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Ursprungsgeraden

Im Abschnitt zur Multiplikation mit Skalaren wurde in einem Beispiel die Ursprungsgerade durch den Punkt $P\left(3|-9\right)$ bzw. $Q\left(2|-6\right)$ betrachtet. Es wurde festgestellt, dass die beiden Geraden identisch waren. Dies liegt daran, dass die Ortsvektoren von P und Q kollinear sind. Allgemein gilt, dass alle Punkte, deren Ortsvektoren kollinear sind, auf ein und derselben Ursprungsgeraden liegen.

Definition

Für einen festen Vektor ${\vec {u}}\in \mathbb {R} ^{2}$ bzw. ${\vec {u}}\in \mathbb {R} ^{3}$, der nicht der Nullvektor ist, beschreibt die Menge

$g:=\left\{X{\mbox{ Punkte}}\left|{\overrightarrow {OX}}=t\cdot {\vec {u}},\;\left(t\in \mathbb {R} \right)\right.\right\}$

eine Ursprungsgerade.

Es hat sich eingebürgert, auf die Mengenschreibweise zu verzichten. Die Gleichung

$g:\;{\vec {x}}=t\cdot {\vec {u}},\;\left(t\in \mathbb {R} \right)$

wird als Parameterform der Ursprungsgerade g bezeichnet, denn für jeden Parameter $t\in \mathbb {R}$ erhält man den Ortsvektor eines Punktes der Ursprungsgeraden und umgekehrt zu jedem Punkt der Ursprungsgeraden gibt es einen Parameter t, so dass $t\cdot {\vec {u}}$ den Ortsvektor des Punktes ergibt.

Der Vektor ${\vec {u}}$ wird als Richtungsvektor der Ursprungsgeraden bezeichnet.

 

Parameterform allgemeiner Geraden

Eine Gerade, die nicht durch den Koordinatenursprung verläuft, lässt sich durch eine Verschiebung aus einer Ursprungsgerade konstruieren. Aus einer Ursprungsgeraden

$g_{0}:\;{\vec {x}}=t\cdot {\vec {u}}\;\left(t\in \mathbb {R} \right)$

ergibt sich eine andere Gerade

$g_{1}:\;{\vec {x}}={\vec {p}}+t\cdot {\vec {u}}\;\left(t\in \mathbb {R} \right)$

die parallel zur Ursprungsgeraden ist und durch den Punkt mit Ortsvektor ${\vec {p}}$ verläuft.

Definition

Jede Gerade g lässt sich durch eine Gleichung der Form

$g:\;{\vec {x}}={\vec {p}}+t\cdot {\vec {u}}\qquad \left(t\in \mathbb {R} \right)$

beschreiben. Hierbei ist ${\vec {p}}$ ein Stützvektor (oder Antragsvektor) und ${\vec {u}}$ ein Richtungsvektor von g. t ist ein Parameter, für den verschiedene reelle Zahlen eingesetzt werden können. Deshalb heißt diese Darstellung von g Parameterform.

Für jeden Parameter t, den man in die Parameterform der Geraden g einsetzt, erhält man den Ortsvektor eines Punktes der Geraden, und für jeden Punkt der Gerade gibt es einen Parameter t, so dass ${\vec {p}}+t\cdot {\vec {u}}$ der Ortsvektor des Punktes ist.

 

Von zwei Punkten zur Gerade

Es soll eine Parameterform der Geraden g durch die Punkte $A\left(a_{1}|a_{2}|a_{3}\right)$ und $B\left(b_{1}|b_{2}|b_{3}\right)$ gefunden werde.

Als Stützvektor können z.B. die Ortsvektoren von A und B dienen ${\vec {p}}={\overrightarrow {OA}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\\end{pmatrix}}$.

Die Verbindungsvektoren zwischen A und B sind mögliche Richtungsvektoren ${\vec {u}}={\overrightarrow {AB}}={\begin{pmatrix}b_{1}-a_{1}\\b_{2}-a_{2}\\b_{3}-a_{3}\\\end{pmatrix}}$

$\Rightarrow g:\;{\vec {x}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}b_{1}-a_{1}\\b_{2}-a_{2}\\b_{3}-a_{3}\\\end{pmatrix}}\qquad \left(t\in \mathbb {R} \right)$

Punktprobe

Es soll geprüft werden, ob der Punkt $Q\left(q_{1}|q_{2}|q_{3}\right)$ auf der Geraden mit folgender Parameterform liegt:

$g:\;{\vec {x}}={\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\\\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\\end{pmatrix}}\qquad \left(t\in \mathbb {R} \right)$.

Die Vektorgleichung ${\overrightarrow {OQ}}={\vec {p}}+t\cdot {\vec {u}}$ führt zu den drei Gleichungen:

${\begin{matrix}q_{1}&=&p_{1}&+&u_{1}\cdot t\\q_{2}&=&p_{2}&+&u_{2}\cdot t\\q_{3}&=&p_{3}&+&u_{3}\cdot t\\\end{matrix}}$

Führen alle drei Gleichungen zur selben Lösung für t, so liegt Q auf g, sonst nicht.

Beispiele

Gerade g aus 2 Punkten und Punktprobe

• Durch die Punkte $A\left(-7|7|-6\right)$ und $B\left(-4|8|-4\right)$ verläuft die Gerade:

$g:\;{\vec {x}}={\begin{pmatrix}-7\\7\\-6\\\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}-4-(-7)\\8-7\\-4-(-6)\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-7\\7\\-6\\\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}3\\1\\2\\\end{pmatrix}}\qquad \left(t\in \mathbb {R} \right)$

• Die Gerade g verläuft darüber hinaus durch die Punkte $C\left(-10|6|-8\right)$ für $t=-1$ und $D\left(2|10|0\right)$ für $t=3$.
• Liegen auch die Punkte $P\left(-1|9|-2\right)$ und $Q\left(-1|1|2\right)$ auf g?

P liegt auf g, denn

${\begin{matrix}-1&=&-7&+&t\cdot 3&\Rightarrow &t=2\\9&=&7&+&t\cdot 1&\Rightarrow &t=2\\-2&=&-6&+&t\cdot 2&\Rightarrow &t=2\\\end{matrix}}$

Q liegt dagegen nicht auf g, denn

${\begin{matrix}-1&=&-7&+&t\cdot 3&\Rightarrow &t=2\\1&=&7&+&t\cdot 1&\Rightarrow &t=-6\\2&=&-6&+&t\cdot 2&\Rightarrow &t=4\\\end{matrix}}$

• Ein Flugzeug befindet sich in einer Höhe von 1200 m, 20 km südlich und 30 km westlich vom Flughafen. Es sinkt mit einer Geschwindigkeit von 3 m/s. Gleichzeitig bewegt es sich anteilsmäßig mit einer Geschwindigkeit von 100 m/s in Richtung Norden und 225 m/s in Richtung Osten.

Legt man in einem Koordinatensystem mit dem Flughafen im Ursprung die Nord-Süd-Richtung als 1. Koordinatenachse, die West-Ost-Richtung als 2. Koordinatenachse und die Höhe als 3. Koordinatenachse fest, dann beschreibt die Gerade für t in Sekunden

$g:\;{\vec {x}}={\begin{pmatrix}20.000\,m\\-30.000\,m\\1200\,m\\\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}-100\,m/s\\225\,m/s\\-3\,m/s\end{pmatrix}}\qquad \left(t\in \mathbb {R} \right)$

die Flugbahn des Flugzeuges bei gleichbleibender Geschwindigkeit.

 

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