MathGymOS/ Analytische Geometrie/ Geraden und Ebenen/ Spurpunkte

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Spurpunkte einer Geraden[Bearbeiten]

Spurpunkt-Gerade.png
Achtung! Es müssen nicht alle
drei Spurpunkte existieren!

Die Spurpunkte einer Geraden g sind die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenebenen. Gegeben

.

ist der Schnittpunkt mit der 1-2-Ebene, d.h. .

Falls der Spurpunkt existiert , muss gelten . Diese Gleichung lässt sich leicht nach auflösen. Einsetzen dieses Wertes für in die Parameterform der Geraden liefert den Ortsvektor des Spurpunktes .

Auf dieselbe Weise lassen sich auch der Spurpunkt als Schnittpunkt mit der 1-3-Ebene und der Spurpunkt als Schnittpunkt mit der 2-3-Ebene bestimmen, falls sie existieren.


Spurpunkte einer Ebene[Bearbeiten]

Spurpunkt-Ebene.png
Achtung! Es müssen nicht alle
drei Spurpunkte existieren!

Die Spurpunkte einer Ebene E sind die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen.

Gegeben

ist der Schnittpunkt mit der -Achse, d.h. .

Falls der Spurpunkt existiert, muss gelten und . Besitzt dieses Gleichungssystem eine eindeutige Lösung, so existiert der Spurpunkt. Einsetzten der Lösungen für und in der Parameterform der Ebene liefert den Ortsvektor des Spurpunktes .

Auf dieselbe Weise lassen sich auch der Spurpunkt als Schnittpunkt mit der -Achse und der Spurpunkt als Schnittpunkt mit der -Achse bestimmen, falls sie existieren.


Spurgeraden einer Ebene[Bearbeiten]

Achtung! Es müssen nicht alle
drei Spurgeraden existieren!

Die Spurgeraden einer Ebene E sind die Schnittgeraden der Ebene mit den Koordinatenebenen.

Gegeben

ist die Schnittgerade mit der 1-2-Ebene, d.h. .

Falls die Spurgerade existiert oder , muss gelten . Nach oder auflösen und in die Parameterform der Ebene einsetzten liefert die Parameterform der Spurgeraden .

Die Spurgeraden verlaufen immer durch die Spurpunkte mit den beiden beteiligten Koordinatenachsen. lässt sich also auch als Gerade durch und beschreiben, falls diese existieren.


Skizzieren einer Ebene[Bearbeiten]

Es ist in der Regel nicht möglich, in eine zweidimensionalen Darstellung eines dreidimensionalen Koordinatensystems alle Punkte einer Ebene einzuzeichnen. Das Einzeichnen der Spurpunkte und Spurgeraden einer Ebene in ein Koordinatensystem liefert dagegen eine gute Vorstellung von der Lage der Ebene im Koordinatensystem.


Zu den Übungsaufgaben


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