MathGymOS/ Analytische Geometrie/ Lage/ Abstand P-g

Der Tower eines Flughafens steht im Ursprung eines Koordinatensystems. Ein Fluglotse befindet sich im Kontrollraum des Towers in 75 m Höhe. Ein startendes Flugzeug verlässt am Punkt $Q\left(60|0|0\right)$ die Rollbahn in Richtung ${\vec {v}}={\begin{pmatrix}-1\\1\\2\\\end{pmatrix}}$. Wie nah kommt das Flugzeug dem Fluglotsen? Nimm zur Vereinfachung an, dass sich das Flugzeug zunächst auf einer geradlinigen Flugbahn bewegt.

Die Aufgabe besteht darin, den Abstand des Punktes P (in dem sich der Fluglotse befindet) zur Geraden g (der Bahn des Flugzeuges) zu bestimmen.

Gegeben sind eine Gerade $g:\;{\vec {x}}={\vec {u}}+t\cdot {\vec {v}}\;\left(t\in \mathbb {R} \right)$ und eine Punkt $P\left(p_{1}|p_{2}|p_{3}\right)$. Das Lot vom Punkt P auf die Gerade g ist diejenige Gerade, die durch P geht und g senkrecht schneidet. Der Lotfußpunkt L ist der Schnittpunkt des Lotes mit der Geraden g. Der Abstand des Punktes P von der Geraden g ist dann der Abstand des Punktes P vom Punkt L.

Praktisches Vorgehen

• Bestimme den Lotfußpunkt L. Dazu:
  • Konstruiere eine Hilfsebene E, die von der Geraden g senkrecht durchstoßen wird und auf der der Punkt P liegt. Ein möglicher Normalenvektor für diese Hilfsebene ist der Richtungsvektor der Gerade. Mit $c:={\vec {v}}\cdot {\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\\\end{pmatrix}}$ ist eine Normalenforn dieser Ebene $E:\;{\vec {x}}\cdot {\vec {v}}-c=0$.
  • Bestimme den Durchstoßpunkt L der Geraden g durch die Ebene E.
• Bestimme den Abstand d der Punkte P und L.

Dieser Abstand d ist auch der Abstand des Punktes P von der Geraden g.

Beispiele

• Das Einstiegsbeispiel:

Die Bahn des Flugzeuges wird beschrieben durch

$g:\;{\vec {x}}={\begin{pmatrix}60\\0\\0\\\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}-1\\1\\2\\\end{pmatrix}}\;\left(t\in \mathbb {R} \right)$

Der Fluglotse befindet sich im Punkt $P\left(0|0|75\right)$

Die Hilfsebene ist

$E:\;\left[{\vec {x}}-{\begin{pmatrix}0\\0\\75\\\end{pmatrix}}\right]\cdot {\begin{pmatrix}-1\\1\\2\\\end{pmatrix}}=0$

in Koordinatenform:

$-x_{1}+x_{2}+2\,x_{3}=150$

Als Schnittpunkt von g und E erhält man den Lotfußpunkt $L\left(25|35|70\right)$

Der gesuchte Abstand ist

$d(P,g)=d(P,L)=\left|{\overrightarrow {PL}}\right|=\left|{\begin{pmatrix}25\\35\\-5\\\end{pmatrix}}\right|={\sqrt {1875}}\approx 43,30\,\mathrm {m}$

• Ein weiters Beispiel

$g:\;{\vec {x}}={\begin{pmatrix}4\\2\\-13\\\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}1\\-2\\2\\\end{pmatrix}}\;\left(s\in \mathbb {R} \right)$ und $P\left(12|-2|-3\right)$

${\begin{pmatrix}1\\-2\\2\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}12\\-2\\-3\\\end{pmatrix}}=10$

Die Hilfsebene $E:\;{\vec {x}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\-2\\2\\\end{pmatrix}}=10$

Der Schnittpunkt von g und E ist $L\left(8|-6|-5\right)$.

${\overrightarrow {PL}}={\begin{pmatrix}-4\\-4\\-2\\\end{pmatrix}}$

$d(P,g)=d(P,L)=\left|{\overrightarrow {PL}}\right|=6\,\mathrm {LE}$

 

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