Potenzreihen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Eine Potenzreihe ist eine spezielle Reihe der Form bzw. . In diesem Kapitel werden wir zunächst die wichtigsten Beispiele von Potenzreihen kennenlernen. Wir werden später sehen, dass jede Potenzreihe einen Konvergenzradius besitzt. Das ist eine reelle Zahl , so dass die Reihe für alle mit absolut konvergiert und für alle divergiert. Innerhalb dieses Konvergenzradius lassen sich viele Potenzreihen als Funktionen darstellen.

Definition und Beispiele[Bearbeiten]

Definition (Potenzreihe)

Ist eine reelle Folge und , so ist eine (reelle) Potenzreihe eine Reihe der Form

Die Zahlen heißen die Koeffizienten der Potenzreihe.

Wichtige Beispiele von Potenzreihen[Bearbeiten]

Die geometrische Reihe und Verwandtes[Bearbeiten]

Die geometrische Reihe[Bearbeiten]

Die Geometrische Reihe ist de Potenzreihe

Die Koeffinzientenfolge ist hier .

Wir haben Sie bereits in einem eigenen Kapitel ausführlich behandelt. Mit Hilfe der geometrischen Summenformel haben wir gezeigt, dass diese Reihe für alle mit absolut konvergiert und für konvergiert. Für die beiden „Randfälle“ und ergeben sich die Reihen bzw. , die beide divergieren. Die Reihe sogar uneigentlich gegen . Insgesamt ergibt ergibt sich daher für die geometrische Reihe

Verwandte Reihen[Bearbeiten]

Mit der geometrischen Reihe verwandt sind die Potenzreihen

und

Die Koeffizientenfolgen dieser Potenzreihen sind bzw. . Wir werden im nächsten Kapitel sehen, das diese, analog zur geometrischen für absolut konvergieren und für divergieren. Jedoch unterscheidet sich das Konvergenzverhalten in den Randwerten .

Die Binomialreihe[Bearbeiten]

Für und ist der verallgemeinerte Binomialkoeffizient definiert durch

Damit ist die Binomialreihe definiert durch:

D.h. die Koeffizienten der Binomialreihe lauten . Im nächsten Kapitel werden wir sehen, dass diese Potenzreihe ebenfalls füt alle mit absolut konvergiert und für alle divergiert.

Spezialfälle und Darstellungsformel für die Binomialreihe[Bearbeiten]

Zunächst betrachten wir den Spezialfall , also die Binomilareihe :

Berechnet man man die Koeffizienten , so erhält man wie folgt einen Spezialfall der geometrische Reihe:

Für den Spezialfall ergibt sich wegen für , der binomische Lehrsatz:

Es gilt sogar allgemeiner für und die Darstellungsformel

Wir werden diese Formel in einem späteren Kapitel mit Hilfe der Ableitung von Potenzreihen beweisen.

Exponential-, Sinus- und Kosinusreihe[Bearbeiten]

In diesem Abschnitt werden wir drei Beispiele von Potenzreihen untersuchen, die nicht nur für , wie die bisherigen Beispiele, sondern für alle konvergieren.

Exponentialreihe[Bearbeiten]

Ein Beispiel eine solchen Potenzreihe ist die Exponentialreihe

Über diese lässt sich die Herleitung und Definition der Exponentialfunktion definieren.

Das die Reihe für alle konvergiert, lässt sich mit Hilfe des Quotientenkriteriums oder mit den Formeln zur Berechnung des Konvergenzradius aus dem nächsten Kapitel beweisen.

Sinus- und Kosinusreihe[Bearbeiten]

Die Sinusreihe

und die Kosinusreihe

unterscheiden sich von den bisherigen Beispielen dadurch, dass im Fall der Sinusreihe alle Reihenglieder mit geradem Index fehlen, d.h. gleich null sind, und im Fall der Kosinusreihe alle Reihenglieder mit ungeradem Index fehlen, d.h. gleich null sind.

Die Sinusreihe lässt sich daher auch definieren durch

mit

Verständnisfrage: Wie lautet die explizite Darstellung der Koeffizienten der Kosinusreihe?

.

Bei den beiden Reihen handelt es sich um die Reihendarstellungen der Sinus- und Kosinusfunktion. Wir werden im nächsten Kapitel sehen, das die beide Potenzreihen für jedes konvergieren.

Potenzreihen die nur für x=0 konvergieren[Bearbeiten]

Es ist klar, dass jede Potenzreihe für konvergiert, denn setzt man diesen Wert für in eine beliebige Potenzreihe ein, so gilt

Die Frage ist nun, ob es Potenzreihen gibt, die nur für den Wert kovergieren und für alle divergieren. Das vielleicht einfachste Beispiel einer solchen Potenzreihe erhalten wir, indem wir die Exponentialreihe einfach „umdrehen“. Gemeint ist die Potenzreihe mit .

Um zu zeigen, dass diese Reihe für alle divergiert benutzen wir, genau wie bei der Exponentialreihe das Quotientenkriterium. Für und gilt

Also konvergiert die Potenzreihe nach dem Quotientenkriterium für kein .

Verständnisfrage: Gib zwei weitere Beispiele von Potenzreihen an, die nur für konvergieren.

We gibt natürlich unendlich viele Beispiele, aber zwei relativ „unkomplizierte“ sind die Potenzreihen

Die erste Potenzreihe divergiert nach dem Minorantenkriterium, da und der Divergenz der Reihe oben. Die Divergenz der 2. Potenzreihe lässt sich einfach mit den Wurzelkriterium, wegen mit , zeigen.