MathGymOS/ Analytische Geometrie/ Vektoren/ LinUnabh

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Linearkombination von Vektoren[Bearbeiten]

Beispiel:

Im letzten Kapitel wurde unter den Beispielen der Vektor durch die Vektoren und in der Form

dargestellt. Diese Darstellung wurde als Linearkombination von und bezeichnet.
 


Allgemeiner formulieren wir:

Definition

Gegeben sind die Vektoren . Dann heißt jede Summe der Form

oder kürzer

mit eine Linearkombination der Vektoren . Die skalaren Faktoren heißen Koeffizienten der Linearkombination.

 


Lineare Unabhängigkeit[Bearbeiten]

Beispiel:

LinearAbh.png
Es gibt eine Linearkombination der Vektoren , und , die den Nullvektor ergibt, nämlich .

Solche Vektoren, die sich auf nichttriviale Weise zum Nullvektor (linear-) kombinieren lassen, nennt man linear abhängig.

 


Präziser und allgemeiner formuliert:

Definition

Die Vektoren heißen linear unabhhängig, wenn die einzige mögliche Darstellung des Nullvektors als Linearkombination dieser Vektoren

diejenige ist, bei der alle Koeffizienten der Linearkombination gleich Null sind, also .

Andernfalls heißen die Vektoren linear abhängig, dass heißt, wenn die Gleichung

auch eine nichttriviale Lösung hat, bei der nicht alle Koeffizienten gleich Null sind.

 


Zwei Vektoren, die linear abhängig sind, hießen auch kollinear.

Alternative Formulierungen

Folgende Aussagen sind äquivalent:

  • Die Vektoren sind linear abhängig.
  • Mindestens einer der Vektoren lässt sich als Linearkombination der anderen Vektoren darstellen.
 



Regeln zur linearen Abhängigkeit

  • Eine Menge von Vektoren, die den Nullvektor enthält ist immer linear abhängig.
  • In der Ebene ist jede Menge, die aus mindestens drei Vektoren besteht linear abhängig.
  • Im Raum ist jede Menge, die aus mindestens vier Vektoren besteht linear abhängig.
 



Zu den Übungsaufgaben

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