Regel von L'Hospital – Mathe für Nicht-Freaks

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Als letzte Anwendung des Mittelwertsatzes, genauer gesagt des zweiten Mittelwertsatzes, wollen wir die Regel von L'Hospital herleiten. Diese stellen eine praktische Möglichkeit dar, den Grenzwert einer Quotientenfunktion durch separates Ableiten von Zählen und Nenner zu bestimmen. Benannt ist die Regel nach dem französischen Mathematiker Guillaume François Antoine l’Hospital, sie stammt allerdings von dem schweizer Mathematiker Johann Bernoulli.

Die Regel von L'Hospital[Bearbeiten]

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Satz (Regel von L'Hospital)

Sei und mit oder mit . Seien differenzierbare Funktionen und gelte für alle . Weiter existiere der Grenzwert . Zudem gelte eine der beiden Aussagen:

  1. und
  2. .

Dann gilt .

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Beweis (Regel von L'Hospital)

Wir betrachten zunächst den ersten Fall mit . Wegen und können wir die Funktionen und stetig fortsetzen. Wir erhalten die Funktionen mit und für alle . Weiter setzen wir und .

Wir betrachten nun eine beliebige Folge , die gegen konvergiert. Da die Funktionen und stetig sind, können wir den verallgemeinerten Mittelwertsatz anwenden. Es gibt also eine Folge , so dass für alle gilt bzw. und

Somit folgt

Da dies für jede beliebige Folge gilt, folgt insgesamt .

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To-Do:

2. Fall

Nun betrachten wir den Fall . Dazu definieren wir die Hilfsfunktionen Dabei wählen wir ein mit für bzw. für . Wir setzen bzw. . Für alle setzen wir und .

Wir betrachten im Folgenden nur den Fall , da der Beweis für analog geht. Es gilt:

Wir können also die Regel von L'Hospital für den Fall , den wir bereits bewiesen haben, anwenden. Es gilt:

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To-Do:

Satz fertig schreiben

Anwendungsbeispiele[Bearbeiten]

Standardtypen und [Bearbeiten]

Zunächst behandeln wir die Typen, bei denen sich die Regeln direkt anwenden lassen.

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Beispiel (Bestimmung von Grenzwert L'Hospital 1)

Als erstes wollen wir den „Klassiker“

berechnen. Es gilt . Außerdem sind und auf differenzierbar, und es gilt . Da weiter

existiert, gilt mit dem Satz von L'Hospital ebenfalls

Im Allgemeinen schreiben wir dies nicht so ausführlich auf. Wir überprüfen die Voraussetzungen im Kopf, und schreiben das Ergebnis wie folgt auf:

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Hinweis

Mit der Regel von L'Hospital lässt sich der Grenzwert sehr einfach als „Einzeiler“ berechnen. Wir weisen allerdings darauf hin, dass wir bei der Anwendung der Regel die Ableitung

verwendet haben. Für die Berechnung dieser wurde also genau dieser Grenzwert benötigt. Da wir die Ableitungen der Grundfunktionen allerdings als bekannt voraussetzen, wenn sie einmal berechnet sind, stellt dies kein Problem dar.

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Aufgabe (Bestimmung von Grenzwerten mit L'Hospital)

Bestimme die folgenden Grenzwerte:

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Lösung (Bestimmung von Grenzwerten mit L'Hospital)

Teilaufgabe 1:

Teilaufgabe 2:

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Beispiel (Bestimmung von Grenzwert L'Hospital 2)

Als nächstes bestimmen wir

Es gilt . Da auch die anderen Voraussetzungen zum Satz von L'Hospital erfüllt sind, gilt

Dieser Grenzwert lässt sich für verallgemeinern zu

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Aufgabe (Bestimmung von Grenzwert mit L'Hospital 2)

Bestimme für den Grenzwert

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Lösung (Bestimmung von Grenzwert mit L'Hospital 2)

Es gilt

Manchmal ist es auch notwendig die Regeln von L'Hospital mehrmals hintereinander anzuwenden, bevor wir zum gewünschten Ergebnis gelangen.

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Beispiel (Bestimmung von Grenzwert L'Hospital 3)

Als nächstes bestimmen wir

Es gilt . Wenden wir L'Hospital an, so erhalten wir

Nun gilt wieder . Wenden wir L'Hospital erneut an, so erhalten wir schließlich

Also gilt insgeamt

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Aufgabe (Bestimmung von Grenzwerten mit L'Hospital 3)

Bestimme für die Grenzwerte

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Lösung (Bestimmung von Grenzwerten mit L'Hospital 3)

Teilaufgabe 1:

Teilaufgabe 2:

Typ [Bearbeiten]

Hier sind die Regeln von L'Hospital nicht unmittelbar anwendbar. Der „Trick“ ist es daher durch Kehrwertbildung einen Bruchterm zu erzeugen, und so einen Grenzwert in der Standardform oder zu erhalten.

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Beispiel (Bestimmung von Grenzwert mit L'Hospital 4)

Das Standardbeispiel zu diesem Fall ist der Grenzwert

Es gilt und . Nun erhalten wir durch Kehrwertbildung

Da gilt , ist L'Hospital anwendbar, und wir erhalten

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Warnung

Zwar führt die Umformung

auf einen Ausdruck der Form . Jedoch erhalten wir hier durch Anwendung der Regel von L'Hospital

Dieser Ausdruck ist nun wieder vom Typ , hat jedoch eine kompliziertere Form als der Ursprüngliche. Der Trick führt also nicht immer zum Erfolg! :-(

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Aufgabe (Bestimmung von Grenzwerten mit L'Hospital 4)

Berechne

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Lösung (Bestimmung von Grenzwerten mit L'Hospital 4)

Teilaufgabe 1:

Teilaufgabe 2:

Teilaufgabe 3:

Typ [Bearbeiten]

Als nächstes behandeln wir Differenzen von Grenzwerten, die beide uneigentlich gegen konvergieren. Oftmals handelt es sich dabei um Differenzen von Bruchtermen. Durch Hauptnennerbildung und Zusammenfassen zu einem Bruchtern kann der Ausdruck häufig so umgeformt werden, das die Regeln von L'Hospital anwendbar sind.

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Beispiel (Bestimmung von Grenzwert L'Hospital 5)

Betrachten wir den Grenzwert

Hier gilt . Also ist der Grenzwert vom beschriebenen Typ . Durch Hauptnennerbildung erhalten wir

Wegen ist l'Hospital anwendbar, und wir erhalten

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Aufgabe (Bestimmung von Grenzwerten mit L'Hospital 5)

Bestimme

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Lösung (Bestimmung von Grenzwerten mit L'Hospital 5)

Teilaufgabe 1: Es gilt

Teilaufgabe 2: Hier gilt

Typen , , und [Bearbeiten]

Tritt einer der beschriebenen Fälle ein, so wenden wir den Trick an, den wir schon bei der Berechnung der Ableitung von verallgemeinerten Potenzfunktionen angewendet haben: Wir schreiben zunächst als . Da auf ganz stetig ist, lässt sich der Limes „nach Innen ziehen“. Der dort gebildetet Grenzwert ist nun sehr häufig von Typ und lässt sich wie oben beschrieben mit den Regeln von L'Hopital berechnen.

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Beispiel (Bestimmung von Grenzwert mit L'Hospital 6)

Der „Klassiker“ hier ist der Grenzwert

Dieser ist von Typ . Wie oben beschrieben formen wir ihn um zu

Ziehen wir den Limes in die Exponentialfunktion, so entsteht der Grenzwert

Dieser ist von Typ . Weiter oben hatten wir ihn wie folgt berechnet

Wegen der Stetigkeit von folgt daher

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Hinweis

Der Grenzwert ist auch der Hauptgrund, warum gesetzt wird. Denn dadurch íst die Funktion stetig in null.

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Aufgabe (Bestimmung von Grenzwerten mit L'Hospital 6)

Berechne die folgenden Grenzwerte

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Lösung (Bestimmung von Grenzwerten mit L'Hospital 6)

Teilaufgabe 1:

Teilaufgabe 2:

Warnbeispiele[Bearbeiten]

Nicht immer ist es sinnvoll die Regel von L'Hospital anzuwenden. Insbesondere darf sie nicht angewendet werde, falls die Voraussetzungen nicht erfüllt sind. In diesem Fall kann das überstürzte Anwenden der Regel ein falsches Ergebnis liefern. Daher wollen wir einige Warnbeispiele besprechen, die dies veranschaulichen sollen.

L'Hospital kann sehr langwierig/umständlich sein - Es muss nicht immer L'Hospital sein![Bearbeiten]

Wachstumsverhalten von Exponential- und Logarithmusfunktion[Bearbeiten]

Betrachten wir hierzu den Grenzwert

für und

Dieser ist vom Typ und L'Hospital ist somit anwendbar, und ergibt

Der Limes ist nun wieder von Typ . Wiederholen wir die Regel, so gilt

Wir erkennen bei der Anwendung der Regel von L'Hospital das folgende Muster: Der Zähler bleibt bleibt gleich bis auf den Vorfaktor, dieser ändert aber am Divergenzverhalten gegen nichts. Im Nenner vermindert sich die Potenz von in jedem Schritt um eins. Wenden wir daher die Regel von L'Hospital daher insgesamt -mal an, so erhalten wir

Dieses Resultat hätten wir allerdings auch wesentlich schneller und eleganter erreichen können. Wir haben weiter oben schon durch einmaliges Anwenden von L'Hospital gezeigt

für alle . Damit folgt nun

da .

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Hinweis

Der Grenzwert besagt, dass jede Exponentialfunktion schneller wächst, als jede noch so große Potenzfunktion.

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Aufgabe (Bestimmung von Grenzwert mit L'Hospital 7)

Bestimme für und den Grenzwert

durch

  1. -maliges Anwenden der Regel von L'Hospital.
  2. einmaliges Anwenden der Regel von L'Hospital und geschicktes Umformen.
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Lösung (Bestimmung von Grenzwert mit L'Hospital 7)

Teilaufgabe 1: Der Grenzwert ist vom Typ und L'Hospital ist anwendbar. Es gilt

Der Grenzwert ist wieder vom Typ , die Potenz im Zähler verringert sich um eins, die im Nenner bleibt gleich. Nach -maliger Anwendung von L'Hospital erhalten wir damit

Teilaufgabe 2: Es gilt

für alle . Damit folgt nun

da .

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Hinweis

Der Grenzwert besagt, dass die Logarithmusfunktion langsamer wächst, als jede noch so kleine Potenzfunktion.

Wachstumsverhalten von Polynomen[Bearbeiten]

Betrachten wir nun den folgenden Grenzwert einer gebrochen rationalen Funktion für :

Hier liegt, wegen der Fall vor, und durch dreimaliges Anwenden der Regel von L'Hospital erhalten wir

Alternativ lässt sich der Grenzwert auch ohne L'Hospital durch ausklammern und anschließendem Kürzen der höchsten Potenz () berechnen:

Sind nun allgemein und normierte Polynome, so gilt ebenfalls

Wollen wir dies mit der Regel von L'Hospital zeigen, so müssen wir diese -Mal anwenden, und erhalten

Zur Berechnung ohne L'Hospital können wir wieder die höchste Potenz, also , ausklammern, kürzen, und anschließend den Grenzwert berechnen:

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Aufgabe (Grenzwert von gebrochen rationaler Funktion)

Zeige:

L'Hospital kann nicht zum Erfolg führen[Bearbeiten]

In diesem Abschnitt wollen wir einige Beispiele von Grenzwerten vorstellen, bei denen die Regel von L'Hospital „versagt“. Dies kann passieren, da die Regel von L'Hospital eine hinreichende, jedoch keine notwendige Bedingung für die Exitenz des Grenzwerts ist.

L'Hospital führt in Endlosschleife[Bearbeiten]

Manchmal kann es vorkommen, dass sich die Regel von L'Hospital „in Kreis dreht“. Ein Beispiel ist

Dieser Grenzwert ist von Typ , und L'Hospital ist anwendbar. Tun wir dies, so erhalten wir

Der entstandene Grenzwert ist nun wieder von Typ . Schauen wir genauer hin, so erkennen wir, dass sich durch die Anwendung von L'Hospital Zähler und Nenner vertauscht haben. Wenden wir nun die Regel erneut an, so ergibt sich

Es entsteht also wieder der ursprüngliche Grenzwert. Die Regel von L'Hospital bringt uns daher bei diesem Grenzwert nicht weiter! Allerdings gibt es eine relativ einfache Möglichkeit ohne L'Hospital ans Ziel zu gelangen:

Klammern wir im Zähler und Nenner aus, und kürzer anschließend, so erhalten wir

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Aufgabe (Berechnung von Grenzwert ohne L'Hospital 1)

Bestimme den Grenzwert

L'Hospital führt in Sackgasse[Bearbeiten]

Es kann auch passieren, dass die Anwendung von L'Hospital die Situation soagar „verschlimmert“. Das heißt, ein Grenzwert der existiert, kann durch Anwendung der Regel in einen Grenzwert umgeformt werden, der nicht mehr existiert. Beachtet daher immer: Aus folgt , aber nicht umgekehrt. Insbesondere kann daraus, dass nicht existiert, nicht gefolgert werden, dass nicht existiert. Betrachten wir hierzu

Es gilt . Daher liegt der Fall vor. Anwendung von L'Hospital liefert nun

Nun haben wir aber ein Problem, den dieser Grenzwert existiert nicht. Betrachten wir nämlich die Folgen mit

Diese divergiert bestimmt gegen . Es gilt jedoch

Dieser Grenzwert existiert nicht (auch nicht uneigentlich), da divergiert. Dies bedeutet, dass auch hier L'Hospital unbrauchbar ist. Das der ursprüngliche Grenzwert sehr wohl existiert sehen wir an folgendem Umformungstrick: Wegen gilt

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Aufgabe (Berechnung von Grenzwert ohne L'Hospital 2)

Bestimme

L'Hospital kann ein falsches Ergebnis liefern[Bearbeiten]

Dies kann immer dann passieren, wenn die Regel angewendet wird, obwohl die Voraussetzungen nicht erfüllt sind. Ein Beispiel ist

Genau hinsehen, in diesem Fall geht gegen , nicht ! Da Zähler und Nenner stetig in sind, gilt

L'Hospital ist für den Fall nicht anwendbar. Wendet ihr die Regel trotzdem an, so erhaltet ihr das falsche Ergebnis

Daher solltet ihr immer zuerst überprüfen, ob die Regel von L'Hospital überhaupt anwendbar bzw. nötig ist.

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Aufgabe (Berechnung von Grenzwert ohne L'Hospital 3)

Bestimme die Grenzwerte

Folgerung: Hinreichendes Kriterium für Differenzierbarkeit[Bearbeiten]

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Satz (Kriterium für Differenzierbarkeit)

Sei ein offenes Intervall und . Weiter sei stetig auf und differenzierbar auf . Außerdem existiere . Dann ist f differenzierbar in und es gilt .

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Beweis (Kriterium für Differenzierbarkeit)

Wir müssen zeigen:

Nun gilt und . Außerdem sind und differenzierbar für , und . Mit der Regel von L'Hospital gilt

Damit ist in differenzierbar mit .

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Alternativer Beweis (Kriterium für Differenzierbarkeit)

Ebenso können wir mit Hilfe des Mittelwertsatzes

zeigen. Sei dazu eine Folge in mit . Dann ist nach Voraussetzung für alle stetig auf (bzw. ) und differenzierbar auf (bzw. ). Nach dem Mittelwertsatz gibt es für alle ein (bzw. ) mit

Da nun und (bzw. ), gilt auch . Wegen folgt . Also erhalten wir

Da mit beliebig war, ist

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Hinweis

Eine Funktion, die das Kriterium aus dem Satz erfüllt, ist nicht nur differenzierbar im Punkt . Wegen ist die Ableitungsfunktion sogar stetig in . Daher ist das Kriterium auch hinreichend und nicht notwendig für die Differenzierbarkeit in .

Verständnisfrage: Gib eine differenzierbare Funktion an, die die Voraussetzungen des Satzes nicht erfüllt.

Wir suchen eine differenzierbare Funktion, deren Ableitung in einem Punkt nicht stetig ist. Ein Beispiel hierfür ist die Funktion

Sie hat in die Ableitung , ist dort jedoch nicht stetig, da der Grenzwert

nicht existiert.

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Aufgabe (Differenzierbarkeit der Si-Funktion)

Sei

Zeige, ohne Benutzung des Differentialquotienten, dass im Nullpunkt differenzierbar ist, und berechne die Ableitung .

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Lösung (Differenzierbarkeit der Si-Funktion)

Schritt 1: ist stetig in null

Mit der Regel von L'Hospital gilt

Also ist stetig in null.

Schritt 2: ist differenzierbar in

Da und auf differenzierbar sind, ist mit der Quotientenregel auch dort differenzierbar. Weiter gilt für :

Schritt 3: ist differenzierbar in null

Wir benutzen das Kriterium aus dem Satz zuvor. (Wegen Schritt 1 und 2 anwendbar.) Es gilt

Nach dem Kriterium ist in null differenzierbar mit .