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MathGymOS/ Analytische Geometrie/ Lage/ Lagebeziehung 2

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Wie bereits im Abschnitt Lagebeziehungen Teil 1 erwähnt, lassen sich einige Fragen nach der Lage von Ebenen zu einander bzw. der Lage einer Gerade und einer Ebene zu einander leichter beantworten, wenn dabei auf andere Darstellungsformen von Ebene als die Parameterform zurück gegriffen werden kann. In diesem Abschnitt sollen diese Methoden beschrieben werden.

Noch einmal Punktprobe für Ebenen[Bearbeiten]

Ob ein Punkt mit Ortsvektor auf einer Ebene E liegt, kann natürlich auch mit Hilfe der Normalenform bzw. der Koordinatenform der Ebene überprüft werden.

(ANF)

bzw.

(KF)

Liegt der Punkt auf der Ebene, so sind folgende Gleichungen erfüllt:

bzw.


Gegenseitige Lage einer Geraden und einer Ebene[Bearbeiten]

Es gibt drei Möglichkeiten, wie eine Gerade zu einer Ebene liegen kann. Sie kann

  • in der Ebene enthalten sein,
  • parallel zu der Ebene verlaufen,
  • die Ebene in genau einem Punkt schneiden oder durchstoßen.

Bestimmen der gegenseitigen Lage[Bearbeiten]

  • Bestimme einen Normalenvektor der Ebene und einen Richtungsvektor der Geraden.
  • Untersuche ob der Normalenvektor und der Richtungsvektor orthogonal sind .
    • Falls die beiden Vektoren nicht orthogonal sind, muss die Gerade die Ebene durchstoßen.
    • Falls die beiden Vektoren orthogonal sind, kann die Gerade nur parallel zur Ebene liegen oder in ihr enthalten sein. Überprüfe mit Hilfe der Punktprobe, ob ein Punkt der Geraden auch auf der Ebene liegt
      • Liegt ein Punkt der Geraden auf der Ebene, dann kann die Gerade nicht parallel zur Ebene liegen. Die Gerade muss also in der Ebene enthalten sein.
      • Liegt der Punkt der Geraden nicht auf der Ebene, dann kann die Gerade nicht in der Ebene enthalten sein. Die Gerade muss parallel zur Ebene liegen

Bestimmen des Durchstoßpunktes[Bearbeiten]

  • Bestimme gegebenenfalls eine Koordinatenform der Ebene: .
  • Zerlege die Parameterform der Geraden in drei Gleichungen für die drei Koordinaten:
    , und .
  • Setze diese Terme in die Koordinatenform der Ebene anstelle von , und ein.
  • Löse die entstehende Gleichung nach t auf und setze die Lösung in die Parameterform der Geraden ein.


Gegenseitige Lage von Ebenen[Bearbeiten]

Es gibt drei Möglichkeiten, wie zwei Ebenen zu einander liegen können. Sie können

  • identisch sein,
  • parallel sein,
  • sich schneiden.

Bestimmen der gegenseitigen Lage[Bearbeiten]

  • Bestimme zu jeder der beiden Ebenen einen Normalenvektor und
  • Überprüfe, ob die beiden Normalenvektoren kollinear sind .
    • Sind die beiden Normalenvektoren nicht kollinear, so müssen die beiden Ebenen sich schneiden.
    • Sind die beiden Normalenvektoren kollinear, so können die Ebenen parallel oder identisch sein.
      Überprüfe in diesem Fall mit Hilfe der Punktprobe, ob ein Punkt der einen Ebene auch ein Punkt der anderen Ebene ist.
      • Liegt der Punkt der einen Ebene auch auf der anderen Ebene, so können die Ebenen nicht parallel sein. Sie müssen also identisch sein.
      • Liegt der Punkt der einen Ebene nicht auf der anderen Ebene, so können die Ebenen nicht identisch sein. Sie müssen also parallel sein.

Bestimmen der Schnittgerade[Bearbeiten]

  • Forme die Darstellungen der Ebenen gegebenenfalls so um, dass eine Ebene in Parameterform vorliegt (im folgenden ) und eine Ebene in Koordinatenform vorliegt (im folgenden ), also
    und
    .
  • Schreibe die Gleichung von in drei Gleichungen für die die drei Koordinaten um
    .
  • Setze diese Terme in die Koordinatenform der Ebene anstelle von , und ein.
    .
  • Löse die entstehende Gleichung nach s oder t auf, z.B. in der Form .
  • Setze die Lösung für s (bzw. t) in die Parameterform von ein.
    .
  • Fasse die Terme mit Parameter und die Terme ohne Parameter zusammen. Die Parameterform der Schnittgeraden lautet dann:
    .