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MathGymOS/ Analytische Geometrie/ Lage/ Winkel

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Winkel zwischen zwei Vektoren[Bearbeiten]

Im Abschnitt über das Skalarprodukt wurden bereits eine Möglichkeit angegeben, den Winkel zwischen zwei Vektoren zu bestimmen.

Satz

Ist der Winkel zwischen den Vektoren und , so gilt:

 


Zu beachten ist hierbei, dass das Produkt im Zähler ein Skalarprodukt ist, also , während das Produkt im Nenner ein Produkt zweier Beträge und und damit das Produkt zweier Zahlen ist.

Winkel zwischen sich schneidenden Geraden[Bearbeiten]

Der Winkel zwischen zwei sich schneidenden Geraden

und

ist der kleinere der beiden Winkel zwischen den Geraden. Dieser hängt eng mit dem Winkel zwischen den Richtungsvektoren der Geraden und zusammen.

  • Ist , dann ist .
  • Ist (wie in der Abb.), dann ist .

Weil ist gilt:

Satz

Der Winkel zwischen zwei sich schneiden Geraden mit Richtungsvektoren und ist

 


Beachte: Die Betragszeichen im Zähler beziehen sich auf den Betrag einer Zahl, nämlich des Skalarproduktes , während die Betragszeichen im Nenner sich auf den Betrag von Vektoren, nämlich und beziehen.


Winkel zwischen einer Gerade und einer Ebene, die sich schneiden[Bearbeiten]

Der Winkel zwischen einer Ebene

und einer Geraden, die selbige schneidet

hängt eng mit dem Winkel zwischen dem Normalenvektor und dem Richtungsvektor der Geraden zusammen.

  • Ist (wie in der Abb.), dann ist .
  • Ist , dann ist .

Also gilt

Satz

Der Winkel zwischene einer Gerade mit Richtungsvektor und einer Ebene mit Normalenvektor ist

 




Winkel zwischen zwei sich schneidenden Ebenen[Bearbeiten]

Der Winkel zwischen zwei sich schneidenden Ebenen

und

hängt folgendermaßen von dem Winkel zwischen den Normalenvektoren der Ebenen und zusammen.

  • Ist , dann ist .
  • Ist (wie in der Abb.), dann ist .

Damit gilt ähnlich wie beim Schnittwinkel von Geraden

Satz

Der Winkel zwischen zwei sich schneidenden Ebenen mit Normalenvektoren und ist

 



Das Kapitel "Kugel" kann unter Umständen übersprungen werden. Dann geht es weiter bei "Rechnen mit Matrizen"