Monotoniekriterium: Zusammenhang zwischen Monotonie und Ableitung einer Funktion – „Mathe für Nicht-Freaks“

Monotoniekriterium

Das Monotoniekriterium für die Ableitung wird bereits in der Schule behandelt. Ist die Ableitungsfunktion $f^{\prime }$ einer differenzierbaren Funktion $f$ auf einem Intervall $(a,b)$ nicht-negativ beziehungsweise nicht-positiv, so ist $f$ auf $(a,b)$ monoton steigend beziehungsweise monoton fallend. Ist $f$ sogar echt positiv beziehungsweise echt negativ auf $(a,b)$, so ist $f$ dort streng monoton steigend beziehungsweise fallend. Im ersten Fall gilt auch die Umkehrung der Aussage. Sprich: Steigt eine differenzierbare Funktion auf $[a,b]$ monoton, so ist $f^{\prime }(x)\ge 0$ und eine auf $[a,b]$ fallende und ableitbare Funktion besitzt eine negative Ableitung.

Satz (Monotoniekriterium für differenzierbare Funktionen)

Sei $f:[a,b]\to ℝ$ stetig und auf $(a,b)$ differenzierbar. Dann gilt

1. $f^{\prime }\ge 0$ auf $(a,b)$ $⟺$ $f$ monoton steigend auf $[a,b]$
2. $f^{\prime }\le 0$ auf $(a,b)$ $⟺$ $f$ monoton fallend auf $[a,b]$
3. $f^{\prime }>0$ auf $(a,b)$ $⟹$ $f$ streng monoton steigend auf $[a,b]$
4. $f^{\prime }<0$ auf $(a,b)$ $⟹$ $f$ streng monoton fallend auf $[a,b]$

Beweis

Die Hinrichtungen des Satzes folgen allesamt aus dem Mittelwertsatz. Die Rückrichtungen der ersten beiden Aussagen folgen aus der Differenzierbarkeit der Funktion:

Beweis (Monotoniekriterium für differenzierbare Funktionen)

Wir zeigen zunächst die Hinrichtungen und danach die Rückrichtungen der Aussagen.

Hinrichtung 1: Aus $f^{\prime }\ge 0$ auf $(a,b)$ folgt, dass $f$ monoton steigend auf $[a,b]$ ist.

Gelte $f^{\prime }\ge 0$ für alle $x\in (a,b)$ und seien $x_1,x_2\in [a,b]$ mit $x_1\le x_2$. Wir müssen $f(x_1)\le f(x_2)$ zeigen. Nach Voraussetzung ist $f$ auf $[x_1,x_2]\subseteq [a,b]$ stetig und auf $(x_1,x_2)\subseteq (a,b)$ differenzierbar. Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein $\xi \in (x_1,x_2)$ mit

$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=f^{\prime }(\xi )$

Nach Voraussetzung ist $f^{\prime }(\xi )\ge 0$, und somit $\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\ge 0$. Wegen $x_2>x_1⟺x_2-x_1>0$ folgt daraus für den Zähler $f(x_2)-f(x_1)\ge 0$. Dies ist äquivalent zu $f(x_2)\ge f(x_1)$, d.h. $f$ ist monoton steigend.

Hinrichtung 2: Aus $f^{\prime }\le 0$ auf $(a,b)$ folgt, dass $f$ monoton fallend auf $[a,b]$ ist.

Gelte $f^{\prime }\le 0$ für alle $x\in (a,b)$ und seien $x_1,x_2\in [a,b]$ mit $x_1\le x_2$. Wir müssen nun $f(x_1)\ge f(x_2)$ zeigen. Nach Voraussetzung ist $f$ auf $[x_1,x_2]$ stetig und auf $(x_1,x_2)$ differenzierbar. Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein $\xi \in (x_1,x_2)$ mit

$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=f^{\prime }(\xi )$

Nun ist $f^{\prime }(\xi )\le 0$, und somit $\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\le 0$. Wegen $x_2>x_1⟺x_2-x_1>0$ folgt daraus $f(x_2)-f(x_1)\le 0$. Dies ist äquivalent zu $f(x_2)\le f(x_1)$, d.h. $f$ ist monoton fallend.

Hinrichtung 3: $f^{\prime }>0$ auf $(a,b)$ impliziert $f$ streng monoton steigend auf $[a,b]$

Zeigen wir zur Abwechslung diese Aussage mittels Kontraposition. Sei also $f$ nicht streng monoton steigend. Dann gibt es $x_1,x_2\in [a,b]$ mit $x_1<x_2$ und $f(x_1)\ge f(x_2)$. Wir müssen zeigen, dass es ein $\xi \in (a,b)$ mit $f^{\prime }(\xi )\le 0$ gibt. Nun ist $f$ stetig auf $[x_1,x_2]$ und differenzierbar auf $(x_1,x_2)$. Nach dem Mittelwertsatz gibt es daher ein $\xi \in (a,b)$ mit

$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=f^{\prime }(\xi )$

Wegen $f(x_1)\ge f(x_2)$ ist der Zähler des Quotienten nicht-positiv, und wegen $x_1<x_2$ ist der Nenner positiv. Damit ist der gesamte Bruch nicht-positiv, und daher $f^{\prime }(\xi )\le 0$.

Hinrichtung 4: $f^{\prime }<0$ auf $(a,b)$ impliziert $f$ streng monoton fallend auf $[a,b]$

Wieder benutzen wir Kontraposition. Sei also $f$ nicht streng monoton fallend. Dann gibt es $x_1,x_2\in [a,b]$ mit $x_1<x_2$ und $f(x_1)\le f(x_2)$. Nun müssen wir zeigen, dass es ein $\xi \in (a,b)$ mit $f^{\prime }(\xi )\ge 0$ gibt. Da $f$ wieder stetig auf $[x_1,x_2]$ und differenzierbar auf $(x_1,x_2)$ ist, gibt es nach dem Mittelwertsatz ein $\xi \in (a,b)$ mit

$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=f^{\prime }(\xi )$

Wegen $f(x_1)\le f(x_2)$ ist der Zähler nicht-negativ, und wegen $x_1<x_2$ ist der Nenner positiv. Damit ist der gesamte Bruch nicht-negativ, und damit $f^{\prime }(\xi )\ge 0$.

Nun wenden wir uns den beiden Rückrichtungen zu:

Rückrichtung 1: $f$ monoton steigend auf $[a,b]$ implizert $f^{\prime }\ge 0$ auf $(a,b)$

Seien $x_1,x_2\in [a,b]$ mit $x_1<x_2$. Wegen der Monotonie gilt dann $f(x_1)\le f(x_2)$. Sind weiter $x,\tilde{x}\in [x_1,x_2]$ mit $x\ne \tilde{x}$, dann gilt für den Differenzenquotienten

$\frac{f(x)-f(\tilde{x})}{x-\tilde{x}}\ge 0$

Ist nämlich $x>\tilde{x}$, so ist $f(x)\ge f(\tilde{x})$. Zähler und Nenner des Differenzenquotienten sind damit nicht-negativ, und damit auch der gesamte Quotient. Analog sind im Fall $x<\tilde{x}$ und $f(x)\le f(\tilde{x})$ Zähler und Nenner nicht-positiv. Damit ist der gesamte Bruch wieder nicht-negativ. Nun bilden wir den Differentialquotienten, mit dem Grenzübergang $x\to \tilde{x}$. Dieser existiert, da $f$ auf $(x_1,x_2)$ differenzierbar ist. Weiter bleibt die Ungleichung wegen der Monotonieregel für Grenzwerte erhalten. Damit haben wir

$f^{\prime }(\tilde{x})=\underset{x\to \tilde{x}}{lim}\frac{f(x)-f(\tilde{x})}{x-\tilde{x}}\ge 0$

Da $x_1,x_2\in [a,b]$ und $\tilde{x}\in (x_1,x_2)$ beliebig waren, folgt die Behauptung $f^{\prime }\ge 0$ auf $(a,b)$.

Rückrichtung 2: $f$ monoton fallend auf $[a,b]$ impliziert $f^{\prime }\le 0$ auf $(a,b)$

Seien wieder $x_1,x_2\in [a,b]$ mit $x_1<x_2$. Wegen der Monotonie gilt nun $f(x_1)\ge f(x_2)$. Weiter seien wieder $x,\tilde{x}\in [x_1,x_2]$ mit $x\ne \tilde{x}$, dann gilt für den Differenzenquotienten

$\frac{f(x)-f(\tilde{x})}{x-\tilde{x}}\le 0$

Ist nämlich $x>\tilde{x}$, so ist $f(x)\le f(\tilde{x})$, und damit ist der gesamte Quotient nicht-positiv. Analog auch im Fall $x<\tilde{x}$ und $f(x)\ge f(\tilde{x})$. Durch Bildung des Differentialquotienten erhalten wir nun

$f^{\prime }(\tilde{x})=\underset{x\to \tilde{x}}{lim}\frac{f(x)-f(\tilde{x})}{x-\tilde{x}}\le 0$

Da $x_1,x_2$ und $\tilde{x}$ wieder beliebig waren, folgt $f^{\prime }\le 0$ auf $(a,b)$.

Beispiele zum Monotoniekriterium

Quadratische und kubische Funktionen

Beispiel (Monotonie der quadratischen und kubischen Potenzfunktion)

Graphen der Funktionen $f$ und $g$

Graphen der Funktionen $f^{\prime }$ und $g^{\prime }$

Für die quadratische Potenzfunktion $f:ℝ\to ℝ,f(x)=x^2$ gilt

$f^{\prime }(x)=2x\{\begin{array}{cc}>0& \text{ falls }x>0,\\ <0& \text{ falls }x<0\end{array}$

Daher ist $f$ nach dem Monotoniekriterium auf $(-\mathrm{\infty },0]$ streng monoton fallend und auf $[0,\mathrm{\infty })$ streng monoton steigend.

Für die kubische Potenzfunktion $g:ℝ\to ℝ,g(x)=x^3$ gilt

$g^{\prime }(x)=3x^2\{\begin{array}{cc}\ge 0& \text{ für alle }x\in ℝ,\\ >0& \text{ für alle }x\in ℝ\setminus \{0\}\end{array}$

Somit ist $g$ nach dem Monotoniekriterium auf $ℝ$ monoton steigend und auf jeweils auf $(-\mathrm{\infty },0]$ und $[0,\mathrm{\infty })$ streng monoton steigend. Man kann sogar zeigen, dass die kubische Funktion $g(x)=x^3$ auf ganz $ℝ$ streng monoton steigend ist.

Dass die Funktion $g$ mit $g(x)=x^3$ streng monoton steigend ist, obwohl „nur“ $f^{\prime }\ge 0$ und nicht $f^{\prime }>0$gilt, hängt damit zusammen, dass die Ableitung in nur einem einzigen Punkt verschwindet. Ein interessantes (notwendiges und hinreichendes) Kriterium hierzu behandeln wir in der Übungsaufgabe am Ende des Abschnitts.

Verständnisfrage: Warum ist $g:ℝ\to ℝ:x\mapsto x^3$ auf $ℝ$ streng monoton steigend?

Wir müssen zeigen: Aus $x,y\in ℝ$ mit $x<y$ folgt $g(x)<g(y)$. Für die Fälle $x<y\le 0$ und $0\le x<y$ haben wir dies schon mit dem Monotoniekriterium gezeigt. Wir müssen also nur noch den Fall $x<0<y$ betrachten. Hier gilt mit den Anordnungsaxiomen:

$g(x)=x^3=\underset{<0}{\underbrace{x}}\cdot \underset{>0}{\underbrace{x^2}}<0<\underset{>0}{\underbrace{y}}\cdot \underset{>0}{\underbrace{y^2}}=y^3=g(y)$

Also ist $g$ auf $ℝ$ streng monoton steigend.

Warnung

An dem Beispiel $x\mapsto x^3$ haben wir gesehen, dass die Rückrichtung der Monotonieaussage „$f^{\prime }>0$ impliziert strenge Monotonie“ nicht gilt. Das heißt, dass aus der Tatsache, dass $f$ streng monoton steigt, im Allgemeinen nicht $f^{\prime }>0$ folgt. Am Beispiel der Funktion $h:ℝ\to ℝ:x\mapsto -x^3$ kann man ebenso sehen, dass die Rückrichtung von der Aussage „$f^{\prime }<0$ impliziert streng monotones Fallen“ nicht gilt.

Exponential- und Logarithmusfunktion

Beispiel (Monotonie der Exponential- und Logarithmusfunktion)

Für die Exponentialfunktion $f:ℝ\to ℝ,f(x)=\exp (x)$ gilt für alle $x\in ℝ$:

$f^{\prime }(x)=\exp (x)>0$

Daher ist $\exp$ nach dem Monotoniekriterium auf ganz $ℝ$ streng monoton steigend. Für die (natürliche) Logarithmusfunktion $g:{ℝ}^{+}\to ℝ,g(x)=\ln (x)$ gilt für alle $x\in {ℝ}^{+}$:

$g^{\prime }(x)=\frac{1}{x}>0$

Somit ist $\ln$ auf ${ℝ}^{+}$ ebenfalls streng monoton steigend.

Verständnisfrage: Wie ist das Monotonieverhalten der auf ${ℝ}^{-}$ erweiterten Logarithmusfunktion $h:ℝ\setminus \{0\}\to ℝ,h(x)=\ln |x|$?

Es gilt

$h(x)=\{\begin{array}{cc}\ln (x)& \text{ für }x>0\\ \ln (-x)& \text{ für }x<0\end{array}$

Oben haben wir $h^{\prime }(x)>0$ für $x\in {ℝ}^{+}$ gezeigt. Also ist $h$ auf ${ℝ}^{+}$ ebenfalls streng monoton steigend. Für $x<0$ ist hingegen $h^{\prime }(x)=\frac{1}{-x}\cdot (-1)=\frac{1}{x}<0$. Daher ist $h$ auf ${ℝ}^{-}$ streng monoton fallend.

Trigonometrische Funktionen

Beispiel (Monotonieverhalten der Sinusfunktion)

Für die Sinus-Funktion $f:ℝ\to ℝ,f(x)=\sin (x)$ gilt

$f^{\prime }(x)=\cos (x)\{\begin{array}{cc}>0& \text{ für }x\in (-\frac{\pi }{2}+2\pi k,\frac{\pi }{2}+2\pi k),k\in \mathbb{Z},\\ <0& \text{ für }x\in (\frac{\pi }{2}+2\pi k,\frac{3\pi }{2}+2\pi k),k\in \mathbb{Z}\end{array}$

Daher ist $\sin$ für alle $k\in \mathbb{Z}$ auf den Intervallen $[-\frac{\pi }{2}+2\pi k,\frac{\pi }{2}+2\pi k]$ streng monoton steigend und auf den Intervallen $[\frac{\pi }{2}+2\pi k,\frac{3\pi }{2}+2\pi k]$ streng monoton fallend.

Verständnisfrage: Wie lauten die Monotonieintervalle der Kosinus-Funktion $g:ℝ\to ℝ,g(x)=\cos (x)$?

Hier gilt $g^{\prime }(x)=-\sin (x)\{\begin{array}{cc}>0& \text{ für }x\in (\pi +2\pi k,2\pi +2\pi k),k\in \mathbb{Z},\\ <0& \text{ für }x\in (2\pi k,\frac{3\pi }{2}+\pi +2\pi k),k\in \mathbb{Z}\end{array}$.

Daher ist $\cos$ für alle $k\in \mathbb{Z}$ auf den Intervallen $[\pi +2\pi k,2\pi +2\pi k]$ streng monoton steigend und auf den Intervallen $[2\pi k,\pi +2\pi k]$ streng monoton fallend.

Beispiel (Monotonieverhalten des Tangens)

Für die Tangens-Funktion $\tan :D=ℝ\setminus \{\frac{\pi }{2}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}\to ℝ,\tan (x)=\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ gilt für alle $x\in D$

${\tan }^{\prime }(x)=1+\underset{\ge 0}{\underbrace{{\tan }^2(x)}}\ge 1>0$

Damit ist $\tan$ für alle $k\in \mathbb{Z}$ auf den Intervallen $(-\frac{\pi }{2}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi )$ streng monoton steigend.

Verständnisfrage: Wie ist das Monotonieverhalten der Kotangens-Funktion $\cot :\tilde{D}=ℝ\setminus \{k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}\to ℝ,\cot (x)=\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$?

Hier ist für alle $x\in \tilde{D}$

${\cot }^{\prime }(x)=-1-\underset{\ge 0}{\underbrace{{\tan }^2(x)}}\le -1<0$

Also ist $\cot$ für alle $k\in \mathbb{Z}$ auf den Intervallen $(k\pi ,\pi +k\pi )$ streng monoton fallend.

Übungsaufgaben

Monotonieintervalle und Nachweis einer Nullstelle

Aufgabe (Monotonieintervalle und Nachweis einer Nullstelle)

Untersuche die Monotonieintervalle der Polynomfunktion

$f:ℝ\to ℝ,f(x)=x^3-x-1$

Zeige außerdem, dass $f$ genau eine Nullstelle besitzt.

Lösung (Monotonieintervalle und Nachweis einer Nullstelle)

Graph der Funktion $f(x)=x^3-x-1$

Monotonieintervalle:

És gilt: $f$ ist auf ganz $ℝ$ differenzierbar, mit

$f^{\prime }(x)=3x^2-1=3(x^2-\frac{1}{3})=3(x+\frac{1}{\sqrt{3}})(x-\frac{1}{\sqrt{3}})$

Damit ist

$f^{\prime }(x)>0⟺\{\begin{array}{c}x+\frac{1}{\sqrt{3}}>0\text{ und }x-\frac{1}{\sqrt{3}}>0⟺x>-\frac{1}{\sqrt{3}}\text{ und }x>\frac{1}{\sqrt{3}}⟺x>\frac{1}{\sqrt{3}}\\ x+\frac{1}{\sqrt{3}}<0\text{ und }x-\frac{1}{\sqrt{3}}<0⟺x<-\frac{1}{\sqrt{3}}\text{ und }x<\frac{1}{\sqrt{3}}⟺x<-\frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}$

Nach dem Monotoniekriterium ist $f$ auf $(-\mathrm{\infty },-\frac{1}{\sqrt{3}})$ und auf $(\frac{1}{\sqrt{3}},\mathrm{\infty })$ streng monoton steigend. Weiter gilt

$f^{\prime }(x)<0⟺\{\begin{array}{c}x+\frac{1}{\sqrt{3}}>0\text{ und }x-\frac{1}{\sqrt{3}}<0⟺x>-\frac{1}{\sqrt{3}}\text{ und }x<\frac{1}{\sqrt{3}}⟺-\frac{1}{\sqrt{3}}<x<\frac{1}{\sqrt{3}}\\ x+\frac{1}{\sqrt{3}}<0\text{ und }x-\frac{1}{\sqrt{3}}>0⟺x<-\frac{1}{\sqrt{3}}\text{ und }x>\frac{1}{\sqrt{3}}⟺\text{ nicht möglich}\end{array}$

Nach dem Monotoniekriterium ist $f$ auf $(-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}})$ streng monoton fallend.

$f$ besitzt genau eine Nullstelle:

Für $f$ gilt die folgende Wertetabelle

$\begin{array}{ccccccc}x& -1& -\frac{1}{\sqrt{3}}& 0& \frac{1}{\sqrt{3}}& 1& 2\\ f(x)& -1& -1+\frac{2}{3\sqrt{3}}& -1& -1-\frac{2}{3\sqrt{3}}& -1& 5\end{array}$

Auf Grund der zuvor untersuchten Monotonieeigenschaften und der Stetigkeit von $f$ können wir damit ablesen:

• Auf $(-\mathrm{\infty },-\frac{1}{\sqrt{3}})$ ist $f$ streng monoton steigend. Wegen $f(-\frac{1}{\sqrt{3}})=-1+\frac{2}{3\sqrt{3}}<0$ gilt $f(x)<0$ für alle $x\in (-\mathrm{\infty },-\frac{1}{\sqrt{3}})$.
• Auf $(-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}})$ ist $f$ dann streng monoton fallend. Also gilt auch $f(x)<0$ für alle $x\in (-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}})$.
• Anschließend steigt $f$ auf $(\frac{1}{\sqrt{3}},\mathrm{\infty })$ wieder streng monoton. Wegen $f(1)=-1<0$ und $f(2)=5>0$, muss es nach dem Zwischenwertsatz ein $x_0\in (1,2)$ geben mit $f(x_0)=0$. Wegen der strengen Monotonie kann $f$ in $(\frac{1}{\sqrt{3}},\mathrm{\infty })$ keine weiteren Nullstellen haben.

Notwendiges und hinreichendes Kriterium für strenge Monotonie

Aufgabe (Notwendiges und hinreichendes Kriterium für strenge Monotonie)

Beweise: Eine stetige Funktion $f:[a,b]\to ℝ$, die auf $]a,b[$ differenzierbar ist, ist genau dann streng monoton steigend, wenn gilt

1. $f^{\prime }(x)\ge 0$ für alle $x\in ]a,b[$
2. Die Nullstellenmenge von $f^{\prime }$ enthält kein offenes Intervall.

Als Anwendung: Zeige, dass die Funktion $f:ℝ\to ℝ,f(x)=x-\sin (x)$ auf ganz $ℝ$ streng monoton wächst.

Beweis (Notwendiges und hinreichendes Kriterium für strenge Monotonie)

Aus dem Monotoniekriterium wissen wir bereits, dass $f$ genau dann monoton steigend ist, wenn $f^{\prime }(x)\ge 0$. Wir müssen also nur noch zeigen, dass $f$ genau dann streng monoton steigt, wenn die zweite Bedingung zusätzlich erfüllt ist.

Hinrichtung: $f$ streng monoton steigend $⟹$ Nullstellenmenge von $f^{\prime }$ enthält kein offenes Intervall

Wir führen eine Kontraposition durch. Sprich, wir zeigen: Wenn die Nullstellenmenge von $f^{\prime }$ ein offenes Intervall enthält, ist $f$ nicht streng monoton steigend- Angenommen es gibt $a_1,b_1\in ]a,b[$ mit $f^{\prime }(x)=0$ für alle $x\in ]a_1,b_1[$. Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein $\xi \in ]a_1,b_1[$ mit

$f(b_1)-f(a_1)=\underset{=0}{\underbrace{f^{\prime }(\xi )}}(b_1-a_1)=0$

Also ist $f(a_1)=f(b_1)$. Gilt nun $x\in ]a_1,b_1[⟺a_1<x<b_1$, so gilt, da $f$ monoton steigend ist

$f(a_1)\le f(x)\le f(b_1)$

Also ist $f(x)=f(b_1)$ für alle $x\in ]a_1,b_1[$. Also ist $f$ nicht streng monoton steigend.

Rückrichtung: Nullstellenmenge von $f^{\prime }$ enthällt kein offenes Intervall $⟹$ $f$ streng monoton steigend

Wir führen einen Beweis durch Kontraposition. Wir müssen zeigen: Wenn $f$ monoton, aber nicht streng monoton steigend ist, dann enthält die Nullstellenmenge von $f^{\prime }$ ein offenes Intervall. Angenommen es gibt $a_2,b_2\in ]a,b[$ mit $a_2<b_2$ mit $f(a_2)=f(b_2)$. Wegen der Monotonie von $f$ gilt

$f(a_2)\le f(x)\le f(b_2)$

Also ist $f(x)=f(b_2)$ für alle $x\in ]a_1,b_1[$. Das heißt $f$ ist konstant auf $]a_2,b_2[$. Daher gilt für alle $x\in ]a_2,b_2[$:

$f^{\prime }(x)=0$

Also enthält die Nullstellenmenge von $f^{\prime }$ ein offenes Intervall.

Anwendungsaufgabe: $f:ℝ\to ℝ,f(x)=x-\sin (x)$ ist streng monoton steigend

$f$ ist für alle $x\in ℝ$ differenzierbar mit

$f^{\prime }(x)=1-\cos (x)\ge 0$

Denn $\cos (x)\le 1$ für alle $x\in ℝ$. Damit ist $f$ monoton steigend. Weiter gilt

$\begin{array}{cc}& f^{\prime }(x)=1-\cos (x)=0\\ ⟺& \cos (x)=1\\ ⟺& x\in \{2\pi k\mid k\in \mathbb{Z}\}\end{array}$

Also enthällt die Nullstellenmenge von $f^{\prime }$ nur isolierte Punkte, und damit kein offenes Intervall. Daher ist $f$ auf $ℝ$ streng monoton steigend.