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Multiplikation mit Skalaren

Wie bereits gezeigt wurde, ist der Vektor, der sich von einem Vektor ${\vec {a}}$ nur in der Orientierung unterscheidet, der sogenannte Gegenvektor, geschrieben als $-{\vec {a}}$.

Gesucht ist jetzt ein Vektor mit gleicher Richtung, aber anderem Betrag und unter Umständen anderer Orientierung. Also ein Vektor ${\vec {b}}$ mit $\left|{\vec {b}}\right|=\left|r\right|\cdot \left|{\vec {a}}\right|,\;r\in \mathbb {R}$: Dieser Vektor wird als $r\cdot {\vec {a}}$ bezeichnet, wobei das Symbol $\cdot$ für die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar (Skalar = reelle Zahl) stehen soll. Es gilt:

Definition

Ist ${\vec {a}}\neq {\vec {0}}$, dann ist ${\vec {b}}=r\cdot {\vec {a}}$ mit $r\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$ derjenige Vektor, der folgende Bedingungen erfüllt:

• ${\vec {b}}$ und ${\vec {a}}$ haben die gleiche Richtung, d.h. die von ihnen beschriebene Verschiebung folgt der gleichen Richtung bzw. die zu dem Vektor gehörenden Pfeile sind parallel.
• Für die Beträge gilt: $\left|{\vec {b}}\right|=\left|r\right|\cdot \left|{\vec {a}}\right|$, d.h. die durch ${\vec {b}}$ beschrieben Verschiebung erfolgt $\left|r\right|$-mal so weit, wie die durch ${\vec {a}}$ beschriebene, bzw. die zu ${\vec {b}}$ gehörenden Pfeile sind $\left|r\right|$-mal so lang, wie die zu ${\vec {a}}$ gehörenden.
• ${\vec {b}}$ und ${\vec {a}}$ haben die gleiche Orientierung, wenn $\left.r>0\right.$ ist.
  ${\vec {b}}$ und ${\vec {a}}$ haben entgegengesetzte Orientierung, wenn $\left.r\right.<0$ ist.

Des Weiteren gilt:

• Für alle Vektoren ${\vec {a}}$ gilt: $0\cdot {\vec {a}}={\vec {0}}$.
• Für alle Skalare $r\in \mathbb {R}$ gilt: $r\cdot {\vec {0}}={\vec {0}}$.

Die Operation $\cdot :\;\left(r,{\vec {a}}\right)\mapsto r\cdot {\vec {a}}$ heißt Multiplikation von Vektoren mit Skalaren.

 

Die Multiplikation mit Skalaren wird auch als "Skalarmultiplikation" oder "S-Multiplikation" bezeichnet. Da es dann jedoch leichter zu einer Verwechselung mit dem Begriff des "Skalarproduktes" kommen kann werden diese Ausdrücke in diesem Buch vermieden.

Es gilt: $(-1)\cdot {\vec {a}}=-{\vec {a}}$. Der Gegenvektor eines Vektors ist also sein skalares Vielfaches mit dem Faktor $-1$.

Außerdem gilt für jedes $n\in \mathbb {N} :\;n\cdot {\vec {a}}=\underbrace {{\vec {a}}+{\vec {a}}+\ldots +{\vec {a}}} _{n{\mbox{-mal}}}$

Mit Hilfe der Strahlensätze lässt sich zeigen

Satz

Für einen Vektor ${\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{3}$ und ein Skalar $r\in \mathbb {R}$ gilt:

$r\cdot {\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r\cdot v_{1}\\r\cdot v_{2}\\r\cdot v_{3}\\\end{pmatrix}}$.

(Für andere Dimensionen analog)

 

Es gelten folgende Regeln für die Multiplikation mit Skalaren:

Regeln der Multiplikation mit Skalaren

Für beliebige Vektoren ${\vec {u}}$ und ${\vec {v}}$ und beliebige Skalare $s,t\in \mathbb {R}$ gilt:

• $s\cdot \left(t\cdot {\vec {u}}\right)=\left(s\cdot t\right)\cdot {\vec {u}}$ (Assoziativität der Multiplikation mit Skalaren)
• $\left(s+t\right)\cdot {\vec {u}}=s\cdot {\vec {u}}+t\cdot {\vec {u}}$ (Distributivität der Skalare)
• $s\cdot \left({\vec {u}}+{\vec {v}}\right)=s\cdot {\vec {u}}+s\cdot {\vec {v}}$ (Distributivität der Vektoren)

 

Beispiele

• $-2,5\cdot {\begin{pmatrix}-2\\6\\9\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\\-15\\-22,5\\\end{pmatrix}}$
• Mit Hilfe Vektoren ${\vec {u}}={\begin{pmatrix}-2\\6\\9\\\end{pmatrix}}$ und ${\vec {v}}={\begin{pmatrix}1\\0\\3\\\end{pmatrix}}$ lässt sich der Vektor ${\vec {w}}={\begin{pmatrix}-7\\12\\9\\\end{pmatrix}}$ als sogenannte Linearkombination darstellen. Es gilt:

$2\cdot {\vec {u}}-3\cdot {\vec {v}}={\begin{pmatrix}-4\\12\\18\\\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}3\\0\\9\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-7\\12\\9\\\end{pmatrix}}={\vec {w}}$

• Jeder Vektor aus dem $\mathbb {R} ^{3}$ lässt sich als Linearkombination der Vektoren ${\vec {e}}_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\\end{pmatrix}}$, ${\vec {e}}_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\\end{pmatrix}}$ und ${\vec {e}}_{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\\end{pmatrix}}$ darstellen, nämlch

${\vec {v}}={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\\end{pmatrix}}=v_{1}\cdot {\vec {e}}_{1}+v_{2}\cdot {\vec {e}}_{2}+v_{3}\cdot {\vec {e}}_{3}$

• Zur Herstellung einer Mengeneinheit des Produktes P werden 5 Einheiten von Grundstoff A, 12 Einheiten von Grundstoff B, 3 Einheiten von Grundstoff C und 2 Einheiten von Grundstoff D benötigt; zur Herstellung des Produktes Q werden 1 Einheit von Grundstoff A, 8 Einheiten von Grundstoff B und 12 Einheiten von Grundstoff C benötigt.

Dann stellt der Vektor ${\vec {p}}={\begin{pmatrix}5\\12\\3\\2\\\end{pmatrix}}$ und ${\vec {q}}={\begin{pmatrix}1\\8\\12\\0\\\end{pmatrix}}$ stellen diesen Materialbedarf vektoriell dar.

Für 5 Mengeneinheit von Produkt P und 3 Mengeneinheit von Produkt Q zusammen wird dann der Materialbedarf durch den Vektor $5\cdot {\vec {p}}+3\cdot {\vec {q}}=5\cdot {\begin{pmatrix}5\\12\\3\\2\\\end{pmatrix}}+3\cdot {\begin{pmatrix}1\\8\\12\\0\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}28\\84\\51\\10\\\end{pmatrix}}$ beschrieben.

 

Kollinearität

Vektoren mit gleicher Richtung aber verschiedenem Betrag und unter Umständen verschiedener Orientierung werden nicht als parallel oder antiparallel bezeichnet. Zwei solche Vektoren unterscheiden sich nur um einen skalaren Faktor. Es gilt:

Definition

Zwei Vektoren ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$, die sich nur um einen skalaren Faktor unterscheiden, also ${\vec {a}}=r\cdot {\vec {b}},\;r\in \mathbb {R}$, heißen kollinear.

 

Beispiele

• ${\vec {u}}={\begin{pmatrix}2\\-4\\8\\\end{pmatrix}},\;{\vec {v}}={\begin{pmatrix}-6\\12\\1\\\end{pmatrix}},\;{\vec {w}}={\begin{pmatrix}-3\\6\\-12\\\end{pmatrix}},\;$

${\vec {u}}$ und ${\vec {v}}$ sind nicht kollinear, denn sonst müsste es ein $r\in \mathbb {R}$ geben, mit ${\begin{pmatrix}2\\-4\\8\\\end{pmatrix}}={\vec {u}}=r\cdot {\vec {v}}={\begin{pmatrix}-6\,r\\12\,r\\r\\\end{pmatrix}}$. Solch ein r existiert aber nicht, denn aus den ersten beiden Zeilen würde sich $r=-{\frac {1}{3}}$ ergeben, währen die letzte Zeile $r=8$ ergibt.

${\vec {u}}$ und ${\vec {w}}$ sind kollinear, denn ${\begin{pmatrix}2\\-4\\8\\\end{pmatrix}}={\vec {u}}=-{\frac {2}{3}}\cdot {\vec {w}}={\begin{pmatrix}2\\-4\\8\\\end{pmatrix}}$.

Dann sind auch ${\vec {v}}$ und ${\vec {w}}$ nicht kollinear, denn aus ${\vec {v}}=r\cdot {\vec {w}}=-r\cdot {\frac {3}{2}}\cdot {\vec {v}}$ würde ja sonst im Widerspruch zum Vorangegangenen die Kollinearität von ${\vec {u}}$ und ${\vec {v}}$ folgen.

• Gegebene sind die Punkte $P\left(3|-9\right)$ und $Q\left(2|-6\right)$.

Die Ortsvektoren ${\overrightarrow {OP}}={\begin{pmatrix}3\\-9\\\end{pmatrix}}$ und ${\overrightarrow {OQ}}={\begin{pmatrix}2\\-6\\\end{pmatrix}}$ sind kollinear, denn es gilt ${\overrightarrow {OP}}={\frac {3}{2}}\cdot {\overrightarrow {OQ}}$.

Die Ursprungsgerade durch P hat die Steigung $m={\frac {-9}{3}}=-3$ genau wie die Ursprungsgerade durch Q. Die beiden Punkte liegen also auf derselben Ursprungsgerade. Das muss auch so sein, denn die Verschiebung, die den Ursprung in P verschiebt verläuft in der selben Richtung, wie die Verschiebung, die den Ursprung in Q verschiebt. Anders ausgedrückt: Die Ortsvektoren von P und Q waren ja kollinear.

 

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