Das Monotoniekriterium für die Ableitung wird bereits in der Schule behandelt. Ist die Ableitungsfunktion
einer differenzierbaren Funktion
auf einem Intervall
nicht-negativ beziehungsweise nicht-positiv, so ist
auf
monoton steigend beziehungsweise monoton fallend. Ist
sogar echt positiv beziehungsweise echt negativ auf
, so ist
dort streng monoton steigend beziehungsweise fallend. Im ersten Fall gilt auch die Umkehrung der Aussage. Sprich: Steigt eine differenzierbare Funktion auf
monoton, so ist
und eine auf
fallende und ableitbare Funktion besitzt eine negative Ableitung.
Satz (Monotoniekriterium für differenzierbare Funktionen)
Sei
stetig und auf
differenzierbar. Dann gilt
auf
monoton steigend auf ![[a,b]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
auf
monoton fallend auf ![[a,b]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
auf
streng monoton steigend auf ![[a,b]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
auf
streng monoton fallend auf ![[a,b]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
Die Hinrichtungen des Satzes folgen allesamt aus dem Mittelwertsatz. Die Rückrichtungen der ersten beiden Aussagen folgen aus der Differenzierbarkeit der Funktion:
Beweis (Monotoniekriterium für differenzierbare Funktionen)
Wir zeigen zunächst die Hinrichtungen und danach die Rückrichtungen der Aussagen.
Hinrichtung 1: Aus
auf
folgt, dass
monoton steigend auf
ist.
Gelte
für alle
und seien
mit
. Wir müssen
zeigen. Nach Voraussetzung ist
auf
stetig und auf
differenzierbar. Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein
mit
Nach Voraussetzung ist
, und somit
. Wegen
folgt daraus für den Zähler
. Dies ist äquivalent zu
, d.h.
ist monoton steigend.
Hinrichtung 2: Aus
auf
folgt, dass
monoton fallend auf
ist.
Gelte
für alle
und seien
mit
. Wir müssen nun
zeigen. Nach Voraussetzung ist
auf
stetig und auf
differenzierbar. Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein
mit
Nun ist
, und somit
. Wegen
folgt daraus
. Dies ist äquivalent zu
, d.h.
ist monoton fallend.
Hinrichtung 3:
auf
impliziert
streng monoton steigend auf ![[a,b]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
Zeigen wir zur Abwechslung diese Aussage mittels Kontraposition. Sei also
nicht streng monoton steigend. Dann gibt es
mit
und
. Wir müssen zeigen, dass es ein
mit
gibt. Nun ist
stetig auf
und differenzierbar auf
. Nach dem Mittelwertsatz gibt es daher ein
mit
Wegen
ist der Zähler des Quotienten nicht-positiv, und wegen
ist der Nenner positiv. Damit ist der gesamte Bruch nicht-positiv, und daher
.
Hinrichtung 4:
auf
impliziert
streng monoton fallend auf ![[a,b]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
Wieder benutzen wir Kontraposition. Sei also
nicht streng monoton fallend. Dann gibt es
mit
und
. Nun müssen wir zeigen, dass es ein
mit
gibt. Da
wieder stetig auf
und differenzierbar auf
ist, gibt es nach dem Mittelwertsatz ein
mit
Wegen
ist der Zähler nicht-negativ, und wegen
ist der Nenner positiv. Damit ist der gesamte Bruch nicht-negativ, und damit
.
Nun wenden wir uns den beiden Rückrichtungen zu:
Rückrichtung 1:
monoton steigend auf
implizert
auf 
Seien
mit
. Wegen der Monotonie gilt dann
. Sind weiter
mit
, dann gilt für den Differenzenquotienten
Ist nämlich
, so ist
. Zähler und Nenner des Differenzenquotienten sind damit nicht-negativ, und damit auch der gesamte Quotient. Analog sind im Fall
und
Zähler und Nenner nicht-positiv. Damit ist der gesamte Bruch wieder nicht-negativ. Nun bilden wir den Differentialquotienten, mit dem Grenzübergang
. Dieser existiert, da
auf
differenzierbar ist. Weiter bleibt die Ungleichung wegen der Monotonieregel für Grenzwerte erhalten. Damit haben wir
Da
und
beliebig waren, folgt die Behauptung
auf
.
Rückrichtung 2:
monoton fallend auf
impliziert
auf 
Seien wieder
mit
. Wegen der Monotonie gilt nun
. Weiter seien wieder
mit
, dann gilt für den Differenzenquotienten
Ist nämlich
, so ist
, und damit ist der gesamte Quotient nicht-positiv. Analog auch im Fall
und
. Durch Bildung des Differentialquotienten erhalten wir nun
Da
und
wieder beliebig waren, folgt
auf
.
Beispiele zum Monotoniekriterium[Bearbeiten]
Quadratische und kubische Funktionen[Bearbeiten]
Beispiel (Monotonie der quadratischen und kubischen Potenzfunktion)
Graphen der Funktionen

und

Graphen der Funktionen

und

Für die quadratische Potenzfunktion
gilt
Daher ist
nach dem Monotoniekriterium auf
streng monoton fallend und auf
streng monoton steigend.
Für die kubische Potenzfunktion
gilt
Somit ist
nach dem Monotoniekriterium auf
monoton steigend und auf jeweils auf
und
streng monoton steigend. Man kann sogar zeigen, dass die kubische Funktion
auf ganz
streng monoton steigend ist.
Dass die Funktion
mit
streng monoton steigend ist, obwohl „nur“
und nicht
gilt, hängt damit zusammen, dass die Ableitung in nur einem einzigen Punkt verschwindet. Ein interessantes (notwendiges und hinreichendes) Kriterium hierzu behandeln wir in der Übungsaufgabe am Ende des Abschnitts.
Verständnisfrage: Warum ist
auf
streng monoton steigend?
Exponential- und Logarithmusfunktion[Bearbeiten]
Verständnisfrage: Wie ist das Monotonieverhalten der auf
erweiterten Logarithmusfunktion
?
Trigonometrische Funktionen[Bearbeiten]
Beispiel (Monotonieverhalten der Sinusfunktion)
Für die Sinus-Funktion
gilt
Daher ist
für alle
auf den Intervallen
streng monoton steigend und auf den Intervallen
streng monoton fallend.
Verständnisfrage: Wie lauten die Monotonieintervalle der Kosinus-Funktion
?
Hier gilt
.
Daher ist
für alle
auf den Intervallen
streng monoton steigend und auf den Intervallen
streng monoton fallend.
Verständnisfrage: Wie ist das Monotonieverhalten der Kotangens-Funktion
?
Monotonieintervalle und Nachweis einer Nullstelle[Bearbeiten]
Aufgabe (Monotonieintervalle und Nachweis einer Nullstelle)
Untersuche die Monotonieintervalle der Polynomfunktion
Zeige außerdem, dass
genau eine Nullstelle besitzt.
Lösung (Monotonieintervalle und Nachweis einer Nullstelle)
Graph der Funktion

besitzt genau eine Nullstelle:
Für
gilt die folgende Wertetabelle
Auf Grund der zuvor untersuchten Monotonieeigenschaften und der Stetigkeit von
können wir damit ablesen:
- Auf
ist
streng monoton steigend. Wegen
gilt
für alle
.
- Auf
ist
dann streng monoton fallend. Also gilt auch
für alle
.
- Anschließend steigt
auf
wieder streng monoton. Wegen
und
, muss es nach dem Zwischenwertsatz ein
geben mit
. Wegen der strengen Monotonie kann
in
keine weiteren Nullstellen haben.
Notwendiges und hinreichendes Kriterium für strenge Monotonie[Bearbeiten]
Aufgabe (Notwendiges und hinreichendes Kriterium für strenge Monotonie)
Beweise: Eine stetige Funktion
, die auf
differenzierbar ist, ist genau dann streng monoton steigend, wenn gilt
für alle ![{\displaystyle x\in ]a,b[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/908b0e913219e22a7853e1b09ecfb095a50b59e9)
- Die Nullstellenmenge von
enthält kein offenes Intervall.
Als Anwendung: Zeige, dass die Funktion
auf ganz
streng monoton wächst.
Beweis (Notwendiges und hinreichendes Kriterium für strenge Monotonie)
Aus dem Monotoniekriterium wissen wir bereits, dass
genau dann monoton steigend ist, wenn
. Wir müssen also nur noch zeigen, dass
genau dann streng monoton steigt, wenn die zweite Bedingung zusätzlich erfüllt ist.
Hinrichtung:
streng monoton steigend
Nullstellenmenge von
enthält kein offenes Intervall
Wir führen eine Kontraposition durch. Sprich, wir zeigen: Wenn die Nullstellenmenge von
ein offenes Intervall enthält, ist
nicht streng monoton steigend- Angenommen es gibt
mit
für alle
. Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein
mit
Also ist
. Gilt nun
, so gilt, da
monoton steigend ist
Also ist
für alle
. Also ist
nicht streng monoton steigend.
Rückrichtung: Nullstellenmenge von
enthällt kein offenes Intervall
streng monoton steigend
Wir führen einen Beweis durch Kontraposition. Wir müssen zeigen: Wenn
monoton, aber nicht streng monoton steigend ist, dann enthält die Nullstellenmenge von
ein offenes Intervall. Angenommen es gibt
mit
mit
. Wegen der Monotonie von
gilt
Also ist
für alle
. Das heißt
ist konstant auf
. Daher gilt für alle
:
Also enthält die Nullstellenmenge von
ein offenes Intervall.
Anwendungsaufgabe:
ist streng monoton steigend