Monotoniekriterium: Zusammenhang zwischen Monotonie und Ableitung einer Funktion – Mathe für Nicht-Freaks

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Monotoniekriterium[Bearbeiten]

Das Monotoniekriterium für die Ableitung wird bereits in der Schule behandelt. Ist die Ableitungsfunktion einer differenzierbaren Funktion auf einem Intervall nicht-negativ beziehungsweise nicht-positiv, so ist auf monoton steigend beziehungsweise monoton fallend. Ist sogar echt positiv beziehungsweise echt negativ auf , so ist dort streng monoton steigend beziehungsweise fallend. Im ersten Fall gilt auch die Umkehrung der Aussage. Sprich: Steigt eine differenzierbare Funktion auf monoton, so ist und eine auf fallende und ableitbare Funktion besitzt eine negative Ableitung.

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Satz (Monotoniekriterium für differenzierbare Funktionen)

Sei stetig und auf differenzierbar. Dann gilt

  1. auf monoton steigend auf
  2. auf monoton fallend auf
  3. auf streng monoton steigend auf
  4. auf streng monoton fallend auf

Beweis[Bearbeiten]

Die Hinrichtungen des Satzes folgen allesamt aus dem Mittelwertsatz. Die Rückrichtungen der ersten beiden Aussagen folgen aus der Differenzierbarkeit der Funktion:

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Beweis (Monotoniekriterium für differenzierbare Funktionen)

Wir zeigen zunächst die Hinrichtungen und danach die Rückrichtungen der Aussagen.

Hinrichtung 1: Aus auf folgt, dass monoton steigend auf ist.

Gelte für alle und seien mit . Wir müssen zeigen. Nach Voraussetzung ist auf stetig und auf differenzierbar. Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein mit

Nach Voraussetzung ist , und somit . Wegen folgt daraus für den Zähler . Dies ist äquivalent zu , d.h. ist monoton steigend.

Hinrichtung 2: Aus auf folgt, dass monoton fallend auf ist.

Gelte für alle und seien mit . Wir müssen nun zeigen. Nach Voraussetzung ist auf stetig und auf differenzierbar. Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein mit

Nun ist , und somit . Wegen folgt daraus . Dies ist äquivalent zu , d.h. ist monoton fallend.

Hinrichtung 3: auf impliziert streng monoton steigend auf

Zeigen wir zur Abwechslung diese Aussage mittels Kontraposition. Sei also nicht streng monoton steigend. Dann gibt es mit und . Wir müssen zeigen, dass es ein mit gibt. Nun ist stetig auf und differenzierbar auf . Nach dem Mittelwertsatz gibt es daher ein mit

Wegen ist der Zähler des Quotienten nicht-positiv, und wegen ist der Nenner positiv. Damit ist der gesamte Bruch nicht-positiv, und daher .

Hinrichtung 4: auf impliziert streng monoton fallend auf

Wieder benutzen wir Kontraposition. Sei also nicht streng monoton fallend. Dann gibt es mit und . Nun müssen wir zeigen, dass es ein mit gibt. Da wieder stetig auf und differenzierbar auf ist, gibt es nach dem Mittelwertsatz ein mit

Wegen ist der Zähler nicht-negativ, und wegen ist der Nenner positiv. Damit ist der gesamte Bruch nicht-negativ, und damit .

Nun wenden wir uns den beiden Rückrichtungen zu:

Rückrichtung 1: monoton steigend auf implizert auf

Seien mit . Wegen der Monotonie gilt dann . Sind weiter mit , dann gilt für den Differenzenquotienten

Ist nämlich , so ist . Zähler und Nenner des Differenzenquotienten sind damit nicht-negativ, und damit auch der gesamte Quotient. Analog sind im Fall und Zähler und Nenner nicht-positiv. Damit ist der gesamte Bruch wieder nicht-negativ. Nun bilden wir den Differentialquotienten, mit dem Grenzübergang . Dieser existiert, da auf differenzierbar ist. Weiter bleibt die Ungleichung wegen der Monotonieregel für Grenzwerte erhalten. Damit haben wir

Da und beliebig waren, folgt die Behauptung auf .

Rückrichtung 2: monoton fallend auf impliziert auf

Seien wieder mit . Wegen der Monotonie gilt nun . Weiter seien wieder mit , dann gilt für den Differenzenquotienten

Ist nämlich , so ist , und damit ist der gesamte Quotient nicht-positiv. Analog auch im Fall und . Durch Bildung des Differentialquotienten erhalten wir nun

Da und wieder beliebig waren, folgt auf .

Beispiele zum Monotoniekriterium[Bearbeiten]

Quadratische und kubische Funktionen[Bearbeiten]

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Beispiel (Monotonie der quadratischen und kubischen Potenzfunktion)

Graphen der Funktionen und
Graphen der Funktionen und

Für die quadratische Potenzfunktion gilt

Daher ist nach dem Monotoniekriterium auf streng monoton fallend und auf streng monoton steigend. Für die kubische Potenzfunktion gilt

Somit ist nach dem Monotoniekriterium auf monoton steigend und auf jeweils auf und streng monoton steigend. Man kann sogar zeigen, dass die kubische Funktion auf ganz streng monoton steigend ist.

Dass die Funktion mit streng monoton steigend ist, obwohl „nur“ und nicht gilt, hängt damit zusammen, dass die Ableitung in nur einem einzigen Punkt verschwindet. Ein interessantes (notwendiges und hinreichendes) Kriterium hierzu behandeln wir in der Übungsaufgabe am Ende des Abschnitts.

Verständnisfrage: Warum ist auf streng monoton steigend?

Wir müssen zeigen: Aus mit folgt . Für die Fälle und haben wir dies schon mit dem Monotoniekriterium gezeigt. Wir müssen also nur noch den Fall betrachten. Hier gilt mit den Anordnungsaxiomen:

Also ist auf streng monoton steigend.

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Warnung

An dem Beispiel haben wir gesehen, dass die Rückrichtung der Monotonieaussage „ impliziert strenge Monotonie“ nicht gilt. Das heißt, dass aus der Tatsache, dass streng monoton steigt, im Allgemeinen nicht folgt. Am Beispiel der Funktion kann man ebenso sehen, dass die Rückrichtung von der Aussage „ impliziert streng monotones Fallen“ nicht gilt.

Exponential- und Logarithmusfunktion[Bearbeiten]

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Beispiel (Monotonie der Exponential- und Logarithmusfunktion)

Für die Exponentialfunktion gilt für alle :

Daher ist nach dem Monotoniekriterium auf ganz streng monoton steigend. Für die (natürliche) Logarithmusfunktion gilt für alle :

Somit ist auf ebenfalls streng monoton steigend.

Verständnisfrage: Wie ist das Monotonieverhalten der auf erweiterten Logarithmusfunktion ?

Es gilt

Oben haben wir für gezeigt. Also ist auf ebenfalls streng monoton steigend. Für ist hingegen . Daher ist auf streng monoton fallend.

Trigonometrische Funktionen[Bearbeiten]

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Beispiel (Monotonieverhalten der Sinusfunktion)

Für die Sinus-Funktion gilt

Daher ist für alle auf den Intervallen streng monoton steigend und auf den Intervallen streng monoton fallend.

Verständnisfrage: Wie lauten die Monotonieintervalle der Kosinus-Funktion ?

Hier gilt .

Daher ist für alle auf den Intervallen streng monoton steigend und auf den Intervallen streng monoton fallend.

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Beispiel (Monotonieverhalten des Tangens)

Für die Tangens-Funktion gilt für alle

Damit ist für alle auf den Intervallen streng monoton steigend.

Verständnisfrage: Wie ist das Monotonieverhalten der Kotangens-Funktion ?

Hier ist für alle

Also ist für alle auf den Intervallen streng monoton fallend.

Übungsaufgaben[Bearbeiten]

Monotonieintervalle und Nachweis einer Nullstelle[Bearbeiten]

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Aufgabe (Monotonieintervalle und Nachweis einer Nullstelle)

Untersuche die Monotonieintervalle der Polynomfunktion

Zeige außerdem, dass genau eine Nullstelle besitzt.

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Lösung (Monotonieintervalle und Nachweis einer Nullstelle)

Graph der Funktion

Monotonieintervalle:

És gilt: ist auf ganz differenzierbar, mit

Damit ist

Nach dem Monotoniekriterium ist auf und auf streng monoton steigend. Weiter gilt

Nach dem Monotoniekriterium ist auf streng monoton fallend.

besitzt genau eine Nullstelle:

Für gilt die folgende Wertetabelle

Auf Grund der zuvor untersuchten Monotonieeigenschaften und der Stetigkeit von können wir damit ablesen:

  • Auf ist streng monoton steigend. Wegen gilt für alle .
  • Auf ist dann streng monoton fallend. Also gilt auch für alle .
  • Anschließend steigt auf wieder streng monoton. Wegen und , muss es nach dem Zwischenwertsatz ein geben mit . Wegen der strengen Monotonie kann in keine weiteren Nullstellen haben.

Notwendiges und hinreichendes Kriterium für strenge Monotonie[Bearbeiten]

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Aufgabe (Notwendiges und hinreichendes Kriterium für strenge Monotonie)

Beweise: Eine stetige Funktion , die auf differenzierbar ist, ist genau dann streng monoton steigend, wenn gilt

  1. für alle
  2. Die Nullstellenmenge von enthällt kein offenes Intervall.

Als Anwendung: Zeige, dass die Funktion auf ganz streng monoton wächst.

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Beweis (Notwendiges und hinreichendes Kriterium für strenge Monotonie)

Aus dem Monotoniekriterium wissen wir bereits, dass genau dann monoton steigend ist, wenn . Wir müssen also nur noch zeigen, dass genau dann streng monoton steigt, wenn die zweite Bedingung zusätzlich erfüllt ist.

Hinrichtung: streng monoton steigend Nullstellenmenge von enthällt kein offenes Intervall

Wir führen eine Kontraposition durch. Sprich, wir zeigen: Wenn die Nullstellenmenge von ein offenes Intervall enthält, ist nicht streng monoton steigend- Angenommen es gibt mit für alle . Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein mit

Also ist . Gilt nun , so gilt, da monoton steigend ist

Also ist für alle . Also ist nicht streng monoton steigend.

Rückrichtung: Nullstellenmenge von enthällt kein offenes Intervall streng monoton steigend

Wir führen einen Beweis durch Kontraposition. Wir müssen zeigen: Wenn monoton, aber nicht streng monoton steigend ist, dann enthält die Nullstellenmenge von ein offenes Intervall. Angenommen es gibt mit mit . Wegen der Monotonie von gilt

Also ist für alle . Das heißt ist konstant auf . Daher gilt für alle :

Also enthält die Nullstellenmenge von ein offenes Intervall.

Anwendungsaufgabe: ist streng monoton steigend

ist für alle differenzierbar mit

Denn für alle . Damit ist monoton steigend. Weiter gilt

Also enthällt die Nullstellenmenge von nur isolierte Punkte, und damit kein offenes Intervall. Daher ist auf streng monoton steigend.