Zum Inhalt springen

MathGymOS/ Analytische Geometrie/ Vektoren/ Vektorprodukt

Aus Wikibooks

Das Vektorprodukt / Kreuzprodukt[Bearbeiten]

(Teile dieses Abschnittes basieren auf: Kreuzprodukt, 7. Dezember 2006 (Wikipedia). Die Autorenliste zum Exportzeitpunkt ist hier einzusehen.)

In einem der Beispiele im vorangegangenen Kapitel wurde ein Vektor gesucht, der jeweils orthogonal zu zwei vorgegebenen Vektoren war. Schauen wir uns die Problemstellung noch einmal an:

Vorgegeben sind zwei Vektoren und . Gesucht ist ein Vektor mit und , also und . Damit ergibt sich das Gleichungssystem mit Unbekannten :

Dieses Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung ist

Also ist ein möglicher Vektor

Die Verknüpfung, die zwei Vektoren diesen dritten Vektor zuordnet heißt Vektorprodukt.

Definition

Sind und so ist das Vektorprodukt aus und definiert als:

 


Im Gegensatz zum Skalarprodukt (Vektor mal Vektor = Skalar) liefert das Vektorprodukt zweier Vektoren wieder einen Vektor, daher auch der Name Vektorprodukt. Wegen der Schreibweise wird das Vektorprodukt häufig auch Kreuzprodukt genannt.


Geometrische Eigenschaften des Vektorproduktes

Rechte-Hand-Regel
Ist , dann gilt
  • ist orthogonal zu jedem der beiden Vektoren und .
  • . Damit entspricht der Betrag von der Fläche des Parallelogramms, dass von den Vektoren und gebildet wird.
  • Die Orientierung von ist durch die Rechte-Hand-Regel festgelegt. Die Vektoren , und verhalten sich wie Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der rechten Hand, wenn man sie im rechten Winkel zueinander von der Handfläche wegstreckt.
 



Weitere Eigenschaften des Vektorproduktes

Für das Vektorprodukt gelten zwei Distributivgesetze:

und
.

Das Kommutativgesetz gilt dagegen nicht, sondern es gilt: Bei Vertauschung der Vektoren ändert sich also das Vorzeichen.

 



Zu den Übungsaufgaben