Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/Das Maß – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Motivation

In der Maßtheorie wollen wir Mengen ein Maß zuordnen. Bei Teilmengen aus $\mathbb {R}$ sind dies Längen, bei Teilmengen aus $\mathbb {R} ^{2}$ Flächen, bei Teilmengen aus $\mathbb {R} ^{3}$ Volumina und bei Teilmengen aus $\mathbb {R} ^{p}$ mit $p\geq 4$ verallgemeinerte Volumina. Dabei ordnen wir nur gewissen „guten“ Mengen ein Maß zu: das sind jene Mengen die wir durch Intervalle oder Rechtecke oder Quader "gut" überdecken können.

Wo stehen wir

Zuerst haben wir nur sehr primitive geometrische Figuren, wie Intervalle, Rechtecke oder (verallgemeinerte) Quader betrachtet und deren Eigenschaften zum Halbring verallgemeinert (mit $A,B\in H$ sind auch $\emptyset ,A\cap B\in H$ und $A\backslash B$ ist endliche disjunkte Vereinigung von Elementen aus $H$). Danach haben wir endliche disjunkte Vereinigungen von Halbringelementen eingeführt und zum Ring erklärt (mit $A,B\in R$ sind auch $\emptyset ,A\cup B,A\backslash B\in R$). Daraufhin haben wir unsere Flächenfunktion verallgemeinert zu einem additiven Inhalt bzw. sigma-additiven Prämaß, zuerst auf dem Halbring, dann auf dem Ring und deren Eigenschaften untersucht. Wir haben dann bewiesen, dass unsere Flächen-/Volumenfunktion ein Prämaß ist. Danach haben wir die Sigma-Algebra der "guten Mengen" eingeführt (mit $A_{n}\in S$ sind auch $\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n},A_{n}^{C},\emptyset \in S$) und erzeugte Sigma-Algebren betrachtet, insbesondere die von den Intervallen erzeugte Borelsche Sigma-Algebra. Jetzt führen wir Maße ein, indem wir den Definitionsbereich des Prämaßes einfach auf eine Sigma-Algebra vergrößern.

Zur Übersicht der Maßheorie-Herleitung geht es hier Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/_Allgemeine_Konstruktion_eines_Maßes

Definition des Maßes

Definition (Maß)

Sei $S$ eine Sigma-Algebra. Eine nicht-negative Abbildung

$m:S\rightarrow [0,\infty ]$

mit

${\begin{aligned}m(\emptyset )=&0\\m\left(\biguplus _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=&\sum _{i=1}^{\infty }m(A_{i})\end{aligned}}$

heißt Maß.

Wie für Inhalte gezeigt gezeigt, müssen wir $m(\emptyset )=0$ für die Wohldefiniertheit fordern, siehe Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/Inhalte_und_Prämaße_auf_(Halb-)Ringen

Rechenregeln für Maße

Die Rechenregeln für Inhalte und Prämaße auf Ringen gelten genauso für Maße.

Satz (Rechenregeln für Maße)

1. Monotonie: $m$ ordnet größeren Mengen einen größeren Wert zu (Monotonie):
   ${\text{Für }}A\subseteq B{\text{ gilt }}m(A)\leq m(B)$
2. Subtraktivität: $m$ ordnet einer Differenz von Mengen die Differenz der Werte zu :
   $m(B\backslash A)=m(B)-m(A)$
3. Subadditivität: Die Fläche einer endlichen Vereinigung ist kleiner gleich der Summe der Einzelflächen:
   $m\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}m(A_{i})$
4. Die Summe der Einzelfächen ist kleiner gleich der Fläche der disjunkten abzählbaren Vereinigung.
   $\sum _{i=1}^{\infty }m(A_{i})\leq m\left(\biguplus _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)$
5. Die Summe zweier Flächen ist gleich der Summe der Flächen des Schnitts und der Vereinigung:
   $m(A\cup B)+m(A\cap B)=m(A)+m(B)$
6. Die Fläche einer abzählbaren Vereinigung ist kleiner gleich der Summe der Einzelflächen:
   $m\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{\infty }m(A_{i})$

Siehe Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/Eigenschaften_von_Inhalten_und_Prämaßen

Beweis (Rechenregeln für Maße)

Wir zeigen nur, dass eine Sigma-Algebra $S$ insbesondere ein Ring ist. Den Rest haben wir in einem früheren Kapitel bewiesen

$\emptyset \in S$

Seien $A,B\in S$. Dann gilt

$A\cup B\in S$

da sogar abzählbare Vereinigungen in $S$ sind

$A\backslash B=A\cap B^{C}\in S$

da Komplemente und Schnitte wieder in $S$ sind.

Aufgabe 1: Das Zählmaß

Aufgabe (Zählmaß)

Sei $(\mathbb {Z} ,Pot(\mathbb {Z} ),m)$ gegeben mit dem Zählmaß $m(A)=$Anzahl Elemente von $A$.

Sei $m_{1}$ ein translationsinvariantes Maß auf $(\mathbb {Z} ,Pot(\mathbb {Z} ))$, d.h.

${\begin{aligned}\forall A\subset \mathbb {Z} ,z\in \mathbb {Z} :\ m_{1}(A+z)=m_{1}(A)\end{aligned}}$

a) Zeige: $m$ ist ein Maß

b) Zeige: ist $m_{1}(z)<\infty$ für ein $z\in \mathbb {Z}$ (und damit für alle $z\in \mathbb {Z}$), so ist $m_{1}$ ein Vielfaches des Zählmaßes.

Beweis (Zählmaß)

a) Da die leere Menge Null Elemente hat, gilt

$m(\emptyset )=0$

Seien $A_{n}\subset \mathbb {Z}$.

${\begin{aligned}m\left(\biguplus _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\right)=&{\text{Anzahl Elemente in }}\biguplus _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\\=&{\text{Abzählbare Summe über n von: Anzahl Elemente in }}A_{n}\\=&\sum _{n=1}^{\infty }m(A_{n})\end{aligned}}$

b) Für alle $A\in Pot(\mathbb {Z} )$ gilt

$m_{1}(A)=\sum _{z\in A}m_{1}(z)=\sum _{z\in A}m_{1}(0)={\text{Anzahl Elemente in A}}\cdot m_{1}(0)=m(A)\cdot m_{1}(0)$

Aufgabe 2: Maße auf abzählbaren Räumen

Aufgabe (Darstellung von Maßen auf abzählbaren Räumen)

Sei $(\mathbb {N} ,Pot(\mathbb {N} ),m)$ ein Maßraum. Dann gibt es eindeutig $a_{n}\in [0,\infty ]$ mit

$\forall E\in Pot(\mathbb {N} ):\ m(E)=\sum _{n\in E}a_{n}$

Beweis (Darstellung von Maßen auf abzählbaren Räumen)

Da $m$ sigma-additiv ist, schreiben wir mit $\forall n\in \mathbb {N} :\ a_{n}:=m(\{n\})$

$m(E)=m\left(\biguplus _{n\in E}\{n\}\right)=\sum _{n\in E}m(\{n\})=\sum _{n\in E}a_{n}$

Aufgabe 3: Einfache Maße

Aufgabe

Sei die Grundmenge $\mathbb {R}$ und die Sigma-Algebra $S=\{A\subset \mathbb {R} :A{\text{ oder }}A^{C}{\text{ abzählbar}}\}\subset Pot(\mathbb {R} )$. Zeige: das folgende $m$ ist ein Maß

$m(A)={\begin{cases}0&A{\text{ ist abzählbar }}\\1&A^{C}{\text{ ist abzählbar}}\\\end{cases}}$

Mit

$m(A)={\begin{cases}0&A{\text{ ist abzählbar }}\\\infty &A^{C}{\text{ ist abzählbar}}\\\end{cases}}$

erhalten wir ein Beispiel für ein nicht sigma-endliches Maß. Das ist ein Maß dessen Grundmenge sich nicht durch eine abzählbare aufsteigende Mengenfolge $(A_{n})_{n}$ mit $A_{n}\subset A_{n+1}$ und mit endlichen Maßen $m(A_{n})<\infty$ ausschöpfen lässt.

Wie kommt man auf den Beweis?

Beachte, dass man für disjunkte abzählbare Vereinigung die Maßeigenschaft prüft.

Lösung

Da die leere Menge kein Element und damit abzählbar viele Elemente hat, gilt

$m(\emptyset )=0$

Seien $\forall n\in \mathbb {N} :\ A_{n}\in S$ disjunkt.

1. Fall: Alle $A_{n}$ sind abzählbar. Dann ist die Vereinigung ebenfalls abzählbar und es folgt

$m\left(\biguplus _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\right)=0=\sum _{n=1}^{\infty }m(A_{n})$

2. Fall: Ein $A_{j}^{C}$ ist abzählbar. Da die $A_{n}$ disjunkt sind, sind alle anderen $A_{n}$ in $A_{j}^{C}$ und somit abzählbar! Nur ein Term der abzählbaren Summe wird daher $1$. Außerdem ist

$\left(\biguplus _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\right)^{C}=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }A_{n}^{C}$

abzählbar. Das ergibt

$m\left(\biguplus _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\right)=1=\sum _{n=1}^{\infty }m(A_{n})$