Potenzreihen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Eine Potenzreihe ist eine spezielle Reihe der Form $\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}x^{k}$ bzw. $\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}x^{k}$. In diesem Kapitel werden wir zunächst die wichtigsten Beispiele von Potenzreihen kennenlernen. Wir werden später sehen, dass jede Potenzreihe einen Konvergenzradius besitzt. Das ist eine reelle Zahl $R$, so dass die Reihe für alle $x$ mit $|x|<R$ absolut konvergiert und für alle $|x|>R$ divergiert. Innerhalb dieses Konvergenzradius lassen sich viele Potenzreihen als Funktionen darstellen.

Definition und Beispiele

Definition (Potenzreihe)

Ist $(c_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}$ eine reelle Folge und $x\in \mathbb {R}$, so ist eine (reelle) Potenzreihe eine Reihe der Form

$\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}x^{k}=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+\ldots$

Die Zahlen $c_{k}\in \mathbb {R}$ heißen die Koeffizienten der Potenzreihe.

Wichtige Beispiele von Potenzreihen

Die geometrische Reihe und Verwandtes

Die geometrische Reihe

Die Geometrische Reihe ist die Potenzreihe

$\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}=1+x+x^{2}+x^{3}+\ldots$

Die Koeffinzientenfolge ist hier $(c_{k})=(1)$.

Wir haben Sie bereits in einem eigenen Kapitel ausführlich behandelt. Mit Hilfe der geometrischen Summenformel haben wir gezeigt, dass diese Reihe für alle $x\in \mathbb {R}$ mit $|x|<1$ absolut konvergiert und für $|x|>1$ divergiert. Für die beiden „Randfälle“ $x=1$ und $x=-1$ ergeben sich die Reihen $\sum _{k=0}^{\infty }1$ bzw. $\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}$, die beide divergieren. Die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }1$ sogar uneigentlich gegen $+\infty$. Insgesamt ergibt ergibt sich daher für die geometrische Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}={\begin{cases}{\frac {1}{1-x}}<\infty &{\text{falls}}\ |x|<1,\\\infty &{\text{falls}}\ x=1,\\{\text{divergent}}&{\text{falls}}\ x=-1,\\{\text{divergent}}&{\text{falls}}\ |x|>1\end{cases}}$

Verwandte Reihen

Mit der geometrischen Reihe verwandt sind die Potenzreihen

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k}}=x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+\ldots$

und

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k^{2}}}=x+{\frac {x^{2}}{4}}+{\frac {x^{3}}{9}}+{\frac {x^{4}}{16}}+\ldots$

Die Koeffizientenfolgen dieser Potenzreihen sind $(c_{k})=\left({\frac {1}{k}}\right)$ bzw. $(c_{k})=\left({\frac {1}{k^{2}}}\right)$. Wir werden im nächsten Kapitel sehen, dass diese, analog zur geometrischen für $|x|<1$ absolut konvergieren und für $|x|>1$ divergieren. Jedoch unterscheidet sich das Konvergenzverhalten in den Randwerten $x=\pm 1$.

Die Binomialreihe

Für $s\in \mathbb {R}$ und $k\in \mathbb {N}$ ist der verallgemeinerte Binomialkoeffizient definiert durch

${\binom {s}{k}}={\frac {\prod _{i=1}^{k}(s-i+1)}{k!}}={\frac {s\cdot (s-1)\cdot (s-2)\cdot \ldots \cdot (s-k+1)}{k\cdot (k-1)\cdot (k-2)\cdot \ldots 3\cdot 2\cdot 1}}$

Damit ist die Binomialreihe definiert durch:

${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {s}{k}}x^{k}&={\binom {s}{0}}x^{0}+{\binom {s}{1}}x^{1}+{\binom {s}{2}}x^{2}+{\binom {s}{3}}x^{3}+{\binom {s}{4}}x^{4}+\ldots \\&=1+sx+{\frac {s(s-1)}{2}}x^{2}+{\frac {s(s-1)(s-2)}{6}}x^{3}+{\frac {s(s-1)(s-2)(s-3)}{24}}x^{4}+\ldots \end{aligned}}$

D.h. die Koeffizienten der Binomialreihe lauten $c_{k}={\binom {s}{k}}$. Im nächsten Kapitel werden wir sehen, dass diese Potenzreihe ebenfalls für alle $x\in \mathbb {R}$ mit $|x|<1$ absolut konvergiert und für alle $|x|>1$ divergiert.

Spezialfälle und Darstellungsformel für die Binomialreihe

Zunächst betrachten wir den Spezialfall $s=-1$, also die Binomilareihe $\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\binom {-1}{k}}x^{k}$:

Berechnet man man die Koeffizienten ${\binom {-1}{k}}$, so erhält man wie folgt einen Spezialfall der geometrische Reihe:

${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {-1}{k}}x^{k}&={\binom {-1}{0}}x^{0}+{\binom {-1}{1}}x^{1}+{\binom {-1}{2}}x^{2}+{\binom {-1}{3}}x^{3}+{\binom {-1}{4}}x^{4}+\ldots \\[0.5em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\binom {-1}{0}}=1{\text{ und }}{\binom {s}{k}}={\frac {s\cdot (s-1)\cdot (s-2)\cdot \ldots \cdot (s-k+1)}{k!}}{\text{ für }}s\geq 1\right.}\\[0.5em]&=1+{\frac {-1}{1!}}x+{\frac {-1\cdot (-2)}{2!}}x^{2}+{\frac {-1\cdot (-2)\cdot (-3)}{3!}}x^{3}+{\frac {-1\cdot (-2)\cdot (-3)\cdot (-4)}{4!}}x^{4}+\ldots \\[0.5em]&=1+{\frac {-1}{1!}}x+{\frac {+2!}{2!}}x^{2}+{\frac {-3}{3!}}x^{3}+{\frac {+4}{4!}}x^{4}+\ldots \\[0.5em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{kürzen}}\right.}\\[0.5em]&=1-x+x^{2}-x^{3}+x^{4}\pm \ldots \\[0.5em]&=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}x^{k}\\[0.5em]&=\sum _{k=0}^{\infty }(-x)^{k}\\[0.5em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Geometrische Reihe mit }}-x{\text{ statt }}x\ \right.}\\[0.5em]&={\frac {1}{1-(-x)}}\\[0.5em]&={\frac {1}{1+x}}\end{aligned}}$

Für den Spezialfall $s=n\in \mathbb {N}$ ergibt sich wegen ${\binom {n}{k}}=0$ für $k>n$, der binomische Lehrsatz:

${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {n}{k}}x^{k}&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}\\[0.5em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{binomischer Lehrsatz mit }}y=1\right.}\\[0.5em]&=(1+x)^{n}\end{aligned}}$

Es gilt sogar allgemeiner für $|x|<1$ und $s\in \mathbb {R}$ die Darstellungsformel

$\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {s}{k}}\cdot x^{k}=(1+x)^{s}$

Wir werden diese Formel in einem späteren Kapitel mit Hilfe der Ableitung von Potenzreihen beweisen.

Exponential-, Sinus- und Kosinusreihe

In diesem Abschnitt werden wir drei Beispiele von Potenzreihen untersuchen, die nicht nur für $|x|<1$, wie die bisherigen Beispiele, sondern für alle $x\in \mathbb {R}$ konvergieren.

Exponentialreihe

Ein Beispiel eine solchen Potenzreihe ist die Exponentialreihe

$\exp(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{{\frac {1}{k!}}\cdot x^{k}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{4}}{24}}+\ldots$

Über diese lässt sich die Herleitung und Definition der Exponentialfunktion definieren.

Das die Reihe für alle $x\in \mathbb {R}$ konvergiert, lässt sich mit Hilfe des Quotientenkriteriums oder mit den Formeln zur Berechnung des Konvergenzradius aus dem nächsten Kapitel beweisen.

Sinus- und Kosinusreihe

Die Sinusreihe

$\sin x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)!}}x^{2k+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}\pm \ldots$

und die Kosinusreihe

$\cos x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k)!}}x^{2k}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}\pm \ldots$

unterscheiden sich von den bisherigen Beispielen dadurch, dass im Fall der Sinusreihe alle Reihenglieder mit geradem Index fehlen, d.h. gleich null sind, und im Fall der Kosinusreihe alle Reihenglieder mit ungeradem Index fehlen, d.h. gleich null sind.

Die Sinusreihe lässt sich daher auch definieren durch

$\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$ mit $c_{n}={\begin{cases}{\frac {(-1)^{\frac {n-1}{2}}}{n!}}&{\text{für ungerade}}\ n,\\0&{\text{für gerade}}\ n\end{cases}}$

Verständnisfrage: Wie lautet die explizite Darstellung der Koeffizienten $c_{n}$ der Kosinusreihe?

$c_{n}={\begin{cases}{\frac {(-1)^{\frac {n}{2}}}{n!}}&{\text{für gerade}}\ n,\\0&{\text{für ungerade}}\ n\end{cases}}$.

Bei den beiden Reihen handelt es sich um die Reihendarstellungen der Sinus- und Kosinusfunktion. Wir werden im nächsten Kapitel sehen, das die beide Potenzreihen für jedes $x\in \mathbb {R}$ konvergieren.

Potenzreihen die nur für x=0 konvergieren

Es ist klar, dass jede Potenzreihe für $x=0$ konvergiert, denn setzt man diesen Wert für $x$ in eine beliebige Potenzreihe $\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}x^{k}$ ein, so gilt

$\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}0^{k}=\underbrace {c_{0}0^{0}} _{=c_{0}\cdot 1}+\underbrace {c_{1}0^{1}+c_{2}0^{2}+c_{3}0^{3}+c_{4}0^{4}+\ldots } _{=0}=c_{0}$

Die Frage ist nun, ob es Potenzreihen gibt, die nur für den Wert $x=0$ kovergieren und für alle $x\neq 0$ divergieren. Das vielleicht einfachste Beispiel einer solchen Potenzreihe erhalten wir, indem wir die Exponentialreihe einfach „umdrehen“. Gemeint ist die Potenzreihe $\sum _{k=0}^{\infty }k!\cdot x^{k}$ mit $c_{k}=k!$.

Um zu zeigen, dass diese Reihe für alle $x\neq 0$ divergiert benutzen wir, genau wie bei der Exponentialreihe das Quotientenkriterium. Für $x\neq 0$ und $a_{k}:=k!\cdot x^{k}$ gilt

${\begin{aligned}&\left|{\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}\right|\\[0.3em]=\ &\left|{\frac {(k+1)!\cdot x^{k+1}}{k!\cdot x^{k}}}\right|\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ x^{k+1}=x\cdot x^{k}{\text{ und }}(k+1)!=k!\cdot (k+1)\right.}\\[0.3em]=\ &\left|{\frac {(k+1)\cdot k!\cdot x\cdot x^{k}}{k!\cdot x^{k}}}\right|\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{kürzen}}\right.}\\[0.3em]=\ &(k+1)\cdot |x|\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ k+1\to \infty {\text{ und }}|x|{\text{ ist konstant}}\right.}\\[0.3em]\to \ &\infty {\text{ mit }}k\to \infty \end{aligned}}$

Also konvergiert die Potenzreihe nach dem Quotientenkriterium für kein $x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$.

Verständnisfrage: Gib zwei weitere Beispiele von Potenzreihen an, die nur für $x=0$ konvergieren.

We gibt natürlich unendlich viele Beispiele, aber zwei relativ „unkomplizierte“ sind die Potenzreihen

$\sum _{k=0}^{\infty }(2k)!x^{k}{\text{ und }}\sum _{k=0}^{\infty }k^{k}x^{k}$

Die erste Potenzreihe divergiert nach dem Minorantenkriterium, da $|(2k)!\cdot x^{k}|=(2k)!\cdot |x|^{k}\geq k!\cdot |x|^{k}$ und der Divergenz der Reihe oben. Die Divergenz der 2. Potenzreihe lässt sich einfach mit den Wurzelkriterium, wegen ${\sqrt[{k}]{|k^{k}x^{k}|}}={\sqrt[{k}]{k^{k}}}\cdot {\sqrt[{k}]{|x|^{k}}}=k\cdot |x|\to \infty$ mit $k\to \infty$, zeigen.