Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Jordan-Inhalt

Formale Herleitung und wichtige Eigenschaften des w:Jordan-Maß

Innerer und äußerer Peano-Jordan-Inhalt

Definition

Sei $A\subset {ℝ}^n$.

1. Der innere Peano-Jordan-Inhalt ist definiert als
   $\begin{array}{c}{m}_{\ast }(A):=sup\{m(B):B\in F^p,B\subseteq A\}\end{array}$

   Wir nehmen also das "Maximum" der Flächeninhalte von Quaderfiguren innerhalb von $A$. Da das Maximum eventuell durch Quaderfiguren nicht angenommen wird, wählen wir das Supremum, das immer existiert.

   

   Ausschöpfung eines Kreises mit Rechtecken

2. Der äußere Peano-Jordan-Inhalt ist definiert als
   $\begin{array}{c}{m}^{\ast }(A):=inf\{m(B):B\in F^p,A\subseteq B\}\end{array}$

   Wir nehmen also das "Minimum" der Flächeninhalte von Quaderfiguren, die $A$ überdecken. Da das Minimum eventuell durch Quaderfiguren nicht angenommen wird, wählen wir das Infimum, das immer existiert.

   

   Überdeckung eines Kreises mit Rechtecken

3. Die Menge $A$ heißt Peano-Jordan-messbar genau dann wenn innerer und äußerer Peano-Jordan-Inhalt gleich sind
   $m_{\ast }(A)=m^{\ast }(A)<\mathrm{\infty }$

Der innere Inhalt ist kleiner als der äußere

Da der innere Inhalt berechnet wird über Quaderfiguren, die innerhalb $A$ liegen, und der äußere berechnet wird über Quaderfiguren, die $A$ überdecken, sollte der äußere Peano-Jordan-Inhalt immer größer sein als der innere. Und das ist auch der Fall:

Satz

Es gilt für jedes $A\subset {ℝ}^n$

$\begin{array}{c}{m}_{\ast }(A)\le m^{\ast }(A)\end{array}$

Beweis

Es gilt

$\begin{array}{c}\mathrm{\forall }A\supset B\in F^p\mathrm{\forall }A\subset C\in F^p:B\subseteq A\subseteq C\end{array}$

Wir haben im letzten Kapitel gezeigt, dass der Inhalt auf den Quaderfiguren monoton ist Mathe_für_Nicht-Freaks: Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/ Quader-_und_Rechtecksfiguren#Eigenschaft_eines_Inhalts:_Monotonie, daher folgt

$\begin{array}{c}\mathrm{\forall }A\supset B\in F^p\mathrm{\forall }A\subset C\in F^p:m(B)\le m(C)\end{array}$

Geht man links zum Supremum und rechts zum Infimum über, bleibt das Kleiner-Gleich-Zeichen erhalten.

$\begin{array}{c}\underset{A\supset B\in F^p}{sup}m(B)\le \underset{A\subset C\in F^p}{inf}m(C)\end{array}$

Das ist aber genau die Definition von innerem und äußerem Peano-Jordan-Inhalt

$\begin{array}{c}{m}_{\ast }(A)\le m^{\ast }(A)\end{array}$

Quaderfiguren sind messbar mit bekanntem Inhalt

Für Quaderfiguren erwarten wir, dass sie messbar sind der Inhalt aus dem letzten Kapitel denselben Wert annimmt wie der Peano-Jordan-Inhalt. Das müssen wir dennoch kurz beweisen.

Satz

Quaderfiguren $A=\underset{i=1}{\overset{n}{⨄}}{A}_i\in F^p$ sind Peano-Jordan-messbar und ihr Peano-Jordan-Inhalt ist genau der Inhalt, den wir in letztem Kapitel festgelegt haben

$\begin{array}{c}m(A)=\sum _{i=1}^n\prod _{j=1}^p(b_{ij}-a_{ij}).\end{array}$

Beweis

Verwende $A$ selbst als echtes Maximum der Ausschöpfungen von $A$ mit Quaderfiguren und als echtes Minimum der Überdeckungen mit Quaderfiguren, das ergibt

$\begin{array}{cc}{m}_{\ast }(A)=& m(A)\\ m^{\ast }(A)=& m(A)\end{array}$

Damit liegt der Wert fest und insbesondere sind Quaderfiguren Peano-Jordan-messbar.

Sub-/Superadditivität von äußerem/innerem Inhalt

Wir wollen im übernächsten Satz die Additivität des Peano-Jordan-Inhaltes zeigen und benötigen dazu folgende zwei Ungleichungen .

Satz

Seien $A_1\dots A_n\in {ℝ}^p$ beliebig. Dann gilt

1. Der äußere Peano-Jordan-Inhalt ist subadditiv
   $\begin{array}{c}{m}^{\ast }\left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)\le \sum _{i=1}^n{m}^{\ast }(A_i)\end{array}$

   Wenn sich die Mengen überschneiden, ist anschaulich ihre Fläche kleiner als die Summe der Einzelflächen. Das sagt die Gleichung aus.

2. Seien die $A_i$ zudem disjunkt. Dann ist der innere Peano-Jordan-Inhalt superadditiv
   $\begin{array}{c}{m}_{\ast }\left(\underset{i=1}{\overset{n}{⨄}}{A}_i\right)\ge \sum _{i=1}^n{m}_{\ast }(A_i)\end{array}$

Beweis

Sei $\epsilon >0$. Da das äußere Maß als Infimum definiert ist, gibt es für jedes $1\le i\le n$ ein $B_i\in F^p$ sodass

$\begin{array}{c}{A}_i\subset B_i\in F^p\\ m^{\ast }(A_i)+\frac{\epsilon }{n}\ge m(B_i)\end{array}$

Weil die Vereinigung der $B_i$ wieder eine Quaderfigur ist Mathe_für_Nicht-Freaks: Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/_Quader-_und Rechtecksfiguren#Vereinigung_zweier_Quaderfiguren, die zudem $\bigcup _{i=1}^n{A}_i$ enthält, gilt mit der Definition des äußeren Maßes als Infimum

$\begin{array}{c}{m}^{\ast }\left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)\le m\left(\bigcup _{i=1}^n{B}_i\right)\end{array}$

Mit der Subadditivität des Inhaltes auf Quaderfiguren Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/ Quader-_und_Rechtecksfiguren#Eigenschaft_von_Inhalten: Subadditivität folgen dann

$\begin{array}{cc}{m}^{\ast }\left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)\le & m\left(\bigcup _{i=1}^n{B}_i\right)\\ \le & \sum _{i=1}^{n}m(B_i)\\ \le & \sum _{i=1}^n(m^{\ast }(A_i)+\frac{\epsilon }{n})\\ =& \epsilon +\sum _{i=1}^n{m}^{\ast }(A_i)\end{array}$

Da $\epsilon$ beliebig war, folgt die Behauptung.

Ganz analog folgt Superadditivität: Sei $\epsilon >0$. Da das innere Maß als Supremum definiert ist, gibt es für jedes $1\le i\le n$ ein $B_i\in F^p$ sodass

$\begin{array}{c}{A}_i\supset B_i\in F^p\\ m_{\ast }(A_i)-m(B_i)\le \frac{\epsilon }{n}\end{array}$

Weil die disjunkte Vereinigung der $B_i$ (da die $A_i$ schon disjunkt waren) wieder eine Quaderfigur ist, die zudem $\underset{i=1}{\overset{n}{⨄}}{A}_i$ enthält, gilt mit der Definition des inneren Maßes als Supremum

$\begin{array}{c}{m}_{\ast }\left(\underset{i=1}{\overset{n}{⨄}}{A}_i\right)\ge m\left(\underset{i=1}{\overset{n}{⨄}}{B}_i\right)\end{array}$

Mit der Additivität des Inhaltes auf Quaderfiguren Mathe_für_Nicht-Freaks: Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/ Quader-_und_Rechtecksfiguren#Inhaltsfunktion folgen dann

$\begin{array}{cc}{m}_{\ast }\left(\underset{i=1}{\overset{n}{⨄}}{A}_i\right)\ge & m\left(\underset{i=1}{\overset{n}{⨄}}{B}_i\right)\\ =& \sum _{i=1}^{n}m(B_i)\\ \ge & \sum _{i=1}^n(m_{\ast }(A_i)-\frac{\epsilon }{n})\\ =& -\epsilon +\sum _{i=1}^n{m}^{\ast }(A_i)\end{array}$

Da $\epsilon$ beliebig war, folgt die Behauptung.

Der Peano-Jordan-Inhalt ist additiv

Nun kommen wir zur entscheidenden Eigenschaft des Peano-Jordan-Imhaltes.

Satz

Seien $A_1\dots A_n\in {ℝ}^p$ Peano-Jordan-messbar und disjunkt. Dann ist $\underset{i=1}{\overset{n}{⨄}}{A}_i$ Peano-Jordan-messbar und es gilt

$\begin{array}{c}m\left(\underset{i=1}{\overset{n}{⨄}}{A}_i\right)=\sum _{i=1}^{n}m(A_i)\end{array}$

Beweis

Mit dem letzten Satz folgt die Behauptung.

$\begin{array}{c}\sum _{i=1}^n{m}_{\ast }(A_i)\le m_{\ast }\left(\underset{i=1}{\overset{n}{⨄}}{A}_i\right)\le m^{\ast }\left(\underset{i=1}{\overset{n}{⨄}}{A}_i\right)\le \sum _{i=1}^n{m}^{\ast }(A_i)\end{array}$

Eigenschaften des Jordanmaßes

To-Do:

Inhalt statt Maß

To-Do:

Ergänzung: Der Jordan-Inhalt ist Subadditiv (wurde im vorherigen Abschnitt für Quaderfiguren gezeigt)

Zeige: Positivität und Monotonie von innerem und äußerem Jordan- Inhalt

Zeige: Nullmengen des äußeren Maßes sind Jordan-messbar.

Zeige: $m_{\ast }(A)=m(B)-m^{\ast }(B\mathrm{\setminus }A)$ für beschränkte Jordan-messbare $B$ und beliebige (!) $A\subset B$ Zeige : Sind $A,B$ beschränkt und Jordan messbar, so auch $A\cap B$ und $B\mathrm{\setminus }A$

Zeige: Sei $D$ beschränkt und Jordan messbar. Dann ist die Klasse der Jordan-messbaren Teilmengen von $D$ eine Algebra

Topologie: $m^{\ast }(A)=m^{\ast }(\bar{A})$ und $m_{\ast }(A)=m_{\ast }(A^{\circ })$ etc...

Zeige $\mathbb{Q}\cap [0,1]$ ist nicht Jordan-messbar.

Zeige die Menge $(0,1]\times (0,1]\uplus (0,1]\times (0,1/2]\uplus (0,1]\times (0,1/4]\uplus \mathrm{...}$ ist nicht Jordan-messbar, obwohl anschaulich der Flächeninhalt $2$ sein müsste.

To-Do:

warum können diese Mengen disjunkt vereinigt werden? Konstruiere die zu vereinigenden Mengen, sodass sie disjunkt sind: $A_n=(0,1]\times (0,1/2^n],\bigcup _{n\in \mathbb{N}}{A}_n=\underset{n\in \mathbb{N}}{⨆}{A}_n\setminus A_{n+1}$

Daher erweitern wir unsere Definition auf abzählbare Überdeckungen zum Lebesguemaß

Literatur

• Eigenschaften: http://www.jkrieger.de/mathe/analysis/node66.html
• Zusammenfassung: https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Jordan_measure
• Skript, welches mit Jordan-Maß beginnt: https://www.alt.mathematik.uni-mainz.de/Members/froehli/skripte/ws2011/kapitel04.pdf