MathGymOS/ Analytische Geometrie/ Lage/ Winkel

Winkel zwischen zwei Vektoren

Im Abschnitt über das Skalarprodukt wurden bereits eine Möglichkeit angegeben, den Winkel zwischen zwei Vektoren zu bestimmen.

Satz

Ist $\varphi$ der Winkel zwischen den Vektoren ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$, so gilt:

$\varphi =\arccos {\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{\left|{\vec {a}}\right|\cdot \left|{\vec {b}}\right|}}$

 

Zu beachten ist hierbei, dass das Produkt im Zähler ein Skalarprodukt ist, also ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=a_{1}\cdot b_{1}+a_{2}\cdot b_{2}+a_{3}\cdot b_{3}$, während das Produkt im Nenner ein Produkt zweier Beträge $\left|{\vec {a}}\right|={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}}$ und $\left|{\vec {b}}\right|={\sqrt {b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}$ und damit das Produkt zweier Zahlen ist.

Winkel zwischen sich schneidenden Geraden

Der Winkel $\left.\alpha \right.$ zwischen zwei sich schneidenden Geraden

$g_{1}:\;{\vec {x}}={\vec {p}}+s\cdot {\vec {u}}\qquad \left(s\in \mathbb {R} \right)$

und

$g_{2}:\;{\vec {x}}={\vec {q}}+t\cdot {\vec {v}}\qquad \left(t\in \mathbb {R} \right)$

ist der kleinere der beiden Winkel zwischen den Geraden. Dieser hängt eng mit dem Winkel $\varphi$ zwischen den Richtungsvektoren der Geraden ${\vec {u}}$ und ${\vec {v}}$ zusammen.

• Ist $\varphi \leq 90^{\circ }$, dann ist $\alpha =\varphi$.
• Ist $\varphi >90^{\circ }$ (wie in der Abb.), dann ist $\alpha =180^{\circ }-\varphi$.

Weil $\arccos \left(\left|x\right|\right)={\begin{cases}\arccos(x),&{\mbox{wenn }}\arccos(x)\leq 90^{\circ }\\180^{\circ }-\arccos(x),&{\mbox{wenn }}\arccos(x)>90^{\circ }\end{cases}}$ ist gilt:

Satz

Der Winkel zwischen zwei sich schneiden Geraden mit Richtungsvektoren ${\vec {u}}$ und ${\vec {v}}$ ist

$\alpha =\arccos {\frac {\left|{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\right|}{\left|{\vec {u}}\right|\cdot \left|{\vec {v}}\right|}}$

 

Beachte: Die Betragszeichen im Zähler beziehen sich auf den Betrag einer Zahl, nämlich des Skalarproduktes ${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}$, während die Betragszeichen im Nenner sich auf den Betrag von Vektoren, nämlich ${\vec {u}}$ und ${\vec {v}}$ beziehen.

Beispiele

Die Geraden

$g_{1}:\;{\vec {x}}={\begin{pmatrix}3\\-3\\0\\\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}-2\\2\\2\\\end{pmatrix}}\;\left(s\in \mathbb {R} \right)$

und

$g_{2}:\;{\vec {x}}={\begin{pmatrix}1\\7\\0\\\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}2\\2\\-3\\\end{pmatrix}}\;\left(t\in \mathbb {R} \right)$

schneiden sich im Punkt $P\left(-3|3|6\right)$.

$\alpha =\arccos {\frac {\left|{\begin{pmatrix}-2\\2\\2\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}2\\2\\-3\\\end{pmatrix}}\right|}{\left|{\begin{pmatrix}-2\\2\\2\\\end{pmatrix}}\right|\cdot \left|{\begin{pmatrix}2\\2\\-3\\\end{pmatrix}}\right|}}=\arccos {\frac {6}{{\sqrt {12}}\cdot {\sqrt {17}}}}\approx \arccos(0,42)\approx 65,2^{\circ }$

 

Winkel zwischen einer Gerade und einer Ebene, die sich schneiden

Der Winkel $\left.\alpha \right.$ zwischen einer Ebene

$E:\;{\vec {x}}\cdot {\vec {n}}=c$

und einer Geraden, die selbige schneidet

$g:\;{\vec {x}}={\vec {p}}+t\cdot {\vec {v}}\qquad \left(t\in \mathbb {R} \right)$

hängt eng mit dem Winkel $\varphi$ zwischen dem Normalenvektor ${\vec {n}}$ und dem Richtungsvektor der Geraden ${\vec {v}}$ zusammen.

• Ist $\varphi <90^{\circ }$ (wie in der Abb.), dann ist $\alpha =90^{\circ }-\varphi$.
• Ist $\varphi >90^{\circ }$, dann ist $\alpha =\varphi -90^{\circ }$.

Also gilt

Satz

Der Winkel zwischene einer Gerade mit Richtungsvektor ${\vec {v}}$ und einer Ebene mit Normalenvektor ${\vec {n}}$ ist

$\alpha =90^{\circ }-\arccos {\frac {\left|{\vec {n}}\cdot {\vec {v}}\right|}{\left|{\vec {n}}\right|\cdot \left|{\vec {v}}\right|}}=\arcsin {\frac {\left|{\vec {n}}\cdot {\vec {v}}\right|}{\left|{\vec {n}}\right|\cdot \left|{\vec {v}}\right|}}$

 

Beweis

${\begin{array}{lrcl}&\alpha &=&90^{\circ }-\arccos(x)\\\Rightarrow &\arccos(x)&=&90^{\circ }-\alpha \\\Rightarrow &x&=&\cos \left(90^{\circ }-\alpha \right)=\sin(\alpha )\\\Rightarrow &\alpha &=&\arcsin(x)\end{array}}$

 

Beispiele

Die Ebene

$E:\;{\vec {x}}\cdot {\begin{pmatrix}2\\-2\\1\\\end{pmatrix}}=12$

und die Gerade

$g:\;{\vec {x}}={\begin{pmatrix}0\\-2\\2\\\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\\1\\\end{pmatrix}}\;\left(t\in \mathbb {R} \right)$

schneiden sich im Punkt $P\left(2|-2|4\right)$.

$\alpha =\arcsin {\frac {\left|{\begin{pmatrix}2\\-2\\1\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\\1\\\end{pmatrix}}\right|}{\left|{\begin{pmatrix}2\\-2\\1\\\end{pmatrix}}\right|\cdot \left|{\begin{pmatrix}1\\0\\1\\\end{pmatrix}}\right|}}=\arcsin {\frac {3}{3\cdot {\sqrt {2}}}}=\arcsin \left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)=45^{\circ }$

 

Winkel zwischen zwei sich schneidenden Ebenen

Der Winkel $\left.\alpha \right.$ zwischen zwei sich schneidenden Ebenen

$E_{1}:\;{\vec {x}}\cdot {\vec {n}}_{1}=c_{1}$

und

$E_{2}:\;{\vec {x}}\cdot {\vec {n}}_{2}=c_{2}$

hängt folgendermaßen von dem Winkel $\varphi$ zwischen den Normalenvektoren der Ebenen ${\vec {n}}_{1}$ und ${\vec {n}}_{2}$ zusammen.

• Ist $\varphi \leq 90^{\circ }$, dann ist $\alpha =\varphi$.
• Ist $\varphi >90^{\circ }$ (wie in der Abb.), dann ist $\alpha =180^{\circ }-\varphi$.

Damit gilt ähnlich wie beim Schnittwinkel von Geraden

Satz

Der Winkel zwischen zwei sich schneidenden Ebenen mit Normalenvektoren ${\vec {n}}_{1}$ und ${\vec {n}}_{2}$ ist

$\alpha =\arccos {\frac {\left|{\vec {n}}_{1}\cdot {\vec {n}}_{2}\right|}{\left|{\vec {n}}_{1}\right|\cdot \left|{\vec {n}}_{2}\right|}}$

 

Beispiele

Die Ebene

$E_{1}:\;{\vec {x}}\cdot {\begin{pmatrix}12\\3\\4\\\end{pmatrix}}=9$

und

$E_{2}:\;{\vec {x}}=\cdot {\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\\\end{pmatrix}}=3$

schneiden sich.

$\alpha =\arccos {\frac {\left|{\begin{pmatrix}12\\3\\4\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\\\end{pmatrix}}\right|}{\left|{\begin{pmatrix}12\\3\\4\\\end{pmatrix}}\right|\cdot \left|{\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\\\end{pmatrix}}\right|}}=\arccos {\frac {13}{13\cdot 3}}=\arccos {\frac {1}{3}}\approx 70,5^{\circ }$

 

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