Buchanfang Partielle Differentialgleichungen by Richard4321/ Die Fundamentallösung der Laplacegleichung – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Wir setzen im Folgenden stets die Maßtheorie, den Satz von Gauß/Stokes und Analysis II voraus.

Wo stehen wir

Wir hatten die Lösungen der Transportgleichung betrachtet.

Der Laplaceoperator ist rotationssymmetrisch

Rotationen werden durch eine orthonormale Matrix B beschrieben, für die also gilt

$BB^{T}=1$

Unter diesen bleibt die Laplacegleichung erhalten.

Satz

Sei B eine orthonromale $n\times n$-Matrix und $v(x):=u(Bx)$. Dann gilt

$\Delta v=0$

d.h. die Laplacegleichung ist rotationsinvariant.

Beweis

Wir berechnen die ersten und zweiten Ableitungen von $v$. Dabei verwenden wir die Kettenregel

${\begin{array}{rcl}D_{i}v(x)&=&(D_{i})u\left({\begin{array}{c}\sum _{k=1}^{n}b_{1k}x_{k}\\\vdots \\\sum _{k=1}^{n}b_{nk}x_{k}\\\end{array}}\right)\\&=&\sum _{j=1}^{n}(D_{j}u)(Bx)\cdot b_{ji}\\D_{ki}v(x)&=&(D_{k})(D_{i}v(x))=D_{k}\left(\sum _{j=1}^{n}(D_{j}u)(Bx)\cdot b_{ji}\right)\\&{\stackrel {\text{Ableitung linear}}{=}}&\sum _{j=1}^{n}b_{ji}\cdot D_{k}(D_{j}u(Bx))\\&=&\sum _{j=1}^{n}b_{ji}\sum _{l=1}^{n}D_{l}D_{j}u(Bx)\cdot b_{lk}\end{array}}$

Wegen der Orthonormalität gilt

$\sum _{i=1}^{n}b_{ji}b_{li}=\delta _{jl}=\left\{{\begin{array}{cl}1&{\text{ für }}j=l\\0&{\text{ für }}j\neq l\\\end{array}}\right.$

Aufsummieren der zweiten Ableitungen ergibt

${\begin{array}{rcl}\Delta v(x)&=&\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\sum _{l=1}^{n}b_{ji}\cdot b_{li}\cdot D_{lj}u(Bx)\\&=&\sum _{j=1}^{n}\sum _{l=1}^{n}D_{lj}u(Bx)\underbrace {\sum _{i=1}^{n}b_{ji}\cdot b_{li}} _{=\delta _{jl}}\\&=&\sum _{j=1}^{n}D_{jj}u(Bx)=\Delta u(Bx)=0\end{array}}$

Die Fundamentallösung der Laplace-Gleichung

Definition

Die Fundamentallösung der Laplace-Gleichung definieren wir durch

${\begin{aligned}P:\mathbb {R} ^{n}\backslash \{0\}\rightarrow \mathbb {R} ,x\mapsto {\begin{cases}{\frac {-1}{2\pi }}\ln |x|&{\text{ falls }}n=2\\{\dfrac {1}{n(n-2)Vol(B(0,1))}}|x|^{2-n}&{\text{ falls }}n\geq 3\\\end{cases}}\end{aligned}}$

Das wollen wir uns plausibel machen.

Beweis (Konstruktionsweg)

Betrachte die Laplacegleichung $\Delta u=0$ im $\mathbb {R} ^{n}$ mit $n\geq 2$. Da die Laplacegleichung rotationsinvariant ist, suchen wir der Einfachheit halber zuerst nach einer rotationssymmetrischen Lösung, d.h. eine Lösung, die nur von

$r={\sqrt {x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}}}$

abhängt, d.h. $u(x)=v(r)$ mit $v:\mathbb {R} ^{+}\rightarrow \mathbb {R}$. Welche Differentialgleichung gilt dann für $v$?

Wir berechnen für $1\leq i\leq n,x\neq 0$ die Ableitung des Radius nach den Koordinaten

${\begin{aligned}{\frac {\partial r}{\partial x_{i}}}=&{\frac {\partial {\sqrt {x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}}}}{\partial x_{i}}}\\=&{\frac {1}{2{\sqrt {x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}}}}}{\frac {\partial (x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2})}{\partial x_{i}}}\\=&{\frac {1}{2r}}2x_{i}={\frac {x_{i}}{r}}\end{aligned}}$

Das ergibt für die Ableitungen für $u$ mit der Kettenregel

${\begin{aligned}{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}=&{\frac {\partial v}{\partial r}}{\frac {\partial r}{\partial x_{i}}}=v'(r){\frac {x_{i}}{r}}\\\end{aligned}}$

Erneutes Ableiten ergibt

${\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}^{2}}}=&{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {v'(r)x_{i}}{r}}\\=&{\frac {x_{i}}{r}}{\frac {\partial v'}{\partial x_{i}}}+{\frac {v'(r)}{r}}{\frac {\partial x_{i}}{\partial x_{i}}}+v'(r)x_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {1}{r}}\\=&{\frac {x_{i}}{r}}{\frac {\partial v'}{\partial r}}{\frac {\partial r}{\partial x_{i}}}+{\frac {v'(r)}{r}}+v'(r)x_{i}{\frac {-1}{r^{2}}}{\frac {\partial r}{\partial x_{i}}}\\=&{\frac {x_{i}^{2}v''(r)}{r^{2}}}+{\frac {v'(r)}{r}}-{\frac {v'(r)x_{i}^{2}}{r^{3}}}\end{aligned}}$

Aufsummieren ergibt

${\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}^{2}}}=&{\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}v''(r)}{r^{2}}}+n{\frac {v'(r)}{r}}-{\frac {v'(r)}{r^{3}}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\\=&{\frac {r^{2}v''(r)}{r^{2}}}+n{\frac {v'(r)}{r}}-{\frac {v'(r)}{r^{3}}}r^{2}\\=&v''(r)+v'(r){\frac {n-1}{r}}\end{aligned}}$

Wegen $\Delta u=0$ in $\mathbb {R} ^{n}$ erhalten wir die gewöhnliche (!) Differentialgleichung für $v$

$v''(r)+v'(r){\frac {n-1}{r}}=0$

Setze $w=v'$. Das ergibt die gewöhnliche Differentialgleichung

$w'(r)=w(r){\frac {1-n}{r}}$

Mit dem Ansatz $w=ar^{m}$ folgt

${\begin{aligned}amr^{m-1}=&ar^{m}{\frac {1-n}{r}}\\m=&1-n\end{aligned}}$

Einsetzen ergibt

${\begin{aligned}v(r)=&\int v'(r)dr=\int w(r)dr=\int ar^{1-n}dr\\=&{\begin{cases}a\ln r+c&{\text{ falls }}n=2\\{\frac {a}{2-n}}{\dfrac {1}{r^{n-2}}}+c&{\text{ falls }}n\geq 3\\\end{cases}}\end{aligned}}$

Wie wir schon im nächsten Kapitel sehen, bietet es sich an $c=0$ zu setzen und für $a$ obige Werte zu wählen.

Eigenschaften der Kugel(-oberfläche)

Wir benötigen in folgenden Kapiteln folgende Beziehung für Volumen der Kugel und der Oberfläche der Sphäre.

Satz

Es gilt

${\begin{aligned}Vol(\partial B(0,1))&=nVol(B(0,1))\\Vol(\partial B(x_{0},r))&=r^{n-1}Vol(\partial B(0,1))\\Vol(B(x_{0},r))&=r^{n}Vol(B(0,1))\end{aligned}}$

Beweis

1.) Wir rechnen aus Symmetriegründen in Polarkoordinaten

${\begin{aligned}Vol(B(0,1))=&\int _{B(0,1)}r^{n-1}drdS\\=&\int _{0}^{1}r^{n-1}dr\int _{\partial B(0,1)}dS\\=&{\frac {1}{n}}r^{n}|_{0}^{1}\cdot Vol(\partial B(0,1))\\=&{\frac {1}{n}}\cdot Vol(\partial B(0,1))\end{aligned}}$

2.) Für die Abbildung

${\begin{aligned}T:\partial B(0,1)\rightarrow \partial B(x_{0},r),x\mapsto x_{0}+rx\end{aligned}}$

berechnet sich das Differential zu

${\begin{aligned}{\frac {\partial T_{i}}{\partial x_{j}}}=&r\delta _{ij}\\\det(DT)=&r^{n-1}\end{aligned}}$

und es gilt mit der Transformationsformel

${\begin{aligned}Vol(\partial B(x_{0},r))=&\int _{\partial B(x_{0},r)}dS(y)\\{\stackrel {\text{Trafo-Formel}}{=}}&\int 1_{\partial B(x_{0},r)}\circ T|\det DT|dS(x)\\=&\int 1_{\partial B(0,1)}|\det DT|dS(x)\\=&\int _{\partial B(0,1)}r^{n-1}dS(x)\\=&r^{n-1}Vol(\partial B(0,1))\end{aligned}}$

3.) Für die Abbildung

${\begin{aligned}T:B(0,1)\rightarrow B(x_{0},r),x\mapsto x_{0}+rx\end{aligned}}$

berechnet sich das Differential zu

${\begin{aligned}{\frac {\partial T_{i}}{\partial x_{j}}}=&r\delta _{ij}\\\det(DT)=&r^{n}\end{aligned}}$

und es gilt mit der Transformationsformel

${\begin{aligned}Vol(B(x_{0},r))=&\int _{B(x_{0},r)}dS(y)\\{\stackrel {\text{Trafo-Formel}}{=}}&\int 1_{B(x_{0},r)}\circ T|\det DT|dS(x)\\=&\int 1_{B(0,1)}|\det DT|dS(x)\\=&\int _{B(0,1)}r^{n}dS(x)\\=&r^{n}Vol(B(0,1))\end{aligned}}$

Eigenschaften der Fundamentallösung

Satz

Wir benötigen den Gradienten von $P$

${\begin{aligned}\nabla P(y)={\frac {-1}{nVol(B(0,1))}}{\frac {y}{|y|^{n}}}{\text{ für }}n\geq 2\end{aligned}}$

Die Fundamentallösung und ihre Ableitung sind in $L_{loc}^{1}(\mathbb {R} ^{n})$.

Beweis

1.) Der Gradient von $P$ berechnet sich zu

${\begin{aligned}\nabla P(y)=&{\begin{cases}{\dfrac {-1}{2\pi }}{\dfrac {1}{|y|}}{\dfrac {y}{|y|}}&n=2\\{\dfrac {-1}{n(n-2)Vol(B(0,1))}}{\dfrac {n-2}{|y|^{n-1}}}{\dfrac {y}{|y|}}&n\geq 3\\\end{cases}}\\=&{\frac {-1}{nVol(B(0,1))}}{\frac {y}{|y|^{n}}}{\text{ für }}n\geq 2\end{aligned}}$

2.) Da die Funktionen nur in $0$ gegen Unendlich gehen und außerhalb einer Nullumgebung beschränkt sind, reicht es wegen der vorausgesetzten Kompaktheit (somit Beschränktheit) die Integrierbarkeit auf Kugeln um $0$ zu überprüfen.

$n=2$: Es gilt

$\int _{B(0,1)}|P(x)|dx=\int _{0}^{1}|\ln r|rdr$

Da $r|\ln r|$ sich gemäß L'Hospital (siehe Mathe_für_Nicht-Freaks:_Regel_von_L'Hospital) stetig in $0$ zu $0$ fortsetzen lässt, ist es als stetige Funktion integrierbar auf $[0,1]$:

${\begin{array}{rcl}\lim _{r\rightarrow 0}r|\ln r|&=&\lim _{r\rightarrow 0}{\dfrac {-\ln r}{\frac {1}{r}}}\\&{\stackrel {\text{L'Hospital}}{=}}&\lim _{r\rightarrow 0}{\dfrac {\frac {-1}{r}}{\frac {-1}{r^{2}}}}\\&=&\lim _{r\rightarrow 0}r=0\end{array}}$

$n\geq 3$:

${\begin{aligned}\int _{B(0,1)}|P(x)|dx=&Vol(\partial B(0,1))\int _{0}^{1}{\dfrac {1}{(n-2)Vol(\partial B(0,1))r^{n-2}}}r^{n-1}dr\\=&{\dfrac {1}{n-2}}\int _{0}^{1}rdr={\dfrac {1}{2(n-2)}}\end{aligned}}$

3.) Mit Polarkoordinaten gilt

Zeige: $\nabla P\in L_{loc}^{1}(\mathbb {R} ^{n})$. Für $n\geq 2$ gilt

${\begin{aligned}\int _{B(0,1)}|\nabla P(y)|dy=&\int _{B(0,1)}\left|{\frac {-1}{nVol(B(0,1))}}{\frac {y}{|y|^{n}}}\right|dy\\=&{\frac {1}{nVol(B(0,1))}}\int _{B(0,1)}{\frac {|y|}{|y|^{n}}}dy={\frac {1}{nVol(B(0,1))}}\int _{B(0,1)}{\frac {1}{r^{n-1}}}dSdr\\=&{\frac {1}{Vol(\partial B(0,1))}}\int _{0}^{1}{\frac {1}{r^{n-1}}}Vol(\partial B(0,r))dr\\=&{\frac {1}{Vol(\partial B(0,1))}}\int _{0}^{1}{\frac {1}{r^{n-1}}}r^{n-1}Vol(\partial B(0,1))dr\\=&\int _{0}^{1}dr=1\end{aligned}}$