MathGymOS/ Analytische Geometrie/ Geraden und Ebenen/ Strecken

Strecken und Teilverhältnisse

Eine Strecke besitzt im Gegensatz zu einer Geraden zwei Endpunkte. Als Parameter dürfen daher nicht alle Werte aus den reellen Zahlen, sondern nur die Werte eines abgeschlossenen Intervalls eingesetzt werden.

Definition

Jede Strecke s lässt sich durch eine Gleichung der Form

$s:\;{\vec {x}}={\vec {p}}+t\cdot {\vec {u}}\qquad \left(t\in \left[a;b\right]\right)$

beschreiben. Hierbei sind a und b reelle Zahlen mit a<b.

 

Die Ortsvektoren dieser Endpunkte der Strecke erhält man, wenn man die Grenzen des Intervalls a bzw. b für t einsetzt. Häufig werden Strecken auch nach diesen Endpunkten benannt. Als Symbol wird über die Endpunkte dann ein Querstrich geschrieben. Das Symbol ${\overline {AB}}$ beschreibt nach dieser Notation die Strecke mit den Endpunkten A und B. Die Länge der Strecke ist der Abstand ihrer Endpunkte, also der Betrag des Verbindungsvektors zwischen diesen Endpunkten $\left|{\overrightarrow {AB}}\right|$.

In einigen mathematischen Problemen stellt sich die Frage, in welchem Verhältnis ein bestimmter Punkt einer Strecke dieselbe teilt.

Definition

Ist T ein Punkt der Geraden durch die Punkte A und B und gilt

${\overrightarrow {AT}}=\tau \cdot {\overrightarrow {TB}}$, dann ist $\tau$ das Teilverhältnis des Punktes T bezüglich der Strecke mit den Endpunkten A und B.

 

Beachte: In dieser Definition muss der Punkt T nicht zwangsläufig innerhalb der Strecke ${\overline {AB}}$ liegen. Es ist lediglich gefordert, dass T auf der Geraden durch A und B liegt. Ist $\tau >0$, dann liegt T innerhalb der Strecke mit Endpunkten A und B. Ist $\tau <0$, dann liegt T außerhalb der Strecke mit Endpunkten A und B.

Ist T ein Punkt der Strecke mit Endpunkten A und B, so gibt es einen Parameter s mit dem sich der Ortsvektor von T nach der Parameterform der Strecke darstellen lässt. Sei ${\overrightarrow {OT}}={\overrightarrow {OA}}+s\cdot {\overrightarrow {AB}}$.

• Ist $\tau \neq -1$ als das obige Teilverhältnis gegeben, so ist $s={\frac {\tau }{1+\tau }}$.
• Ist $s\neq 1$ gegeben, so beschreibt $\tau ={\frac {s}{1-s}}$ das Teilverhältnis.

Beispiele

• Die Strecke

$s:\;{\vec {x}}={\begin{pmatrix}-1\\1\\2\\\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}0\\6\\-3\\\end{pmatrix}}\qquad \left(t\in \left[0;1\right]\right)$

Hat die Endpunkte $\left(-1|1|2\right)$ und $\left(-1|7|-1\right)$ und somit die Länge ${\sqrt {45}}$.

• Der Punkt $T\left(-1|3|1\right)$ liegt auf der Strecke ${\overline {AB}}$.

${\overrightarrow {AT}}={\begin{pmatrix}0\\2\\-1\\\end{pmatrix}}={\frac {1}{2}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\4\\-2\\\end{pmatrix}}=\tau \cdot {\overrightarrow {TB}}$

Also teilt T die Strecke ${\overline {AB}}$ im Verhältnis ${\frac {1}{2}}$ oder 1:2 (gesprochen: eins zu zwei). Der Parameter s ergibt sich dann zu $s={\frac {1}{3}}$.

 

Anwendung: Sätze über Teilverhältnisse in geometrischen Figuren

Gegeben ist ein Parallelogramm mit Eckpunkten A, B, C und D. Der Punkt M sei der Mittelpunkt der Strecke ${\overline {DC}}$. Im welchem Verhältnis schneiden sich die Strecken ${\overline {AC}}$ und ${\overline {BM}}$?

Es gilt

${\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BT}}+{\overrightarrow {TA}}={\vec {0}}\qquad (\star )$

Es sei ${\overrightarrow {AD}}={\vec {a}}$ und ${\overrightarrow {AB}}={\vec {b}}$. Dann sind mit noch unbekannten Parametern t und s:

${\overrightarrow {BT}}=t\cdot {\overrightarrow {BM}}=t\cdot \left({\overrightarrow {BC}}+{\overrightarrow {CM}}\right)=t\cdot \left({\vec {a}}-{\frac {1}{2}}\cdot {\vec {b}}\right)$

${\overrightarrow {TA}}=-s\cdot {\overrightarrow {AC}}=-s\cdot \left({\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BC}}\right)=-s\cdot \left({\vec {a}}+{\vec {b}}\right)$

Einsetzen in $(\star )$ liefert:

${\begin{array}{lccccl}&{\vec {b}}+t\cdot \left({\vec {a}}-{\frac {1}{2}}\cdot {\vec {b}}\right)&-&s\cdot \left({\vec {a}}+{\vec {b}}\right)&=&{\vec {0}}\\\Rightarrow &\left(1-{\frac {1}{2}}\cdot t-s\right)\cdot {\vec {b}}&+&\left(t-s\right)\cdot {\vec {a}}&=&{\vec {0}}\\\Rightarrow &1-{\frac {1}{2}}\cdot t-s=0&\wedge &t-s=0&&\\\Rightarrow &s={\frac {2}{3}}&\wedge &t=s&&\\\end{array}}$

Es gilt

${\overrightarrow {TA}}=-{\frac {2}{3}}\cdot {\overrightarrow {AC}}\Rightarrow {\overrightarrow {AT}}={\frac {2}{3}}\cdot {\overrightarrow {AC}}\Rightarrow {\overrightarrow {OT}}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {AT}}={\overrightarrow {OA}}+{\frac {2}{3}}\cdot {\overrightarrow {AC}}$

Mit $\tau _{1}={\frac {s}{1-s}}={\frac {2}{1}}$ folgt, dass T die Strecke ${\overline {AC}}$ im Verhältnis 2:1 teilt.

Ferner gilt

${\overrightarrow {BT}}={\frac {2}{3}}\cdot {\overrightarrow {BM}}\Rightarrow {\overrightarrow {OT}}={\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {BT}}={\overrightarrow {OB}}+{\frac {2}{3}}\cdot {\overrightarrow {BM}}$

Mit $\tau _{2}={\frac {t}{1-t}}={\frac {2}{1}}$ folgt, dass T auch die Strecke ${\overline {BM}}$ im Verhältnis 2:1 teilt.

Allgemeine Vorgehensweise

• Der Schnittpunkt der zu betrachtenden Strecken sei T.
• Finde eine geschlossene Vektorkette, die den Punkt T beinhaltet und über Teilstücke beider Strecken verläuft.
  Im Beispiel: ${\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BT}}+{\overrightarrow {TA}}={\vec {0}}$
• Stelle jeden der in dieser Vektorkette beteiligten Vektoren mit Hilfe von zwei nicht kollinearen Vektoren und unbekannten Parametern dar.
  Im Beispiel: ${\overrightarrow {AB}}={\vec {b}},\;{\overrightarrow {BT}}=t\cdot \left({\vec {a}}-{\frac {1}{2}}\cdot {\vec {b}}\right),\;{\overrightarrow {TA}}=-s\cdot \left({\vec {a}}+{\vec {b}}\right)$
• Setze diese Darstellungen in die Vektorkette ein.
  Im Beispiel: ${\vec {b}}+t\cdot \left({\vec {a}}-{\frac {1}{2}}\cdot {\vec {b}}\right)-s\cdot \left({\vec {a}}+{\vec {b}}\right)={\vec {0}}$
• Forme die Gleichung so um, dass eine Linearkombination des Nullvektors aus den beiden nicht kollinearen Vektoren entsteht.
  Im Beispiel: $\left(1-{\frac {1}{2}}\cdot t-s\right)\cdot {\vec {b}}+\left(t-s\right)\cdot {\vec {a}}={\vec {0}}$
• Da die beiden Vektoren nicht kollinear waren, müssen beide Vorfaktoren der Vektoren Null sein. So ergibt sich ein Gleichungssystem für die unbekannten Parameter.
  Im Beispiel: $1-{\frac {1}{2}}\cdot t-s=0\wedge t-s=0$
• Löse das Gleichungssystem. Mit Hilfe der Parameter lassen sich dann die Teilverhältnisse ausrechnen.

Zu den Übungsaufgaben

Zurück zu "Parameterform einer Geraden" | Hoch zum "Inhaltsverzeichnis: Vektorrechnung" | Vor zu "Parameterform einer Ebene"