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Eine Potenzreihe ist eine spezielle Reihe der Form
bzw.
. In diesem Kapitel werden wir zunächst die wichtigsten Beispiele von Potenzreihen kennenlernen. Wir werden später sehen, dass jede Potenzreihe einen Konvergenzradius besitzt. Das ist eine reelle Zahl
, so dass die Reihe für alle
mit
absolut konvergiert und für alle
divergiert. Innerhalb dieses Konvergenzradius lassen sich viele Potenzreihen als Funktionen darstellen.
Definition (Potenzreihe)
Ist
eine reelle Folge und
, so ist eine (reelle) Potenzreihe eine Reihe der Form
Die Zahlen
heißen die Koeffizienten der Potenzreihe.
Die Geometrische Reihe ist die Potenzreihe
Die Koeffinzientenfolge ist hier
.
Wir haben Sie bereits in einem eigenen Kapitel ausführlich behandelt. Mit Hilfe der geometrischen Summenformel haben wir gezeigt, dass diese Reihe für alle
mit
absolut konvergiert und für
divergiert. Für die beiden „Randfälle“
und
ergeben sich die Reihen
bzw.
, die beide divergieren. Die Reihe
sogar uneigentlich gegen
. Insgesamt ergibt ergibt sich daher für die geometrische Reihe
Mit der geometrischen Reihe verwandt sind die Potenzreihen
und
Die Koeffizientenfolgen dieser Potenzreihen sind
bzw.
. Wir werden im nächsten Kapitel sehen, dass diese, analog zur geometrischen für
absolut konvergieren und für
divergieren. Jedoch unterscheidet sich das Konvergenzverhalten in den Randwerten
.
Für
und
ist der verallgemeinerte Binomialkoeffizient definiert durch
Damit ist die Binomialreihe definiert durch:
D.h. die Koeffizienten der Binomialreihe lauten
. Im nächsten Kapitel werden wir sehen, dass diese Potenzreihe ebenfalls für alle
mit
absolut konvergiert und für alle
divergiert.
Zunächst betrachten wir den Spezialfall
, also die Binomilareihe
:
Berechnet man man die Koeffizienten
, so erhält man wie folgt einen Spezialfall der geometrische Reihe:
Für den Spezialfall
ergibt sich wegen
für
, der binomische Lehrsatz:
Es gilt sogar allgemeiner für
und
die Darstellungsformel
Wir werden diese Formel in einem späteren Kapitel mit Hilfe der Ableitung von Potenzreihen beweisen.
In diesem Abschnitt werden wir drei Beispiele von Potenzreihen untersuchen, die nicht nur für
, wie die bisherigen Beispiele, sondern für alle
konvergieren.
Ein Beispiel eine solchen Potenzreihe ist die Exponentialreihe
Über diese lässt sich die Herleitung und Definition der Exponentialfunktion definieren.
Das die Reihe für alle
konvergiert, lässt sich mit Hilfe des Quotientenkriteriums oder mit den Formeln zur Berechnung des Konvergenzradius aus dem nächsten Kapitel beweisen.
Die Sinusreihe
und die Kosinusreihe
unterscheiden sich von den bisherigen Beispielen dadurch, dass im Fall der Sinusreihe alle Reihenglieder mit geradem Index fehlen, d.h. gleich null sind, und im Fall der Kosinusreihe alle Reihenglieder mit ungeradem Index fehlen, d.h. gleich null sind.
Die Sinusreihe lässt sich daher auch definieren durch

mit
Verständnisfrage: Wie lautet die explizite Darstellung der Koeffizienten
der Kosinusreihe?
.
Bei den beiden Reihen handelt es sich um die Reihendarstellungen der Sinus- und Kosinusfunktion. Wir werden im nächsten Kapitel sehen, das die beide Potenzreihen für jedes
konvergieren.
Potenzreihen die nur für x=0 konvergieren
[Bearbeiten]
Es ist klar, dass jede Potenzreihe für
konvergiert, denn setzt man diesen Wert für
in eine beliebige Potenzreihe
ein, so gilt
Die Frage ist nun, ob es Potenzreihen gibt, die nur für den Wert
kovergieren und für alle
divergieren. Das vielleicht einfachste Beispiel einer solchen Potenzreihe erhalten wir, indem wir die Exponentialreihe einfach „umdrehen“. Gemeint ist die Potenzreihe
mit
.
Um zu zeigen, dass diese Reihe für alle
divergiert benutzen wir, genau wie bei der Exponentialreihe das Quotientenkriterium. Für
und
gilt
Also konvergiert die Potenzreihe nach dem Quotientenkriterium für kein
.
Verständnisfrage: Gib zwei weitere Beispiele von Potenzreihen an, die nur für
konvergieren.