Ableitung der Umkehrfunktion [Bearbeiten]
Lösung (Ableitung der Umkehrfunktion)
Teilaufgabe 1:
Beweisschritt: Existenz und Berechnung von
Beweisschritt: Existenz und Berechnung von
Teilaufgabe 2:
Beweisschritt: Berechnung von
Es gilt
Damit ist
Beweisschritt: Berechnung von
Ableitung der allgemeinen Logarithmusfunktion [Bearbeiten]
Aufgabe (Ableitung der allgemeinen Logarithmusfunktion)
Zeige, dass die allgemeine Exponentialfunktion
zur Basis bijektiv und differenzierbar auf ist. Zeige weiter, dass die Umkehrfunktion
auf ganz differenzierbar ist mit der Ableitung .
Lösung (Ableitung der allgemeinen Logarithmusfunktion)
Beweisschritt: ist bijektiv und differenzierbar
Fall 1:
Fall 2:
Beweisschritt: existiert und ist differenzierbar
Aufgabe (Ableitungen von und der Area-Funktionen)
Zeige, dass die Funktionen
differenzierbar sind, und bestimme deren Ableitung.
Beweis (Ableitungen von und der Area-Funktionen)
Differenzierbarkeit von :
Für die Cotangensfunktion gilt: . Also ist die Funktion differenzierbar und streng monoton fallend, und damit injektiv. Weiter ist . Also ist bijektiv. Die Umkehrfunktion
ist nach dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion differenzierbar, und für gilt:
Differenzierbarkeit von :
Die Sinus Hyperbolicusfunktion ist differenzierbar mit . Also ist sie streng monoton steigend, und damit injektiv. Weiter ist . Also ist sie auch surjektiv. Die Umkehrfunktion
ist nach dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion differenzierbar, und für gilt:
Differenzierbarkeit von :
Die Cosinus Hyperbolicusfunktion ist differenzierbar mit auf . Also ist sie streng monoton steigend, und damit injektiv. Weiter ist . Also ist sie auch surjektiv. Die Umkehrfunktion
ist nach dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion differenzierbar, und für gilt:
Differenzierbarkeit von :
Für die Cotangensfunktion gilt: . Also ist die Funktion streng monoton steigend, und damit injektiv. Weiter ist . Also ist bijektiv. Die Umkehrfunktion
ist nach dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion differenzierbar, und für gilt:
Aufgabe (Nicht differenzierbare Funktionen in null)
Sei . Zeige:
- Sind mit und gelte für alle . Dann sind und im Nullpunkt nicht gleichzeitig differenzierbar.
- Sind , und sei in null differenzierbar. Weiter gelte und für alle . Dann ist im Nullpunkt nicht differenzierbar.
Ableitungen höherer Ordnung[Bearbeiten]
Aufgabe (Beliebig oft differenzierbare Funktion)
Zeige, dass die Funktion beliebig oft differenzierbar ist, wobei für alle gilt:
Beweis (Beliebig oft differenzierbare Funktion)
Wir beweisen die Aufgabe mittels vollständiger Induktion über :
Aussageform, deren Allgemeingültigkeit für bewiesen werden soll:
1. Induktionsanfang:
2. Induktionsschritt:
2a. Induktionsvoraussetzung:
2b. Induktionsbehauptung:
2c. Beweis des Induktionsschritts:
Aufgabe (Genau ein-, zwei- und dreimal differenzierbare Funktionen)
Gib jeweils ein Beispiel einer
- Funktion
- differenzierbaren, aber nicht stetig differenzierbaren Funktion auf
- Funktion
Lösung (Genau ein-, zwei- und dreimal differenzierbare Funktionen)
Lösung Teilaufgabe 1:
oder
oder
Lösung Teilaufgabe 2:
oder
Lösung Teilaufgabe 3:
oder
oder
Lösung Teilaufgabe 4:
oder
oder
Hinweis
Führen wir die Konstruktion der Funktionen sukzessive fort, so ist für alle , falls
oder
oder
Aufgabe (Anwendung der Leibniz-Regel)
Bestimme mit Hilfe der Leibniz-Regel die folgenden Ableitungen
- für
Lösung (Anwendung der Leibniz-Regel)