutig fest. Eine Parameterform der Ebene E, die durch die Punkte $A\left(a_{1}|a_{2}|a_{3}\right)$ , $B\left(b_{1}|b_{2}|b_{3}\right)$ und $C\left(c_{1}|c_{2}|c_{3}\right)$ verläuft, kann wie folgt bestimmt werden.

Ein möglicher Stützvektor ist ${\vec {p}}={\overrightarrow {OA}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\\end{pmatrix}}$
Falls A, B und C nicht auf einer gemeinsamen Gerade liegen, sind folgende Vektoren zwei mögliche Richtungsvektoren: ${\vec {u}}={\overrightarrow {AB}}={\begin{pmatrix}b_{1}-a_{1}\\b_{2}-a_{2}\\b_{3}-a_{3}\\\end{pmatrix}}$ und ${\vec {v}}={\overrightarrow {AC}}={\begin{pmatrix}c_{1}-a_{1}\\c_{2}-a_{2}\\c_{3}-a_{3}\\\end{pmatrix}}$

Damit ergibt sich als eine mögliche Parameterform

E:\;{\vec {x}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}b_{1}-a_{1}\\b_{2}-a_{2}\\b_{3}-a_{3}\\\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}c_{1}-a_{1}\\c_{2}-a_{2}\\c_{3}-a_{3}\\\end{pmatrix}}\qquad \left(s,t\in \mathbb {R} \right)

Punktprobe

Es soll geprüft werden, ob der Punkt $Q\left(q_{1}|q_{2}|q_{3}\right)$ auf der Ebene mit folgender Parameterform liegt:

\Rightarrow E:\;{\vec {x}}={\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\\\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\\end{pmatrix}}\qquad \left(s,t\in \mathbb {R} \right)

.

Die Vektorgleichung ${\overrightarrow {OQ}}={\vec {p}}+s\cdot {\vec {u}}+t\cdot {\vec {v}}$ führt zu den drei Gleichungen:

{\begin{matrix}q_{1}&=&p_{1}&+&u_{1}\cdot s&+&v_{1}\cdot t\\q_{2}&=&p_{2}&+&u_{2}\cdot s&+&v_{2}\cdot t\\q_{3}&=&p_{3}&+&u_{3}\cdot s&+&v_{3}\cdot t\\\end{matrix}}

Dieses lineare Gleichungssystem enthält entweder eine überflüssige Information oder einen Widerspruch. Führt das Gleichungssystem zu einem Widerspruch, so liegt Q nicht auf E; führt es zu keinem Widerspruch, so liegt Q auf E.

Beispiele

Durch die Punkte $A\left(-1|1|2\right)$ , $B\left(-1|3|1\right)$ und $C\left(4|2|-4\right)$ verläuft die Ebene:

E:\;{\vec {x}}={\begin{pmatrix}-1\\1\\2\\\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}-1-(-1)\\3-1\\1-2\\\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}4-(-1)\\-2-1\\-4-2\\\end{pmatrix}}

also

E:\;{\vec {x}}={\begin{pmatrix}-1\\1\\2\\\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}0\\2\\-1\\\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}5\\-3\\-6\\\end{pmatrix}}\qquad \left(s,t\in \mathbb {R} \right)

Die Ebene E verläuft darüber hinaus durch den Punkt $D\left(14|-10|-15\right)$ für $s=-1$ und $t=3$ .
Liegt auch der Punkt $P\left(4|0|-2\right)$ auf E?