MathGymOS/ LGS/ Das Additionsverfahren

(Aus: Additionsverfahren, 7. Januar 2007 (Wikipedia).)

Gegeben sei folgendes Gleichungssystem:

${\begin{array}{cccccc}(1)&5\cdot x_{1}&+&3\cdot x_{2}&=&5\\(2)&3\cdot x_{1}&+&1\cdot x_{2}&=&-1\end{array}}$

Durch Addition der beiden Gleichungen soll eine Variable eliminiert werden. Daher muss eine der beiden Gleichungen umgeformt werden. Exemplarisch wird dies hier mit der zweiten Gleichung durchgeführt, damit $\left.x_{2}\right.$ bei der Addition eliminiert wird:

${\begin{array}{ccccccc}(1)&5\cdot x_{1}&+&3\cdot x_{2}&=&5\\(2)&3\cdot x_{1}&+&1\cdot x_{2}&=&-1&|\cdot (-3)\end{array}}$

Dies führt zu folgendem modifiziertem, aber immer noch gleichwertigem, Gleichungssystem:

${\begin{array}{cccccc}(1)&5\cdot x_{1}&+&3\cdot x_{2}&=&5\\(2)&-9\cdot x_{1}&-&3\cdot x_{2}&=&3\end{array}}$

Nun werden beide Gleichungen des Systems addiert und somit in eine Gleichung zusammengefasst:

${\begin{array}{ccccc}(5\cdot x_{1}+3\cdot x_{2})&+&(-9\cdot x_{1}-3\cdot x_{2})&=&5+3\\5\cdot x_{1}-9\cdot x_{1}&+&3\cdot x_{2}-3\cdot x_{2}&=&8\\-4\cdot x_{1}&+&0\cdot x_{2}&=&8\\-4\cdot x_{1}&&&=&8\end{array}}$

Anschließend wird nach der verbliebenen Variablen $\left.x_{1}\right.$ aufgelöst:

${\begin{array}{cccc}-4\cdot x_{1}&=&8&|:(-4)\\x_{1}&=&-2&\end{array}}$

Der Wert für die erste Variable ist also gefunden, durch Einsetzen des Ergebnisses in eine der Ausgangsgleichungen und Umstellen nach der übrig gebliebenen Unbekannten erhält man den zweiten gesuchten Wert.

Wir setzen $\left.x_{1}=-2\right.$ in die erste Gleichung (1) ein:

${\begin{array}{ccccccccc}(1)&5\cdot x_{1}&+&3\cdot x_{2}&=&5\\&-10&+&3\cdot x_{2}&=&5&|&+&10\\&&&3\cdot x_{2}&=&15&|&:&3\\&&&x_{2}&=&5\end{array}}$

Die Lösungen lauten also $\left.x_{1}=-2\right.$ und $\left.x_{2}=5\right.$.

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