MathGymOS/ Analytische Geometrie/ Vektoren/ S-Multiplikation

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Multiplikation mit Skalaren[Bearbeiten]

Wie bereits gezeigt wurde, ist der Vektor, der sich von einem Vektor nur in der Orientierung unterscheidet, der sogenannte Gegenvektor, geschrieben als .

Gesucht ist jetzt ein Vektor mit gleicher Richtung, aber anderem Betrag und unter Umständen anderer Orientierung. Also ein Vektor mit : Dieser Vektor wird als bezeichnet, wobei das Symbol für die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar (Skalar = reelle Zahl) stehen soll. Es gilt:

Definition
SMultiplikation.png

Ist , dann ist mit derjenige Vektor, der folgende Bedingungen erfüllt:

  • und haben die gleiche Richtung, d.h. die von ihnen beschriebene Verschiebung folgt der gleichen Richtung bzw. die zu dem Vektor gehörenden Pfeile sind parallel.
  • Für die Beträge gilt: , d.h. die durch beschrieben Verschiebung erfolgt -mal so weit, wie die durch beschriebene, bzw. die zu gehörenden Pfeile sind -mal so lang, wie die zu gehörenden.
  • und haben die gleiche Orientierung, wenn ist.
    und haben entgegengesetzte Orientierung, wenn ist.

Desweiteren gilt:

  • Für alle Vektoren gilt: .
  • Für alle Skalare gilt: .

Die Operation heißt Multiplikation von Vektoren mit Skalaren.

 


Die Multiplikation mit Skalaren wird auch als "Skalarmultiplikation" oder "S-Multiplikation" bezeichnet. Da es dann jedoch leichter zu einer Verwechselung mit dem Begriff des "Skalarproduktes" kommen kann werden diese Ausdrücke in diesem Buch vermieden.

Es gilt: . Der Gegenvektor eines Vektors ist also sein skalares Vielfaches mit dem Faktor .

Außerdem gilt für jedes

Mit Hilfe der Strahlensätze lässt sich zeigen

Satz

Für einen Vektor und ein Skalar gilt:

.

(Für andere Dimensionen analog)

 


Es gelten folgende Regeln für die Multiplikation mit Skalaren:

Regeln der Multiplikation mit Skalaren

Für beliebige Vektoren und und beliebige Skalare gilt:

  • (Assoziativität der Multiplikation mit Skalaren)
  • (Distributivität der Skalare)
  • (Distributivität der Vektoren)
 



Kollinearität[Bearbeiten]

Vektoren mit gleicher Richtung aber verschiedenem Betrag und unter Umständen verschiedener Orientierung werden nicht als parallel oder antiparallel bezeichnet. Zwei solche Vektoren unterscheiden sich nur um einen skalaren Faktor. Es gilt:

Definition

Zwei Vektoren und , die sich nur um einen skalaren Faktor unterscheiden, also , heißen kollinear.

 



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