Quotientenkriterium – Mathe für Nicht-Freaks

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Das Quotientenkriterium erlaubt Konvergenz- und Divergenzbeweise bei vielen konkret gegebenen Reihen und wird deswegen häufig eingesetzt. Es ist zwar bei weniger Reihen einsetzbar als das Wurzelkriterium, jedoch sind Beweise mit dem Quotientenkriterium in der Regel einfacher zu führen als solche mit dem Wurzelkriterium.

Das Quotientenkriterium wurde erstmals vom Mathematiker und Physiker Jean-Baptiste le Rond d’Alembert veröffentlicht, zu dessen Ehren es auch d’Alembertsches Konvergenzkriterium genannt wird.[1]

Herleitung[Bearbeiten]

Erste Schritte[Bearbeiten]

Genau wie beim Wurzelkriterium wird beim Quotientenkriterium die Konvergenz einer Reihe über das Majorantenkriterium auf die Konvergenz einer geometrischen Reihe zurückgeführt. Sei also eine gegebene Reihe mit für alle . Die Forderung, dass die Reihe nur nichtnegative Summanden besitzt, brauchen wir für das Majorantenkriterium. Wir wissen, dass die Reihe konvergiert, wenn es ein mit für alle gibt. Dies folgt aus dem Majorantenkriterium und der Tatsache, dass die geometrische Reihe für konvergiert.

Beim Wurzelkriterium wird die Ungleichung direkt zu umgeformt. Beim Quotientenkriterium wählt man ein rekursives Kriterium, das impliziert. Zunächst wissen wir, dass sein muss. Im Rekursionsschritt brauchen wir eine Bedingung, mit der man aus der Ungleichung die Ungleichung schließen kann. Gehen wir also davon aus, dass wir bereits bewiesen haben. Es gilt dann (wenn wir davon ausgehen, dass ist):

Um zu beweisen, können wir alternativ mit der obigen Umformung auch zeigen. Wir erhalten die Ungleichung . Hierzu benötigen wir die Aussage , die wir im Folgenden annehmen. Aus der Bedingung können wir wiederum folgern, dass und damit auch ist.

Zusammenfassung der ersten Überlegungen[Bearbeiten]

Aus und können wir zeigen, dass ist und die Reihe somit nach dem Majorantenkriterium konvergiert. Ein Beweis ist hier über vollständige Induktion möglich. Zunächst haben wir den Induktionsanfang direkt gegeben. Im Induktionsschritt gehen wir davon aus, dass wahr ist und können damit folgern

Erste Verbesserung[Bearbeiten]

Die Konvergenz einer Reihe hängt nicht vom Wert von endlich vielen Summanden ab. Das heißt, die Änderung endlich vieler Summanden beeinflusst die Konvergenz der Reihe nicht. Dementsprechend kann man vermuten, dass die Bedingung nicht benötigt wird. Wenn wir nur die Bedingung annehmen, dann erhalten wir

Insgesamt erhalten wir so . Dies reicht aus, um mit Hilfe des Majorantenkriteriums die Konvergenz zu zeigen, weil eine konvergente Reihe ist. Damit kann man allein aus für alle die Konvergenz der Reihe zeigen.

Zweite Verbesserung[Bearbeiten]

Wir können weiter verallgemeinern, indem wir nur für fast alle anstatt für alle natürlichen Zahlen fordern. Sei die erste natürliche Zahl, ab der für alle gilt. Dann ist

Insgesamt erhalten wir so . Indem man setzt, folgt die Ungleichung und somit:

Damit konvergiert die Reihe nach dem Majorantenkriterium. Es reicht also, nur für fast alle zu fordern.

Umformulierung mit Limes superior[Bearbeiten]

Die Bedingung, dass für ein festes mit und für fast alle ist, kann auch mit dem Limes superior ausgedrückt werden. Diese Bedingung gilt nämlich genau dann, wenn ist.

Einerseits folgt aus für fast alle , dass der größte Häufungspunkt, also der Limes superior, von kleiner als und damit kleiner als ist.

Sei andererseits . Dann ist für alle die Ungleichung für fast alle erfüllt. Wegen kann ein so klein gewählt werden, dass ist. Setzen wir . Dann ist zum einen und zum anderen ist für fast alle .

Zusammenfassung: Aus folgt zunächst für ein , dass für fast alle ist. Daraus folgt die Konvergenz der Reihe .

Die Sache mit der absoluten Konvergenz[Bearbeiten]

In der obigen Argumentation haben wir nur Reihen betrachtet, deren Summanden nichtnegativ sind. Was passiert mit Reihen , bei denen einige Summanden negativ sind?

Wir können obige Argumentation zumindest auf die Reihe anwenden. So können wir die absolute Konvergenz beweisen, die ja auch die normale Konvergenz der Reihe impliziert. Bei Reihen mit nichtnegativen Summanden ändert sich beim Übergang von auf nichts, da für solche Reihen die Gleichung für alle erfüllt ist. Wir können also zusammenfassen:

Ist , dann konvergiert die Reihe absolut.

Quotientenkriterium für Divergenz[Bearbeiten]

Lässt sich mit einer ähnlichen Argumentation auch die Divergenz einer Reihe beweisen? Schauen wir uns an. Wenn der Quotient im Betrag größer gleich eins ist, dann ist

Wenn also ab einem beliebigen Index für alle nachfolgenden Indizes die Ungleichung erfüllt ist, dann wächst die Folge ab dem Index monoton. Diese Folge kann keine Nullfolge sein, da sie nach dem Folgenglied monoton wächst und . Wenn aber keine Nullfolge ist, dann ist auch keine Nullfolge. Daraus folgt nach dem Trivialkriterium, dass die Reihe keine Nullfolge ist. Das Trivialkriterium besagt ja, dass wäre, wenn die Reihe konvergieren würde. Fassen wir zusammen:

Ist für fast alle erfüllt, dann ist keine Nullfolge. Die Reihe divergiert nach dem Trivialkriterium.

Das Quotientenkriterium[Bearbeiten]

Satz[Bearbeiten]

Erklärung zur Konvergenz mit dem Quotienten-Kriterium. (YouTube-Video vom Kanal Quatematik)
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Satz (Quotienten-Kriterium für Konvergenz)

Sei eine Reihe mit für alle . Wenn ist, dann ist die Reihe absolut konvergent.

Wenn für fast alle ist (also für alle für ein bestimmtes ), dann ist die Reihe divergent.

Fassen wir die obige Herleitung in einem Beweis zusammen:

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Beweis (Quotienten-Kriterium für Konvergenz)

Sei eine Reihe mit Summanden ungleich Null.

Konvergenz mit dem Quotientenkriterium:

Sei . Wir wählen nun so klein, dass ist. Wegen existiert dieses (beispielsweise kann gewählt werden). Aus den Eigenschaften des Limes superior folgt, dass für fast alle die Ungleichung erfüllt ist. Es gibt also eine natürliche Zahl , sodass für alle ist. Es folgt:

Insgesamt erhält man so . Indem man setzt, folgt die Ungleichung und somit:

Damit konvergiert die Reihe nach dem Majorantenkriterium. Dies bedeutet wiederum, dass absolut konvergiert.

Divergenz mit dem Quotientenkriterium:

Sei nun eine natürliche Zahl, sodass für fast alle . Es ist dann für alle :

Damit wächst die Folge ab dem Index monoton. ist keine Nullfolge, weil ist (wegen ). Damit ist aber auch keine Nullfolge. Aus dem Trivialkriterium für Reihen folgt, dass die Reihe divergiert.

Verschärfung mit Limes inferior[Bearbeiten]

Die gerade behandelte Voraussetzung für die Divergenz lässt sich mit Hilfe des Limes inferior verschärfen. So ist das Kriterium leichter anzuwenden. Gilt , folgt daraus für fast alle . Also divergiert die Reihe. Die umgekehrte Richtung muss nicht gelten. Aus für fast alle muss nicht folgen, da die Folge nicht zwangsläufig einen kleinsten Häufungspunkt besitzt. Es handelt sich also um eine stärkere Voraussetzung für die Divergenz der Reihe.

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Hinweis

Ist , dann gibt es ein mit für fast alle , womit die Reihe absolut konvergiert. Analog divergiert die Reihe, wenn ist.

Grenzen des Quotientenkriteriums[Bearbeiten]

Bei können wir nichts über Konvergenz bzw. Divergenz der Reihe aussagen. Es gibt nämlich sowohl konvergente als auch divergente Reihen, die diese Bedingung erfüllen. Ein Beispiel hierfür ist die divergente Reihe :

Auch die konvergente Reihe erfüllt diese Gleichung:

Wir können also aus weder folgern, dass die Reihe konvergiert, noch, dass sie divergiert. Wir müssen in einem solchen Fall ein anderes Konvergenzkriterium verwenden.

Vorgehen bei der Anwendung des Quotientenkriteriums[Bearbeiten]

Entscheidungsbaum für das Quotientenkriterium

Um das Quotientenkriterium auf eine Reihe anzuwenden, bilden wir zunächst und betrachten den Grenzwert:

  1. Ist , dann konvergiert die Reihe absolut.
  2. Ist , dann divergiert die Reihe.
  3. Ist für fast alle , dann divergiert die Reihe.
  4. Können wir keinen der drei Fälle anwenden, können wir nichts über die Konvergenz der Reihe aussagen.

Beispielaufgaben[Bearbeiten]

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Aufgabe

Untersuche die Reihe auf Konvergenz oder Divergenz.

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Wie kommt man auf den Beweis?

Zunächst bilden wir den Quotienten und betrachten dessen Grenzwert:

Damit ist , womit aus dem Quotientenkriterium folgt, dass die Reihe absolut konvergiert.

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Beweis

Die Reihe konvergiert absolut nach dem Quotientenkriterium, denn es ist

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Aufgabe

Untersuche die Reihe auf Konvergenz bzw. Divergenz.

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Wie kommt man auf den Beweis?

Wir haben . Schauen wir uns nun an

Nun ist und damit auch . Daraus folgt, dass für alle und damit insbesondere für fast alle . Aus dem Quotientenkriterium folgt, dass die Reihe divergiert.

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Beweis

Die Reihe divergiert, denn für ist

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Hinweis

Du weißt vielleicht schon, dass ist. Dementsprechend kannst du alternativ auch den Beweis darüber führen, dass . Diese Argumentation kannst du aber nur anwenden, wenn du bereits in deiner Vorlesung bewiesen hast.

Vergleich zwischen Quotienten- und Wurzelkriterium[Bearbeiten]

Das Quotientenkriterium lässt sich bei einigen Reihen wesentlich leichter anwenden als das Wurzelkriterium. Die beiden vorherigen Beispiele bestätigen dies. Das Quotientenkriterium war in beiden Fällen sehr gut anwendbar.

Wendet man hingegen das Wurzelkriterium auf die Reihe an, so erhält man die Wurzelfolge

Bei dieser ist zunächst völlig unklar, ob und wogegen sie konvergiert. Dass mit größer werdendem schnell anwächst, könnte dafür sprechen, dass eine Nullfolge vorliegt, allerdings wird dies durch das Ziehen der -ten Wurzel stark abgeschwächt. Tatsächlich lässt sich zeigen (und damit ). Das ist jedoch sehr aufwendig und wird daher hier nicht weiter ausgeführt.

Ähnlich verhält es sich bei der Reihe . Hier ist

Man kann beweisen, dass diese Folge gegen konvergiert. Das ist jedoch sehr aufwendig und erfordert zusätzliche Konvergenzkriterien, die oftmals in einer Analysis-Grundvorlesung nicht zur Verfügung stehen. In beiden Fällen ist die Lösung mit dem Quotientenkriterium einfacher.

Allerdings gibt es auch Beispiele von Reihen, die mit dem Wurzelkriterium lösbar sind und bei denen das Quotientenkriterium gar nicht anwendbar ist. Ein Beispiel dafür ist die Reihe

Das Quotientenkriterium ist hier nicht anwendbar.

Verständnisfrage: Warum?

Für die Quotientenfolge gilt

Damit ist , da die Quotientenfolge nach oben unbeschränkt ist. Andererseits gilt für unendlich viele (gerade) . Also sind die Fälle 1, 2 und 3 von weiter oben und damit das Quotientenkriterium nicht anwendbar.

Hingegen liefert das Wurzelkriterium

Damit ist und die Reihe konvergiert absolut.

Das Wurzelkriterium hat einen größeren Anwendungsbereich als das Quotientenkriterium, weil allgemein folgende Ungleichung gilt:

Hier wird offensichtlich: Ist , so ist automatisch . Ist , ist automatisch . Ist also das Quotientenkriterium anwendbar, ist immer das Wurzelkriterium anwendbar, umgekehrt jedoch nicht. Wir verzichten hier auf den etwas theoretischen und langwierigen Beweis der Ungleichung.

Vertiefung: Kriterium von Raabe[Bearbeiten]

Falls das Quotientenkriterium in obiger Form scheitert, weil beispielsweise ist, gibt es eine verschärfte Form, bei der man die Quotientenfolge genauer abschätzen muss. Sie nennt sich Kriterium von Raabe und ist nach dem Schweizer Mathematiker Joseph Ludwig Raabe benannt.

Das Kriterium von Raabe lässt sich oft nicht so leicht wie das Quotientenkriterium anwenden und wird in den Grundvorlesungen häufig nicht behandelt. Deshalb erwähnen wir es hier nur und verzichten auf eine Herleitung. Das Kriterium von Raabe lautet

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Satz (Raabe-Kriterium)

  1. Ist für fast alle mit einer Konstanten , konvergiert die Reihe absolut.
  2. Ist für fast alle , divergiert die Reihe .
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Beispiel (Raabe-Kriterium)

Sehr einfach lässt sich mit dem Raabe-Kriterium die Divergenz der harmonischen Reihe zeigen. Hier ist nämlich . Für alle gilt damit

Also divergiert die Reihe.