MathGymOS/ Analytische Geometrie/ Lage/ Abstand P-g

Der Tower eines Flughafens steht im Ursprung eines Koordinatensystems. Ein Fluglotse befindet sich im Kontrollraum des Towers in 75 m Höhe. Ein startendes Flugzeug verlässt am Punkt $Q\left(60|0|0\right)$ die Rollbahn in Richtung ${\vec {v}}={\begin{pmatrix}-1\\1\\2\\\end{pmatrix}}$ . Wie nah kommt das Flugzeug dem Fluglotsen? Nimm zur Vereinfachung an, dass sich das Flugzeug zunächst auf einer geradlinigen Flugbahn bewegt.

Die Aufgabe besteht darin, den Abstand des Punktes P (in dem sich der Fluglotse befindet) zur Geraden g (der Bahn des Flugzeuges) zu bestimmen.

Gegeben sind eine Gerade $g:\;{\vec {x}}={\vec {u}}+t\cdot {\vec {v}}\;\left(t\in \mathbb {R} \right)$ und eine Punkt $P\left(p_{1}|p_{2}|p_{3}\right)$ . Das Lot vom Punkt P auf die Gerade g ist diejenige Gerade, die durch P geht und g senkrecht schneidet. Der Lotfußpunkt L ist der Schnittpunkt des Lotes mit der Geraden g. Der Abstand des Punktes P von der Geraden g ist dann der Abstand des Punktes P vom Punkt L.

Praktisches Vorgehen

Bestimme den Lotfußpunkt L. Dazu:
- Konstruiere eine Hilfsebene E, die von der Geraden g senkrecht durchstoßen wird und auf der der Punkt P liegt. Ein möglicher Normalenvektor für diese Hilfsebene ist der Richtungsvektor der Gerade. Mit $c:={\vec {v}}\cdot {\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\\\end{pmatrix}}$ ist eine Normalenforn dieser Ebene $E:\;{\vec {x}}\cdot {\vec {v}}-c=0$ .
- Bestimme den Durchstoßpunkt L der Geraden g durch die Ebene E.
Bestimme den Abstand d der Punkte P und L.