Aufgaben zur Ableitung 2 – Mathe für Nicht-Freaks

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Ableitung der Umkehrfunktion [Bearbeiten]

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Aufgabe (Ableitung der Umkehrfunktion)

Betrachte die Funktion

Begründe, dass die folgenden Ableitungen und Grenzwerte existieren, und berechne sie:

  1. und
  2. und
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Lösung (Ableitung der Umkehrfunktion)

Teilaufgabe 1:

Schritt 1: Existenz und Berechnung von

ist auf differenzierbar als Summe der beiden differenzierbaren Funktionen und mit der Ableitung

Damit ist .

Schritt 2: Existenz und Berechnung von

ist auf differenzierbar als Summe der beiden differenzierbaren Funktionen und mit der Ableitung

Weiter ist , da für . Also ist nach dem Monotoniektiterium streng monoton steigend und damit injektiv. Daher ist bijektiv. Weiter ist , also , und es gilt . Damit ist in differenzierbar mit

Teilaufgabe 2:

Schritt 1: Berechnung von

Es gilt

Damit ist

Schritt 2: Berechnung von

Es gilt . Nach dem Zwischenwertsatz ist daher bijektiv. Für alle ist somit

Damit folgt

Ableitung der allgemeinen Logarithmusfunktion [Bearbeiten]

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Aufgabe (Ableitung der allgemeinen Logarithmusfunktion)

Zeige, dass die allgemeine Exponentialfunktion

zur Basis bijektiv und differenzierbar auf ist. Zeige weiter, dass die Umkehrfunktion

auf ganz differenzierbar ist mit der Ableitung .

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Lösung (Ableitung der allgemeinen Logarithmusfunktion)

Schritt 1: ist bijektiv und differenzierbar

Fall 1:

ist stetig auf als Komposition stetiger Funktionen. Weiter gilt, wegen , und :

sowie

Nach dem Zwischenwertsatz ist somit und daher surjektiv. Außerdem ist differenzierbar nach der Kettenregel als Komposition differenzierbarer Funktionen, und

für alle . Nach dem Monotoniekriterium ist streng monoton steigend, und damit injektiv. Also haben wir die Bijektivität von gezeigt.

Fall 2:

ist stetig auf als Komposition stetiger Funktionen. Weiter gilt, wegen , und :

sowie

Nach dem Zwischenwertsatz ist somit und daher surjektiv. Außerdem ist differenzierbar nach der Kettenregel als Komposition differenzierbarer Funktionen, und

für alle . Nach dem Monotoniekriterium ist streng monoton fallend, und damit injektiv. Also haben wir die Bijektivität von gezeigt.

Schritt 2: existiert und ist differenzierbar

ist bijektiv auf und damit umkehrbar. Weiter gilt

Also ist

Da außerdem für alle ist, folgt aus dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion: auf differenzierbar ist, mit

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Aufgabe (Ableitungen von und der Area-Funktionen)

Zeige, dass die Funktionen

differenzierbar sind, und bestimme deren Ableitung.

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Beweis (Ableitungen von und der Area-Funktionen)

Differenzierbarkeit von :

Die Cotangensfunktion gilt: . Also ist die Funktion differenzierbar und streng monoton fallend, und damit injektiv. Weiter ist . Also ist bijektiv. Die Umkehrfunktion

ist nach dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion differenzierbar, und für gilt:

Differenzierbarkeit von :

Die Sinus Hyperbolicusfunktion ist differenzierbar mit . Also ist sie streng monoton steigend, und damit injektiv. Weiter ist . Also ist sie auch surjektiv. Die Umkehrfunktion

ist nach dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion differenzierbar, und für gilt:

Differenzierbarkeit von :

Die Cosinus Hyperbolicusfunktion ist differenzierbar mit auf . Also ist sie streng monoton steigend, und damit injektiv. Weiter ist . Also ist sie auch surjektiv. Die Umkehrfunktion

ist nach dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion differenzierbar, und für gilt:

Differenzierbarkeit von :

Die Cotangensfunktion gilt: . Also ist die Funktion streng monoton steigend, und damit injektiv. Weiter ist . Also ist bijektiv. Die Umkehrfunktion

ist nach dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion differenzierbar, und für gilt:

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Aufgabe (Nicht differenzierbare Funktionen in null)

Sei . Zeige:

  1. Sind mit und gelte für alle . Dann sind und im Nullpunkt nicht gleichzeitig differenzierbar.
  2. Sind , und sei in null differenzierbar. Weiter gelte und für alle . Dann ist im Nullpunkt nicht differenzierbar.
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Lösung (Nicht differenzierbare Funktionen in null)

Teilaufgabe 1: Angenommen und sind in null differenzierbar, dann ist nach der Produktregel auch in null differenzierbar, und aus folgt für alle :

Also können und in null nicht beide differenzierbar sein.

Teilaufgabe 2: Angenommen ist in null differenzierbar, dann ist nach der Kettenregel auch in null differenzierbar, und aus folgt für alle :

Also kann in null nicht differenzierbar sein.

Ableitungen höherer Ordnung[Bearbeiten]

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Aufgabe (Beliebig oft differenzierbare Funktion)

Zeige, dass die Funktion

beliebig oft differenzierbar ist mit

für alle .

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Beweis (Beliebig oft differenzierbare Funktion)

Wir beweisen die Aufgabe mittels vollständiger Induktion über :

Induktionsanfang:

Induktionsvoraussetzung:

gelte für ein

Induktionsschritt:

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Aufgabe (Genau ein-, zwei- und dreimal differenzierbare Funktionen)

Gib jeweils ein Beispiel einer

  1. Funktion
  2. differenzierbaren, aber nicht stetig differenzierbaren Funktion auf
  3. Funktion
  4. Funktion
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Lösung (Genau ein-, zwei- und dreimal differenzierbare Funktionen)

Teilaufgabe 1:

oder oder

Telaufgabe 2:

oder

Anmerkung: Die Beispiele aus Teilaufgabe 2 sind auch für Teilaufgabe 1 geeignet.

Teilaufgabe 3:

oder oder

Teilaufgabe 4:

oder oder

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Hinweis

Führen wir die Konstruktion der Funktionen sukzessive fort, so ist für alle , falls

oder oder

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Aufgabe (Anwendung der Leibniz-Regel)

Bestimme mit Hilfe der Leibniz-Regel die folgenden Ableitungen

  1. für
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Lösung (Anwendung der Leibniz-Regel)

Teilaufgabe 1: Die Funktionen und sind aúf beliebig oft differenzierbar. Daher gilt

Teilaufgabe 2: Die Funktionen und sind aúf beliebig oft differenzierbar. Daher gilt