Monotoniekriterium: Zusammenhang zwischen Monotonie und Ableitung einer Funktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Monotoniekriterium

Das Monotoniekriterium für die Ableitung wird bereits in der Schule behandelt. Ist die Ableitungsfunktion $f'$ einer differenzierbaren Funktion $f$ auf einem Intervall $(a,b)$ nicht-negativ beziehungsweise nicht-positiv, so ist $f$ auf $(a,b)$ monoton steigend beziehungsweise monoton fallend. Ist $f$ sogar echt positiv beziehungsweise echt negativ auf $(a,b)$, so ist $f$ dort streng monoton steigend beziehungsweise fallend. Im ersten Fall gilt auch die Umkehrung der Aussage. Sprich: Steigt eine differenzierbare Funktion auf $[a,b]$ monoton, so ist $f'(x)\geq 0$ und eine auf $[a,b]$ fallende und ableitbare Funktion besitzt eine negative Ableitung.

Satz (Monotoniekriterium für differenzierbare Funktionen)

Sei $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ stetig und auf $(a,b)$ differenzierbar. Dann gilt

1. $f'\geq 0$ auf $(a,b)$ $\iff$ $f$ monoton steigend auf $[a,b]$
2. $f'\leq 0$ auf $(a,b)$ $\iff$ $f$ monoton fallend auf $[a,b]$
3. $f'>0$ auf $(a,b)$ $\Longrightarrow$ $f$ streng monoton steigend auf $[a,b]$
4. $f'<0$ auf $(a,b)$ $\Longrightarrow$ $f$ streng monoton fallend auf $[a,b]$

Beweis

Die Hinrichtungen des Satzes folgen allesamt aus dem Mittelwertsatz. Die Rückrichtungen der ersten beiden Aussagen folgen aus der Differenzierbarkeit der Funktion:

Beweis (Monotoniekriterium für differenzierbare Funktionen)

Wir zeigen zunächst die Hinrichtungen und danach die Rückrichtungen der Aussagen.

Hinrichtung 1: Aus $f'\geq 0$ auf $(a,b)$ folgt, dass $f$ monoton steigend auf $[a,b]$ ist.

Gelte $f'\geq 0$ für alle $x\in (a,b)$ und seien $x_{1},x_{2}\in [a,b]$ mit $x_{1}\leq x_{2}$. Wir müssen $f(x_{1})\leq f(x_{2})$ zeigen. Nach Voraussetzung ist $f$ auf $[x_{1},x_{2}]\subseteq [a,b]$ stetig und auf $(x_{1},x_{2})\subseteq (a,b)$ differenzierbar. Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein $\xi \in (x_{1},x_{2})$ mit

${\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}=f'(\xi )$

Nach Voraussetzung ist $f'(\xi )\geq 0$, und somit ${\tfrac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}\geq 0$. Wegen $x_{2}>x_{1}\iff x_{2}-x_{1}>0$ folgt daraus für den Zähler $f(x_{2})-f(x_{1})\geq 0$. Dies ist äquivalent zu $f(x_{2})\geq f(x_{1})$, d.h. $f$ ist monoton steigend.

Hinrichtung 2: Aus $f'\leq 0$ auf $(a,b)$ folgt, dass $f$ monoton fallend auf $[a,b]$ ist.

Gelte $f'\leq 0$ für alle $x\in (a,b)$ und seien $x_{1},x_{2}\in [a,b]$ mit $x_{1}\leq x_{2}$. Wir müssen nun $f(x_{1})\geq f(x_{2})$ zeigen. Nach Voraussetzung ist $f$ auf $[x_{1},x_{2}]$ stetig und auf $(x_{1},x_{2})$ differenzierbar. Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein $\xi \in (x_{1},x_{2})$ mit

${\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}=f'(\xi )$

Nun ist $f'(\xi )\leq 0$, und somit ${\tfrac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}\leq 0$. Wegen $x_{2}>x_{1}\iff x_{2}-x_{1}>0$ folgt daraus $f(x_{2})-f(x_{1})\leq 0$. Dies ist äquivalent zu $f(x_{2})\leq f(x_{1})$, d.h. $f$ ist monoton fallend.

Hinrichtung 3: $f'>0$ auf $(a,b)$ impliziert $f$ streng monoton steigend auf $[a,b]$

Zeigen wir zur Abwechslung diese Aussage mittels Kontraposition. Sei also $f$ nicht streng monoton steigend. Dann gibt es $x_{1},x_{2}\in [a,b]$ mit $x_{1}<x_{2}$ und $f(x_{1})\geq f(x_{2})$. Wir müssen zeigen, dass es ein $\xi \in (a,b)$ mit $f'(\xi )\leq 0$ gibt. Nun ist $f$ stetig auf $[x_{1},x_{2}]$ und differenzierbar auf $(x_{1},x_{2})$. Nach dem Mittelwertsatz gibt es daher ein $\xi \in (a,b)$ mit

${\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}=f'(\xi )$

Wegen $f(x_{1})\geq f(x_{2})$ ist der Zähler des Quotienten nicht-positiv, und wegen $x_{1}<x_{2}$ ist der Nenner positiv. Damit ist der gesamte Bruch nicht-positiv, und daher $f'(\xi )\leq 0$.

Hinrichtung 4: $f'<0$ auf $(a,b)$ impliziert $f$ streng monoton fallend auf $[a,b]$

Wieder benutzen wir Kontraposition. Sei also $f$ nicht streng monoton fallend. Dann gibt es $x_{1},x_{2}\in [a,b]$ mit $x_{1}<x_{2}$ und $f(x_{1})\leq f(x_{2})$. Nun müssen wir zeigen, dass es ein $\xi \in (a,b)$ mit $f'(\xi )\geq 0$ gibt. Da $f$ wieder stetig auf $[x_{1},x_{2}]$ und differenzierbar auf $(x_{1},x_{2})$ ist, gibt es nach dem Mittelwertsatz ein $\xi \in (a,b)$ mit

${\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}=f'(\xi )$

Wegen $f(x_{1})\leq f(x_{2})$ ist der Zähler nicht-negativ, und wegen $x_{1}<x_{2}$ ist der Nenner positiv. Damit ist der gesamte Bruch nicht-negativ, und damit $f'(\xi )\geq 0$.

Nun wenden wir uns den beiden Rückrichtungen zu:

Rückrichtung 1: $f$ monoton steigend auf $[a,b]$ implizert $f'\geq 0$ auf $(a,b)$

Seien $x_{1},x_{2}\in [a,b]$ mit $x_{1}<x_{2}$. Wegen der Monotonie gilt dann $f(x_{1})\leq f(x_{2})$. Sind weiter $x,{\tilde {x}}\in [x_{1},x_{2}]$ mit $x\neq {\tilde {x}}$, dann gilt für den Differenzenquotienten

${\frac {f(x)-f({\tilde {x}})}{x-{\tilde {x}}}}\geq 0$

Ist nämlich $x>{\tilde {x}}$, so ist $f(x)\geq f({\tilde {x}})$. Zähler und Nenner des Differenzenquotienten sind damit nicht-negativ, und damit auch der gesamte Quotient. Analog sind im Fall $x<{\tilde {x}}$ und $f(x)\leq f({\tilde {x}})$ Zähler und Nenner nicht-positiv. Damit ist der gesamte Bruch wieder nicht-negativ. Nun bilden wir den Differentialquotienten, mit dem Grenzübergang $x\to {\tilde {x}}$. Dieser existiert, da $f$ auf $(x_{1},x_{2})$ differenzierbar ist. Weiter bleibt die Ungleichung wegen der Monotonieregel für Grenzwerte erhalten. Damit haben wir

$f'({\tilde {x}})=\lim _{x\to {\tilde {x}}}{\frac {f(x)-f({\tilde {x}})}{x-{\tilde {x}}}}\geq 0$

Da $x_{1},x_{2}\in [a,b]$ und ${\tilde {x}}\in (x_{1},x_{2})$ beliebig waren, folgt die Behauptung $f'\geq 0$ auf $(a,b)$.

Rückrichtung 2: $f$ monoton fallend auf $[a,b]$ impliziert $f'\leq 0$ auf $(a,b)$

Seien wieder $x_{1},x_{2}\in [a,b]$ mit $x_{1}<x_{2}$. Wegen der Monotonie gilt nun $f(x_{1})\geq f(x_{2})$. Weiter seien wieder $x,{\tilde {x}}\in [x_{1},x_{2}]$ mit $x\neq {\tilde {x}}$, dann gilt für den Differenzenquotienten

${\frac {f(x)-f({\tilde {x}})}{x-{\tilde {x}}}}\leq 0$

Ist nämlich $x>{\tilde {x}}$, so ist $f(x)\leq f({\tilde {x}})$, und damit ist der gesamte Quotient nicht-positiv. Analog auch im Fall $x<{\tilde {x}}$ und $f(x)\geq f({\tilde {x}})$. Durch Bildung des Differentialquotienten erhalten wir nun

$f'({\tilde {x}})=\lim _{x\to {\tilde {x}}}{\frac {f(x)-f({\tilde {x}})}{x-{\tilde {x}}}}\leq 0$

Da $x_{1},x_{2}$ und ${\tilde {x}}$ wieder beliebig waren, folgt $f'\leq 0$ auf $(a,b)$.

Beispiele zum Monotoniekriterium

Quadratische und kubische Funktionen

Beispiel (Monotonie der quadratischen und kubischen Potenzfunktion)

Graphen der Funktionen $f$ und $g$

Graphen der Funktionen $f'$ und $g'$

Für die quadratische Potenzfunktion $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ f(x)=x^{2}$ gilt

$f'(x)=2x\ {\begin{cases}>0&{\text{ falls }}x>0,\\<0&{\text{ falls }}x<0\end{cases}}$

Daher ist $f$ nach dem Monotoniekriterium auf $(-\infty ,0]$ streng monoton fallend und auf $[0,\infty )$ streng monoton steigend.

Für die kubische Potenzfunktion $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ g(x)=x^{3}$ gilt

$g'(x)=3x^{2}\ {\begin{cases}\geq 0&{\text{ für alle }}x\in \mathbb {R} ,\\>0&{\text{ für alle }}x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}\end{cases}}$

Somit ist $g$ nach dem Monotoniekriterium auf $\mathbb {R}$ monoton steigend und auf jeweils auf $(-\infty ,0]$ und $[0,\infty )$ streng monoton steigend. Man kann sogar zeigen, dass die kubische Funktion $g(x)=x^{3}$ auf ganz $\mathbb {R}$ streng monoton steigend ist.

Dass die Funktion $g$ mit $g(x)=x^{3}$ streng monoton steigend ist, obwohl „nur“ $f'\geq 0$ und nicht $f'>0$gilt, hängt damit zusammen, dass die Ableitung in nur einem einzigen Punkt verschwindet. Ein interessantes (notwendiges und hinreichendes) Kriterium hierzu behandeln wir in der Übungsaufgabe am Ende des Abschnitts.

Verständnisfrage: Warum ist $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :x\mapsto x^{3}$ auf $\mathbb {R}$ streng monoton steigend?

Wir müssen zeigen: Aus $x,y\in \mathbb {R}$ mit $x<y$ folgt $g(x)<g(y)$. Für die Fälle $x<y\leq 0$ und $0\leq x<y$ haben wir dies schon mit dem Monotoniekriterium gezeigt. Wir müssen also nur noch den Fall $x<0<y$ betrachten. Hier gilt mit den Anordnungsaxiomen:

$g(x)=x^{3}=\underbrace {x} _{<1}\cdot \underbrace {x^{2}} _{>0}<0<\underbrace {y} _{>0}\cdot \underbrace {y^{2}} _{>0}=y^{3}=g(y)$

Also ist $g$ auf $\mathbb {R}$ streng monoton steigend.

Warnung

An dem Beispiel $x\mapsto x^{3}$ haben wir gesehen, dass die Rückrichtung der Monotonieaussage „$f'>0$ impliziert strenge Monotonie“ nicht gilt. Das heißt, dass aus der Tatsache, dass $f$ streng monoton steigt, im Allgemeinen nicht $f'>0$ folgt. Am Beispiel der Funktion $h:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :x\mapsto -x^{3}$ kann man ebenso sehen, dass die Rückrichtung von der Aussage „$f'<0$ impliziert streng monotones Fallen“ nicht gilt.

Exponential- und Logarithmusfunktion

Beispiel (Monotonie der Exponential- und Logarithmusfunktion)

Für die Exponentialfunktion $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ f(x)=\exp(x)$ gilt für alle $x\in \mathbb {R}$:

$f'(x)=\exp(x)>0$

Daher ist $\exp$ nach dem Monotoniekriterium auf ganz $\mathbb {R}$ streng monoton steigend. Für die (natürliche) Logarithmusfunktion $g:\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ,\ g(x)=\ln(x)$ gilt für alle $x\in \mathbb {R} ^{+}$:

$g'(x)={\frac {1}{x}}>0$

Somit ist $\ln$ auf $\mathbb {R} ^{+}$ ebenfalls streng monoton steigend.

Verständnisfrage: Wie ist das Monotonieverhalten der auf $\mathbb {R} ^{-}$ erweiterten Logarithmusfunktion $h:\mathbb {R} \setminus \{0\}\to \mathbb {R} ,\ h(x)=\ln |x|$?

Es gilt

$h(x)={\begin{cases}\ln(x)&{\text{ für }}x>0\\\ln(-x)&{\text{ für }}x<0\end{cases}}$

Oben haben wir $h'(x)>0$ für $x\in \mathbb {R} ^{+}$ gezeigt. Also ist $h$ auf $\mathbb {R} ^{+}$ ebenfalls streng monoton steigend. Für $x<0$ ist hingegen $h'(x)={\frac {1}{-x}}\cdot (-1)={\frac {1}{x}}<0$. Daher ist $h$ auf $\mathbb {R} ^{-}$ streng monoton fallend.

Trigonometrische Funktionen

Beispiel (Monotonieverhalten der Sinusfunktion)

Für die Sinus-Funktion $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ f(x)=\sin(x)$ gilt

$f'(x)=\cos(x)\ {\begin{cases}>0&{\text{ für }}x\in (-{\tfrac {\pi }{2}}+2\pi k,{\tfrac {\pi }{2}}+2\pi k),\ k\in \mathbb {Z} ,\\<0&{\text{ für }}x\in ({\tfrac {\pi }{2}}+2\pi k,{\tfrac {3\pi }{2}}+2\pi k),\ k\in \mathbb {Z} \end{cases}}$

Daher ist $\sin$ für alle $k\in \mathbb {Z}$ auf den Intervallen $[-{\tfrac {\pi }{2}}+2\pi k,{\tfrac {\pi }{2}}+2\pi k]$ streng monoton steigend und auf den Intervallen $[{\tfrac {\pi }{2}}+2\pi k,{\tfrac {3\pi }{2}}+2\pi k]$ streng monoton fallend.

Verständnisfrage: Wie lauten die Monotonieintervalle der Kosinus-Funktion $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ g(x)=\cos(x)$?

Hier gilt $g'(x)=-\sin(x)\ {\begin{cases}>0&{\text{ für }}x\in (\pi +2\pi k,2\pi +2\pi k),\ k\in \mathbb {Z} ,\\<0&{\text{ für }}x\in (2\pi k,{\tfrac {3\pi }{2}}+\pi +2\pi k),\ k\in \mathbb {Z} \end{cases}}$.

Daher ist $\cos$ für alle $k\in \mathbb {Z}$ auf den Intervallen $[\pi +2\pi k,2\pi +2\pi k]$ streng monoton steigend und auf den Intervallen $[2\pi k,\pi +2\pi k]$ streng monoton fallend.

Beispiel (Monotonieverhalten des Tangens)

Für die Tangens-Funktion $\tan :D=\mathbb {R} \setminus \{{\tfrac {\pi }{2}}+k\pi \mid k\in \mathbb {Z} \}\to \mathbb {R} ,\ \tan(x)={\tfrac {\sin(x)}{\cos(x)}}$ gilt für alle $x\in D$

$\tan '(x)=1+\underbrace {\tan ^{2}(x)} _{\geq 0}\geq 1>0$

Damit ist $\tan$ für alle $k\in \mathbb {Z}$ auf den Intervallen $(-{\tfrac {\pi }{2}}+k\pi ,{\tfrac {\pi }{2}}+k\pi )$ streng monoton steigend.

Verständnisfrage: Wie ist das Monotonieverhalten der Kotangens-Funktion $\cot :{\tilde {D}}=\mathbb {R} \setminus \{k\pi \mid k\in \mathbb {Z} \}\to \mathbb {R} ,\ \cot(x)={\tfrac {\cos(x)}{\sin(x)}}$?

Hier ist für alle $x\in {\tilde {D}}$

$\cot '(x)=-1-\underbrace {\tan ^{2}(x)} _{\geq 0}\leq -1<0$

Also ist $\cot$ für alle $k\in \mathbb {Z}$ auf den Intervallen $(k\pi ,\pi +k\pi )$ streng monoton fallend.

Übungsaufgaben

Monotonieintervalle und Nachweis einer Nullstelle

Aufgabe (Monotonieintervalle und Nachweis einer Nullstelle)

Untersuche die Monotonieintervalle der Polynomfunktion

$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ f(x)=x^{3}-x-1$

Zeige außerdem, dass $f$ genau eine Nullstelle besitzt.

Lösung (Monotonieintervalle und Nachweis einer Nullstelle)

Graph der Funktion $f(x)=x^{3}-x-1$

Monotonieintervalle:

És gilt: $f$ ist auf ganz $\mathbb {R}$ differenzierbar, mit

$f'(x)=3x^{2}-1=3\left(x^{2}-{\tfrac {1}{3}}\right)=3\left(x+{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\right)\left(x-{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\right)$

Damit ist

$f'(x)>0\iff {\begin{cases}x+{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}>0{\text{ und }}x-{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}>0\iff x>-{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}{\text{ und }}x>{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\iff x>{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\\x+{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}<0{\text{ und }}x-{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}<0\iff x<-{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}{\text{ und }}x<{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\iff x<-{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\end{cases}}$

Nach dem Monotoniekriterium ist $f$ auf $\left(-\infty ,-{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\right)$ und auf $\left({\tfrac {1}{\sqrt {3}}},\infty \right)$ streng monoton steigend. Weiter gilt

$f'(x)<0\iff {\begin{cases}x+{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}>0{\text{ und }}x-{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}<0\iff x>-{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}{\text{ und }}x<{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\iff -{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}<x<{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\\x+{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}<0{\text{ und }}x-{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}>0\iff x<-{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}{\text{ und }}x>{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\iff {\text{ nicht möglich}}\end{cases}}$

Nach dem Monotoniekriterium ist $f$ auf $\left(-{\tfrac {1}{\sqrt {3}}},{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\right)$ streng monoton fallend.

$f$ besitzt genau eine Nullstelle:

Für $f$ gilt die folgende Wertetabelle

${\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|}\hline x&-1&-{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}&0&{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}&1&2\\\hline f(x)&-1&-1+{\tfrac {2}{3{\sqrt {3}}}}&-1&-1-{\tfrac {2}{3{\sqrt {3}}}}&-1&5\\\hline \end{array}}$

Auf Grund der zuvor untersuchten Monotonieeigenschaften und der Stetigkeit von $f$ können wir damit ablesen:

• Auf $\left(-\infty ,-{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\right)$ ist $f$ streng monoton steigend. Wegen $f\left(-{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\right)=-1+{\tfrac {2}{3{\sqrt {3}}}}<0$ gilt $f(x)<0$ für alle $x\in \left(-\infty ,-{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\right)$.
• Auf $\left(-{\tfrac {1}{\sqrt {3}}},{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\right)$ ist $f$ dann streng monoton fallend. Also gilt auch $f(x)<0$ für alle $x\in \left(-{\tfrac {1}{\sqrt {3}}},{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\right)$.
• Anschließend steigt $f$ auf $\left({\tfrac {1}{\sqrt {3}}},\infty \right)$ wieder streng monoton. Wegen $f(1)=-1<0$ und $f(2)=5>0$, muss es nach dem Zwischenwertsatz ein $x_{0}\in (1,2)$ geben mit $f(x_{0})=0$. Wegen der strengen Monotonie kann $f$ in $\left({\tfrac {1}{\sqrt {3}}},\infty \right)$ keine weiteren Nullstellen haben.

Notwendiges und hinreichendes Kriterium für strenge Monotonie

Aufgabe (Notwendiges und hinreichendes Kriterium für strenge Monotonie)

Beweise: Eine stetige Funktion $f:[a,b]\to \mathbb {R}$, die auf $]a,b[$ differenzierbar ist, ist genau dann streng monoton steigend, wenn gilt

1. $f'(x)\geq 0$ für alle $x\in ]a,b[$
2. Die Nullstellenmenge von $f'$ enthällt kein offenes Intervall.

Als Anwendung: Zeige, dass die Funktion $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ f(x)=x-\sin(x)$ auf ganz $\mathbb {R}$ streng monoton wächst.

Beweis (Notwendiges und hinreichendes Kriterium für strenge Monotonie)

Aus dem Monotoniekriterium wissen wir bereits, dass $f$ genau dann monoton steigend ist, wenn $f'(x)\geq 0$. Wir müssen also nur noch zeigen, dass $f$ genau dann streng monoton steigt, wenn die zweite Bedingung zusätzlich erfüllt ist.

Hinrichtung: $f$ streng monoton steigend $\Longrightarrow$ Nullstellenmenge von $f'$ enthällt kein offenes Intervall

Wir führen eine Kontraposition durch. Sprich, wir zeigen: Wenn die Nullstellenmenge von $f'$ ein offenes Intervall enthält, ist $f$ nicht streng monoton steigend- Angenommen es gibt $a_{1},b_{1}\in ]a,b[$ mit $f'(x)=0$ für alle $x\in ]a_{1},b_{1}[$. Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein $\xi \in ]a_{1},b_{2}[$ mit

$f(b_{1})-f(a_{1})=\underbrace {f'(\xi )} _{=0}(b_{1}-a_{1})=0$

Also ist $f(a_{1})=f(b_{1})$. Gilt nun $x\in ]a_{1},a_{2}[\iff a_{1}<x<a_{2}$, so gilt, da $f$ monoton steigend ist

$f(a_{1})\leq f(x)\leq f(b_{1})$

Also ist $f(x)=f(b_{1})$ für alle $x\in ]a_{1},b_{1}[$. Also ist $f$ nicht streng monoton steigend.

Rückrichtung: Nullstellenmenge von $f'$ enthällt kein offenes Intervall $\Longrightarrow$ $f$ streng monoton steigend

Wir führen einen Beweis durch Kontraposition. Wir müssen zeigen: Wenn $f$ monoton, aber nicht streng monoton steigend ist, dann enthält die Nullstellenmenge von $f'$ ein offenes Intervall. Angenommen es gibt $a_{2},b_{2}\in ]a,b[$ mit $a_{2}<b_{2}$ mit $f(a_{2})=f(b_{2})$. Wegen der Monotonie von $f$ gilt

$f(a_{2})\leq f(x)\leq f(b_{2})$

Also ist $f(x)=f(b_{2})$ für alle $x\in ]a_{1},b_{1}[$. Das heißt $f$ ist konstant auf $]a_{2},b_{2}[$. Daher gilt für alle $x\in ]a_{2},b_{2}[$:

$f'(x)=0$

Also enthält die Nullstellenmenge von $f'$ ein offenes Intervall.

Anwendungsaufgabe: $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ f(x)=x-\sin(x)$ ist streng monoton steigend

$f$ ist für alle $x\in \mathbb {R}$ differenzierbar mit

$f'(x)=1-\cos(x)\geq 0$

Denn $\cos(x)\leq 1$ für alle $x\in \mathbb {R}$. Damit ist $f$ monoton steigend. Weiter gilt

${\begin{aligned}&f'(x)=1-\cos(x)=0\\\iff {}&\cos(x)=1\\\iff {}&x\in \{2\pi k\mid k\in \mathbb {Z} \}\end{aligned}}$

Also enthällt die Nullstellenmenge von $f'$ nur isolierte Punkte, und damit kein offenes Intervall. Daher ist $f$ auf $\mathbb {R}$ streng monoton steigend.