Aufgaben zur Ableitung 2 – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Aus Wikibooks
Zur Navigation springen Zur Suche springen


Ableitung der Umkehrfunktion [Bearbeiten]

Aufgabe (Ableitung der Umkehrfunktion)

Betrachte die Funktion

Begründe, dass die folgenden Ableitungen und Grenzwerte existieren, und berechne sie:

  1. und
  2. und

Lösung (Ableitung der Umkehrfunktion)

Teilaufgabe 1:

Beweisschritt: Existenz und Berechnung von

ist auf differenzierbar als Summe der beiden differenzierbaren Funktionen und mit der Ableitung

Damit ist .

Beweisschritt: Existenz und Berechnung von

ist auf differenzierbar als Summe der beiden differenzierbaren Funktionen und mit der Ableitung

Weiter ist , da für . Also ist nach dem Monotoniektiterium streng monoton steigend und damit injektiv. Daher ist bijektiv. Weiter ist , also , und es gilt . Damit ist in differenzierbar mit

Teilaufgabe 2:

Beweisschritt: Berechnung von

Es gilt

Damit ist

Beweisschritt: Berechnung von

Es gilt . Nach dem Zwischenwertsatz ist daher bijektiv. Für alle ist somit

Damit folgt

Ableitung der allgemeinen Logarithmusfunktion [Bearbeiten]

Aufgabe (Ableitung der allgemeinen Logarithmusfunktion)

Zeige, dass die allgemeine Exponentialfunktion

zur Basis bijektiv und differenzierbar auf ist. Zeige weiter, dass die Umkehrfunktion

auf ganz differenzierbar ist mit der Ableitung .

Lösung (Ableitung der allgemeinen Logarithmusfunktion)

Beweisschritt: ist bijektiv und differenzierbar

Fall 1:

ist stetig auf als Komposition stetiger Funktionen. Weiter gilt, wegen , und :

sowie

Nach dem Zwischenwertsatz ist somit und daher surjektiv. Außerdem ist differenzierbar nach der Kettenregel als Komposition differenzierbarer Funktionen, und

für alle . Nach dem Monotoniekriterium ist streng monoton steigend, und damit injektiv. Also haben wir die Bijektivität von gezeigt.

Fall 2:

ist stetig auf als Komposition stetiger Funktionen. Weiter gilt, wegen , und :

sowie

Nach dem Zwischenwertsatz ist somit und daher surjektiv. Außerdem ist differenzierbar nach der Kettenregel als Komposition differenzierbarer Funktionen, und

für alle . Nach dem Monotoniekriterium ist streng monoton fallend, und damit injektiv. Also haben wir die Bijektivität von gezeigt.

Beweisschritt: existiert und ist differenzierbar

ist bijektiv auf und damit umkehrbar. Weiter gilt

Also ist

Da außerdem für alle ist, folgt aus dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion: auf differenzierbar ist, mit

Aufgabe (Ableitungen von und der Area-Funktionen)

Zeige, dass die Funktionen

differenzierbar sind, und bestimme deren Ableitung.

Beweis (Ableitungen von und der Area-Funktionen)

Differenzierbarkeit von :

Die Cotangensfunktion gilt: . Also ist die Funktion differenzierbar und streng monoton fallend, und damit injektiv. Weiter ist . Also ist bijektiv. Die Umkehrfunktion

ist nach dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion differenzierbar, und für gilt:

Differenzierbarkeit von :

Die Sinus Hyperbolicusfunktion ist differenzierbar mit . Also ist sie streng monoton steigend, und damit injektiv. Weiter ist . Also ist sie auch surjektiv. Die Umkehrfunktion

ist nach dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion differenzierbar, und für gilt:

Differenzierbarkeit von :

Die Cosinus Hyperbolicusfunktion ist differenzierbar mit auf . Also ist sie streng monoton steigend, und damit injektiv. Weiter ist . Also ist sie auch surjektiv. Die Umkehrfunktion

ist nach dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion differenzierbar, und für gilt:

Differenzierbarkeit von :

Die Cotangensfunktion gilt: . Also ist die Funktion streng monoton steigend, und damit injektiv. Weiter ist . Also ist bijektiv. Die Umkehrfunktion

ist nach dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion differenzierbar, und für gilt:

Aufgabe (Nicht differenzierbare Funktionen in null)

Sei . Zeige:

  1. Sind mit und gelte für alle . Dann sind und im Nullpunkt nicht gleichzeitig differenzierbar.
  2. Sind , und sei in null differenzierbar. Weiter gelte und für alle . Dann ist im Nullpunkt nicht differenzierbar.

Lösung (Nicht differenzierbare Funktionen in null)

Teilaufgabe 1: Angenommen und sind in null differenzierbar, dann ist nach der Produktregel auch in null differenzierbar, und aus folgt für alle :

Also können und in null nicht beide differenzierbar sein.

Teilaufgabe 2: Angenommen ist in null differenzierbar, dann ist nach der Kettenregel auch in null differenzierbar, und aus folgt für alle :

Also kann in null nicht differenzierbar sein.

Ableitungen höherer Ordnung[Bearbeiten]

Aufgabe 1[Bearbeiten]

Aufgabe (Beliebig oft differenzierbare Funktion)

Zeige, dass die Funktion beliebig oft differenzierbar ist, wobei für alle gilt:

Beweis (Beliebig oft differenzierbare Funktion)

Wir beweisen die Aufgabe mittels vollständiger Induktion über :

Aussageform, deren Allgemeingültigkeit für bewiesen werden soll:

1. Induktionsanfang:

2. Induktionsschritt:

2a. Induktionsvoraussetzung:

2b. Induktionsbehauptung:

2c. Beweis des Induktionsschritts:

Aufgabe 2[Bearbeiten]

Aufgabe (Genau ein-, zwei- und dreimal differenzierbare Funktionen)

Gib jeweils ein Beispiel einer

  1. Funktion
  2. differenzierbaren, aber nicht stetig differenzierbaren Funktion auf
  3. Funktion

Lösung (Genau ein-, zwei- und dreimal differenzierbare Funktionen)

Lösung Teilaufgabe 1:

oder oder

Lösung Teilaufgabe 2:

oder

Lösung Teilaufgabe 3:

oder oder

Lösung Teilaufgabe 4:

oder oder

Hinweis

Führen wir die Konstruktion der Funktionen sukzessive fort, so ist für alle , falls

oder oder

Aufgabe 3[Bearbeiten]

Aufgabe (Anwendung der Leibniz-Regel)

Bestimme mit Hilfe der Leibniz-Regel die folgenden Ableitungen

  1. für

Lösung (Anwendung der Leibniz-Regel)

Lösung Teilaufgabe 1:

Die Funktionen und sind aúf beliebig oft differenzierbar. Daher gilt

Lösung Teilaufgabe 2:

Die Funktionen und sind aúf beliebig oft differenzierbar. Daher gilt