MathGymOS/ Analytische Geometrie/ Geraden und Ebenen/ Geraden

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Ursprungsgeraden[Bearbeiten]

Im Abschnitt zur Multiplikation mit Skalaren wurde in einem Beispiel die Ursprungsgerade durch den Punkt bzw. betrachtet. Es wurde festgestellt, dass die beiden Geraden identisch waren. Dies liegt daran, dass die Ortsvektoren von P und Q kollinear sind. Allgemein gilt, dass alle Punkte, deren Ortsvektoren kollinear sind, auf ein und derselben Ursprungsgeraden liegen.

Definition

Für einen festen Vektor bzw. , der nicht der Nullvektor ist, beschreibt die Menge

eine Ursprungsgerade.

Es hat sich eingebürgert, auf die Mengenschreibweise zu verzichten. Die Gleichung

wird als Parameterform der Ursprungsgerade g bezeichnet, denn für jeden Parameter erhält man den Ortsvektor eines Punktes der Ursprungsgeraden und umgekehrt zu jedem Punkt der Ursprungsgeraden gibt es einen Parameter t, so dass den Ortsvektor des Punktes ergibt.

Der Vektor wird als Richtungsvektor der Ursprungsgeraden bezeichnet.

 


Parameterform allgemeiner Geraden[Bearbeiten]

Eine Gerade, die nicht durch den Koordinatenursprung verläuft, lässt sich durch eine Verschiebung aus einer Ursprungsgerade konstruieren. Aus einer Ursprungsgeraden

ergibt sich eine andere Gerade

die parallel zur Ursprungsgeraden ist und durch den Punkt mit Ortsvektor verläuft.

Definition
Parameterform-Gerade.png
Jede Gerade g lässt sich durch eine Gleichung der Form

beschreiben. Hierbei ist ein Stützvektor (oder Antragsvektor) und ein Richtungsvektor von g. t ist ein Parameter, für den verschiedene reelle Zahlen eingesetzt werden können. Deshalb heißt diese Darstellung von g Parameterform.

Für jeden Parameter t, den man in die Parameterform der Geraden g einsetzt, erhält man den Ortsvektor eines Punktes der Geraden, und für jeden Punkt der Gerade gibt es einen Parameter t, so dass der Ortsvektor des Punktes ist.

 


Von zwei Punkten zur Gerade[Bearbeiten]

Es soll eine Parameterform der Geraden g durch die Punkte und gefunden werde.

Als Stützvektor können z.B. die Ortsvektoren von A und B dienen .

Die Verbindungsvektoren zwischen A und B sind mögliche Richtungsvektoren

Punktprobe[Bearbeiten]

Es soll geprüft werden, ob der Punkt auf der Geraden mit folgender Parameterform liegt:

.

Die Vektorgleichung führt zu den drei Gleichungen:

Führen alle drei Gleichungen zur selben Lösung für t, so liegt Q auf g, sonst nicht.


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