MathGymOS/ Analytische Geometrie/ Vektoren/ Addition

Der Nullvektor

In der Definition eines Vektors werden Vektoren als Klasse von Pfeilen gleicher Länge, gleicher Richtung und gleicher Orientierung bezeichnet. Das ist nicht ganz korrekt, denn es ist sinnvoll auch die Verschiebung zuzulassen, die einen jeden Punkt in sich selbst verschiebt. Dieser Verschiebung lässt sich aber kein Pfeil in sinnvoller Weise zuordnen, denn der entsprechende Pfeil hätte die Länge Null und weder Orientierung noch Richtung. Ähnlich wie die Null der reellen Zahlen hat dieser Nullvektor eine gewisse Sonderstellung. In Koordinaten lässt er sich jedoch wie alle anderen Vektoren auch aufschreiben. Es gilt:

Definition

Der Vektor ${\vec {0}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\\end{pmatrix}}$ (im $\mathbb {R} ^{3}$ , entsprechend für andere Räume) heißt der Nullvektor. Er beschreibt die Verschiebung, die jeden Punkt in sich selbst verschiebt oder anders: die Nichtverschiebung.

Die Vektoraddition

Schauen wir uns noch einmal das Beispiel aus der Einführung des Vektorbegriffs an: Dort wurde der Vektor betrachtet, der den Punkt $P\left(-1|2\right)$ in den Punkt $P'\left(2|7\right)$ verschiebt, also ${\vec {v}}={\begin{pmatrix}3\\5\\\end{pmatrix}}$ beschrieben.

Ein anderer Vektor ${\vec {u}}={\begin{pmatrix}3\\-6\\\end{pmatrix}}$ beschreibt dagegen die Verschiebung des Punktes $\left.P'\right.$ in den Punkt $Q'\left(5|1\right)$ . Die Hintereinanderausführung der beiden Verschiebungen, erst ${\vec {v}}$ und dann ${\vec {u}}$ wird als Vektoraddition bezeichnet. Im Beispiel gilt:

{\vec {u}}+{\vec {v}}={\begin{pmatrix}3\\5\\\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}3\\-6\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3+3\\5+(-6)\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}6\\-1\\\end{pmatrix}}

Allgemein wird definiert

Definition

Die Verknüpfung zweier Vektoren zu einem neuen Vektor

{\vec {a}}+{\vec {b}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}+b_{1}\\a_{2}+b_{2}\\a_{3}+b_{3}\\\end{pmatrix}}

(im

\mathbb {R} ^{3}

entsprechend für andere Räume)

wird als Vektoraddition bezeichnet.

Aus der Abbildung ist sofort ersichtlich, dass die Hintereinanderausführung zweier Verschiebungen nicht von der Reihenfolge der beteiligten Verschiebungen abhängt, oder in der neuen Schreibweise: ${\vec {v}}+{\vec {u}}={\vec {u}}+{\vec {v}}$ . Auch andere Regeln lassen sich gut anschaulich nachvollziehen.

Regeln der Vektoraddition

Für drei beliebige Vektoren ${\vec {u}}$ , ${\vec {v}}$ und ${\vec {w}}$ gilt:

$\left.{\vec {u}}+{\vec {v}}={\vec {v}}+{\vec {u}}\right.$ (Kommutativität der Vektoraddition)
${\vec {u}}+\left({\vec {v}}+{\vec {w}}\right)=\left({\vec {u}}+{\vec {v}}\right)+{\vec {w}}$ (Assoziativität der Vektoraddition)
$\left.{\vec {u}}+{\vec {0}}={\vec {u}}\right.$
${\vec {u}}+\left(-{\vec {u}}\right)={\vec {0}}$

Wegen der Assoziativität kann bei der Vektoraddition auf die Klammern verzichtet werden: ${\vec {u}}+\left(-{\vec {v}}\right)={\vec {u}}-{\vec {v}}$ .

Beispiele

Im Dreieck $\left.\Delta _{ABC}\right.$ mit den Eckpunkten $A\left(1|-2|5\right),\,B\left(3|6|1\right),\,C\left(-2|2|-3\right)$ wurden die Vektoren ${\overrightarrow {AB}}={\begin{pmatrix}2\\8\\-4\\\end{pmatrix}}$ , ${\overrightarrow {BC}}={\begin{pmatrix}-5\\-4\\-4\\\end{pmatrix}}$ und ${\overrightarrow {CA}}={\begin{pmatrix}3\\-4\\8\\\end{pmatrix}}$ betrachtet.

Es gilt

{\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BC}}+{\overrightarrow {CA}}={\begin{pmatrix}2-5+3\\8-4-4\\-4-4+8\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\\end{pmatrix}}={\vec {0}}

Zum Punkt $P\left(-2|6|9\right)$ gehört der Ortsvektor ${\overrightarrow {OP}}={\begin{pmatrix}-2\\6\\9\\\end{pmatrix}}$ , zum Punkt $Q\left(1|-3|8\right)$ der Ortsvektor ${\overrightarrow {OQ}}={\begin{pmatrix}1\\-3\\8\\\end{pmatrix}}$ .

Es gilt

{\overrightarrow {PQ}}={\overrightarrow {OQ}}-{\overrightarrow {OP}}={\begin{pmatrix}3\\-9\\-1\\\end{pmatrix}}

Es sei noch einmal darauf hingewiesen, dass dies eine Subtraktion von Vektoren darstellt. Eine Subtraktion von Punkten ist nicht definiert.

Zur Herstellung einer Mengeneinheit des Produktes P werden 5 Einheiten von Grundstoff A, 12 Einheiten von Grundstoff B, 3 Einheiten von Grundstoff C und 2 Einheiten von Grundstoff D benötigt; zur Herstellung des Produktes Q werden 1 Einheit von Grundstoff A, 8 Einheiten von Grundstoff B und 12 Einheiten von Grundstoff C benötigt.

Dann stellt der Vektor