MathGymOS/ Analytische Geometrie/ Geraden und Ebenen/ Lage Ebenen

Gegenseitige Lage zweier Ebenen

Beispiel: Walmdach

Bei einem Walmdach treffen vier schräge Dachflächen aufeinander. Die vordere Dachfläche liegt in der Ebene

E_{1}\colon {\vec {x}}={\begin{pmatrix}0\\0\\4\\\end{pmatrix}}+a\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\\0\\\end{pmatrix}}+b\cdot {\begin{pmatrix}-1\\1\\1\\\end{pmatrix}}\qquad \left(a,b\in \mathbb {R} \right)

die rechte Dachfläche liegt in der Ebene

E_{2}\colon {\vec {x}}={\begin{pmatrix}-12\\8\\4\\\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\\0\\\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}1\\-1\\1\\\end{pmatrix}}\qquad \left(s,t\in \mathbb {R} \right)

Die Kante, an der die beiden Dachflächen aufeinander treffen, wird als Grat bezeichnet. Bestimme die Gerade, auf der der Grat liegt.

Gleichsetzen der Ebenen liefert

{\begin{pmatrix}0\\0\\4\\\end{pmatrix}}+a\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\\0\\\end{pmatrix}}+b\cdot {\begin{pmatrix}-1\\1\\1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-12\\8\\4\\\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\\0\\\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}1\\-1\\1\\\end{pmatrix}}

Das ist äquivalent zu

a\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\\0\\\end{pmatrix}}+b\cdot {\begin{pmatrix}-1\\1\\1\\\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}-1\\0\\0\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-12\\8\\0\\\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}1\\-1\\1\\\end{pmatrix}}

Wie schon bei den vorangegangen Abschnitten kann man auch diese Vektorgleichung in drei Gleichungen zerlegen, spätestens jetzt ist es jedoch sinnvoll, diese Gleichungen einfacher ohne Variablen tabellarisch zu notieren:

{\begin{array}{|ccc|c|c|}a&b&s&&t\\0&-1&-1&-12&1\\1&1&0&8&-1\\0&1&0&0&1\\\end{array}}\Leftrightarrow {\begin{array}{|ccc|c|c|}a&b&s&&t\\1&0&0&8&-2\\0&1&0&0&1\\0&0&1&12&-2\\\end{array}}

Die letzte Zeile ist gleichbedeutend mit $s=12-2\cdot t$ , die zweite Zeile mit $b=t$ und die erste mit $a=8-2\cdot t=8-2\cdot b$ . Einsetzen von $s$ in die zweite Ebenengleichung führt zu der gesuchten Gerade:

g\colon {\vec {x}}={\begin{pmatrix}-12\\8\\4\\\end{pmatrix}}+(12-2\cdot t)\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\\0\\\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}1\\-1\\1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\8\\4\\\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\\\end{pmatrix}}\qquad \left(t\in \mathbb {R} \right)

.

Allgemeine Betrachtung des Problems

Es gibt drei Möglichkeiten, wie zwei Ebenen zu einander liegen können. Sie können

trotz unterschiedlicher Parameterformen identisch sein, das heißt jeder Punkt der einen Ebene ist auch ein Punkt der anderen Ebene und umgekehrt,
parallel sein, das heißt keine gemeinsamen Punkte haben,
sich schneiden, das heißt gemeinsame Punkte haben, ohne identisch zu sein. Die Schnittmenge ist in diesem Fall eine Gerade, die sogenannte Schnittgerade.

Lagebeziehungen von Ebenen
identisch
parallel
schneidend

Im Fall der identischen und der parallelen Ebenen müssen die Richtungsvektoren der Ebenen keinesfalls paarweise kollinear sein, wie es die Abbildungen unter Umständen suggerieren könnten. Dieser Spezialfall wurde für die Abbildungen nur ausgewählt, um die Übersichtlichkeit der Darstellung zu erhöhen.

Hat man die Ebenen in Parameterform gegeben, etwa

E_{1}\colon {\vec {x}}={\vec {p}}+a\cdot {\vec {u}}+b\cdot {\vec {v}}\qquad (a,b\in \mathbb {R} )

und

E_{2}\colon {\vec {x}}={\vec {q}}+s\cdot {\vec {w}}+t\cdot {\vec {r}}\qquad (s,t\in \mathbb {R} )

,

dann kann man die Lagebeziehung ermitteln, indem man zunächst diese Parameterformen gleichsetzt. Die Vektorgleichung ${\vec {p}}+a\cdot {\vec {u}}+b\cdot {\vec {v}}={\vec {q}}+s\cdot {\vec {w}}+t\cdot {\vec {r}}$ führt zu

{\begin{array}{|ccccccccccc|}u_{1}\cdot a&+&v_{1}\cdot b&-&w_{1}\cdot s&=&q_{1}&-&p_{1}&+&r_{1}\cdot t\\u_{2}\cdot a&+&v_{2}\cdot b&-&w_{2}\cdot s&=&q_{2}&-&p_{2}&+&r_{2}\cdot t\\u_{3}\cdot a&+&v_{3}\cdot b&-&w_{3}\cdot s&=&q_{3}&-&p_{3}&+&r_{3}\cdot t\\\end{array}}

oder in tabellarischer Kurzschreibweise

{\begin{array}{|ccc|c|c|}u_{1}&v_{1}&-w_{1}&q_{1}-p_{1}&r_{1}\\u_{2}&v_{2}&-w_{2}&q_{2}-p_{2}&r_{2}\\u_{3}&v_{3}&-w_{3}&q_{3}-p_{3}&r_{3}\\\end{array}}

Ein solches Gleichungssystem lässt sich auf Stufenform bringen, etwa

{\begin{array}{|ccc|c|c|}d_{1}&x_{1}&x_{2}&y_{1}&z_{1}\\0&d_{2}&x_{3}&y_{2}&z_{2}\\0&0&d_{3}&y_{3}&z_{3}\\\end{array}}

Sind die Diagonaleelemente $d_{1}$ , $d_{2}$ und $d_{3}$ alle ungleich Null (man spricht von einer Dreiecksform), dann schneiden sich die beiden Ebenen. Die Schnittgerade erhält man, indem man $s={\frac {y_{3}}{d_{3}}}+{\frac {z_{3}}{d_{3}}}\cdot t$ in die Parameterform von $E_{2}$ einsetzt.
Ist eines der Diagonalenelement $d_{1}$ $d_{1}$ , $d_{2}$ $d_{2}$ oder $d_{3}$ $d_{3}$ gleich Null, dann sind die Ebenen parallel oder identisch. Das Gleichungsystem lässt sich dann auf folgende Form bringen:
${\begin{array}{|ccc|c|c|}d_{1}&x_{1}&x_{2}&y_{1}&z_{1}\\0&d_{2}&x_{3}&y_{2}&z_{2}\\0&0&0&y_{3}&0\\\end{array}}$ ${\begin{array}{|ccc|c|c|}d_{1}&x_{1}&x_{2}&y_{1}&z_{1}\\0&d_{2}&x_{3}&y_{2}&z_{2}\\0&0&0&y_{3}&0\\\end{array}}$
- Ist $y_{3}=0$ , dann sind die beiden Ebenen identisch.
- Ist $y_{3}\neq 0$ , dann sind die beiden Ebenen parallel.

Es soll nicht verschwiegen werden, dass es zahlreiche andere Methoden gibt, aus der Parameterform von Ebenen auf deren Lage zu einander zu schließen. Alle beinhalten gewisse Schwierigkeiten: Rang einer Matrix, Dimension eines Untervektorraumes, Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit usw. Diese Schwierigkeiten können umgangen werden, wenn man andere Darstellungsformen für Ebenen als die Parameterform benutzt. Das sollte doch motivieren, dem Thema weiter zu folgen, um dann im bereits erwähnten Abschnitt "Lagebeziehungen Teil 2" diese viel einfacheren Methoden kennen zu lernen.

Beispiele