Komplexe Zahlen: Einleitung und Motivation – Mathe für Nicht-Freaks

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Wir befassen uns nun mit einem sehr wichtigem Thema in der Mathematik: den komplexen Zahlen. Neben der Motivation wollen wir auch die Intuition hinter den komplexen Zahlen vermitteln. Weiter werden wir auf Eigenschaften der komplexen Zahlen eingehen und die Polardar

Wir starten zu erst mit der Motivation. Dann geht es mit der formalen Definition und einigen Eigenschaften weiter. Außerdem werden wir die Polardarstellung der komplexen Zahlen erklären.

Anwendungsgebiete[Bearbeiten]

Funktionentheorie: Integrale, Drehstreckungen über Multiplikation von Zahlen(nicht über Matrix), Physik(Schwingungen)

Motivation der komplexen Zahlen[Bearbeiten]

Historische Motivation[Bearbeiten]

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To-Do:

Geschichte wird auf w:en:Complex_number#History gut dargestellt -> sollte übernommen werden

Wieso betrachten wir komplexe Zahlen? Als Motivation wird häufig das Lösen von Gleichungen wie genannt. Diese Gleichung kann durch reelle Zahlen nicht gelöst werden und deswegen definiert man die komplexen Zahlen.

Wurzel von negativen Zahlen traten geschichtlich gesehen bereits an anderen Stellen auf: Es wurde eine allgemeine Lösungsformel für kubische Gleichungen gesucht. Also für Gleichungen der Form mit . Diese Lösungsformel, die Cardano im 16. Jahrhundert entdeckt hat, benutzt aber Wurzeln negativer Zahlen. Um reelle Lösungen kubischer Gleichungen mit dieser allgemeinen Lösungsformel zu finden, braucht man Wurzeln negativer reeller Zahlen, also komplexe Zahlen.

Herleitung der imaginären Einheit[Bearbeiten]

Schon in der Schule haben wir die Zahlbereiche immer mehr erweitert. Von den natürlichen Zahlen kommen wir auf die ganzen Zahlen. Über die ganzen Zahlen führen wir die rationalen Zahlen ein und die rationalen Zahlen werden auf die reellen Zahlen erweitert. Bei jeder dieser Erweiterungen gewinnen wir etwas dazu. Einerseits kommen neue Rechenoperationen hinzu: Die Subtraktion, Division und das Wurzelziehen positiver Zahlen. Andererseits können wir immer mehr Gleichungen lösen. Mit ganzen Zahlen können wir lösen, was in den natürlichen Zahlen noch nicht geht. Die Erweiterung der ganzen Zahlen auf die rationalen Zahlen hilft uns für die Gleichung . Durch reelle Zahlen können wir dann auch lösen.

Wir betrachten nun die Gleichung . In der Schule würden wir sagen, diese Gleichung hat keine Lösung, weil wir nicht die Wurzel aus der negativen Zahl ziehen dürfen. Nehmen wir aber an, dass wir Wurzeln aus negativen Zahlen ziehen dürfen. Dann ist eine Lösung der Gleichung . Rechnen wir nun so mit den Wurzeln, wie wir es von den reellen Zahlen kennen:

.

Wir können unsere Lösung also auf eine reelle Zahl mal überführen. Mit dem Trick, den wir angewandt haben, können wir so jede Wurzel einer negativen Zahl auf eine reelle Zahl mal zurückführen. Also betrachten wir im Folgenden . Das ist eine Lösung der Gleichung bzw. .

Als nächstes betrachten wir eine Lösung der Gleichung . Das ist nun ein allgemeinerer Ansatz als oben mit . Denn wir betrachten eine beliebige Lösung der Gleichung und nicht die spezielle Lösung . Außerdem ziehen wir so nicht direkt die Wurzel aus einer negativen Zahl. Können wir nun mit Hilfe von auch die Gleichung lösen? Ja! Dafür formen wir die Gleichung zuerst um:

Eine mögliche Lösung ist also , weil eine Lösung der Gleichung ist. Dann folgt . Wir haben also auch auf diese Art eine Lösung für gefunden.

Dieses kann uns also helfen Gleichungen zu lösen. Wir nennen mit der Eigenschaft die imaginäre Einheit.

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To-Do:
  • Nennen wir das Wurzel(-1) "imaginäre Einheit". "imanginär", weil ... "Einheit", weil sie wie eine Einheit auftritt. 3i ist ähnlich zu "3 cm".

Was ist die imaginäre Einheit?[Bearbeiten]

Wir wollen uns nun weiter mit der imaginären Einheit beschäftigen. Aber wie können wir uns diese Zahl vorstellen? Die Antwort ist: kaum. Denn die Bezeichnung imaginär bedeutet, dass man sich diese Größe nur einbilden kann. Wir versuchen trotzdem, uns zu veranschaulichen.

Gehen wir zuerst einen Schritt zurück und betrachten die reellen Zahlen. Diese kann man sich auf einem Zahlenstrahl vorstellen. Die imaginäre Einheit liegt nicht auf dem Zahlenstrahl, da keine reelle Zahl ist. Wir können aber die Eigenschaft nutzen.

Wir versuchen uns nun, die Operation der Multiplikation mit zu veranschaulichen. Wenn wir eine beliebige Zahl mit multiplizieren, wird sie an der zu gespiegelt.

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To-Do:

Graphik einfügen mit Zahlenstrahl, Zahlen a, b(?) und der "gespiegelten" Zahl -1*a, -1*b

Wir betrachten den Zahlenstrahl in der -dimensionalen Ebene. Dann ist die Spiegelung der Zahl an der das Gleiche wie eine -Drehung von um den Nullpunkt.

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To-Do:

Bild\gif von der Drehung von a

Wir wissen, dass . Nach unserer Überlegung wird eine Zahl , wenn man sie mit multipliziert, um gedreht. Was passiert aber mit , wenn man es mit multipliziert?

Wir müssen uns also überlegen, wie wir eine -Drehung in zwei Stücke unterteilen können. Denn dann wissen wir, wie eine Zahl gedreht wird, wenn sie mit multipliziert wird. Wir überlegen uns, dass die Stücke gleich groß sein sollen. Dafür formen wir um: . Wir wollen, dass die -Drehung, das gleiche ist, wie zwei mal die Multiplikation mit anzuwenden. Also wird zwei mal die gleiche Operation ausgeführt. Der Winkel, um den wir bei einer Multiplikation mit drehen, muss eindeutig bestimmt sein. Deshalb dürfen die Stücke, in die wir unterteilen, nicht verschieden groß wählen. Denn dann ist nicht klar, um welchen der beiden Winkel wir drehen sollen, wenn wir mit multiplizieren. Wir unterteilen also in zwei gleich große Stücke. Dann sind die beiden Stücke je groß.

Die Multiplikation mit ist somit eine -Drehung. Wenn wir eine Zahl mit multiplizieren, wird diese um gedreht. Das heißt befindet sich auf der senkrechten Gerade zum Zahlenstrahl durch die . Damit können wir uns nun überlegen, wo liegt. Es gilt . Also entsteht durch eine -Drehung der . Die imaginäre Einheit befindet sich also senkrecht nach oben von der Null und ist um von der Null entfernt.

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To-Do:

Bild/gif der Drehung um 90° und Lage von i

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To-Do:
  • Was ist die imaginäre Einheit? Wie kann man sie sich vorstellen? (gar nicht :D - schauen wir mal... :-))
  • Gehen wir einen Schritt zurück: Wir schauen uns an, wie man sich die Multiplikation vorstellen kann und nehmen hier die Multiplikation mit -1 -> Dies ist eine Spiegelung -> dies ist eine Drehung um 180°
  • zweimal um 180° drehen -> wieder ursprünglicher Zahlenstrahl (-1*-1=1, 1x1-Drehmatrix), Frage: mit welcher Zahl k drehen wir um 90°? -> k*k=-1 muss gelten-> k=i (k kann nicht in R liegen da der um 90° gedrehte Zahlenstrahl nicht mehr in der reellen Ebene liegt)
  • i ist eine Zahl für die i^2 =-1, die sich aber nicht mit reellen Zahlen 'verechnen' lässt, sehe i als 'Einheit'
  • R vereinigt i ergibt einen Körper: die komplexen Zahlen, dann 2 Einheiten: imaginär und reell(Realteil)-> jede komplexe Zahl z=a+b*i darstellbar, a,b aus R
  • R2 isomorph zu C aber Nachteil von R2: kein Körper, bei schwierigen reellen Problemen oft eine Dimension hoch(->R2) zur Vereinfachung

Motivation[Bearbeiten]

In der Mathematik interessierte man sich schon in der Antike für die Lösbarkeit von bestimmten polynomiellen Gleichungen. Das wohl bekannteste Beispiel sind hier wohl quadratische Gleichungen, also Gleichungen der Form , für welche bereits in der Antike erste Lösungsverfahren entwickelt wurden.

Um bestimmte Gleichungen lösen zu können, muss man den betrachteten Zahlbereich immer wieder erweitern:

Die natürlichen Zahlen werden zu den ganzen Zahlen erweitert, um beliebige Differenzen berechnen zu können (also um Gleichungen wie lösen zu können). Die ganzen Zahlen werden zu den rationalen Zahlen erweitert, um beliebige Quotienten berechnen zu können (also um Gleichungen wie lösen zu können). Die reellen Zahlen als eine Vervollständigung der rationalen Zahlen liefern die Lösbarkeit von weiteren Gleichungen, beispielsweise .

Aber beispielsweise ist eine Gleichung, die auch in den reellen Zahlen noch nicht lösbar ist! Um nun auch derartige Gleichungen lösen zu können, werden die reellen Zahlen wiederum erweitert zu dem Körper der komplexen Zahlen , indem eine neue Zahl eingeführt wird, für die gilt. Es stellt sich heraus, dass in den komplexen Zahlen dann jede beliebige Polynomgleichung eine Lösung besitzt und jedes Polynom somit über in Linearfaktoren zerfällt. Diese Eigenschaft wird als algebraische Abgeschlossenheit bezeichnet.

Wozu komplexe Zahlen?[Bearbeiten]

Um zu verstehen, warum komplexe Zahlen in der Realität benötigt werden, ist es hilfreich eine passende Analogie zu betrachten. Stellen wir uns vor, wir würden noch keine rationalen Zahlen kennen. Nun haben wir folgendes Problem vorliegen:

Max möchte für Euro Leberkäsesemmeln kaufen. Eine Leberkäsesemmel kostet Euro. Wie viel Stück kann Max kaufen?

Für gewöhnlich würden wir für dieses Problem ein mathematisches Modell hernehmen. Dabei würden wir die Variable für die Anzahl der Leberkäsesemmeln einführen und die Gleichung aufstellen. Dann würden wir noch durch 2 teilen und als Antwort bekommen. Da diese Anzahl im Sachkontext keinen Sinn ergibt, würden wir das Ergebnis am Ende noch auf abrunden. Dies ist die größtmögliche Anzahl an Leberkäsesemmeln, die Max für Euro kaufen kann.

Wenn wir nun aber keine rationalen Zahlen kennen, können wir die Gleichung nicht lösen. Zum Lösen des Sachproblems müssten wir also anders vorgehen. Die einzig sinnvolle Möglichkeit wäre in diesem Fall, durch Ausprobieren verschiedener Werte auf die Lösung zu kommen. Leberkäsesemmeln kosten Euro, Stück Euro, Stück Euro und Stück Euro. Man erhält als Antwort auf die Ausgangsfrage .

Was fällt auf? Die zweite Lösungsmethode ist viel aufwendiger, da mehrere Rechenoperationen durchgeführt werden müssen, um an die Lösung zu gelangen. Es ist daher sinnvoller auf die erste Möglichkeit zurückzugreifen, eine Lösung zu berechnen und diese im Sachkontext zu interpretieren. Mit rationalen Zahlen ist es also möglich, ganzzahlige mathematische Sachprobleme effizienter zu lösen. Obwohl in der Problemstellung als auch in der Lösung nur ganze Zahlen auftauchen, ist es hilfreich, beim Lösungsweg rationale Zahlen einzusetzen.

Aus dem gleichen Grund werden in der Praxis auch komplexe Zahlen verwendet. Es gibt in den Naturwissenschaften und Technik viele „reale“ Problemstellungen mit „realen“ Lösungen, bei der es sich als nützlich erweist, beim Lösungsweg komplexe Zahlen herzunehmen. Komplexe Zahlen werden daher nicht benötigt, um die „Realität“ zu beschreiben, sondern Aufgaben aus der „realen“ Welt effizienter und einfacher zu lösen.

Geschichte[Bearbeiten]

Als vermutlich erster hat der italienische Mathematiker Gerolamo Cardano im 16. Jahrhundert Wurzeln aus negativen Zahlen verwendet, um allgemeine Lösungsformeln für kubische Gleichungen anzugeben. Damals waren derartige Zahlen noch sehr geheimnisvoll. Nach und nach wurden dann die für diese Zahlen gültigen Rechenregeln untersucht, ihr heutiger Name "komplexe Zahlen" geht auf Gauß zurück. Der Zahlkörper hat sich schließlich als unglaublich nützlich herausgestellt, vor allem in den Naturwissenschaften wie der Physik. Über die komplexen Zahlen erhält man auch einen wunderschönen Zusammenhang zwischen der Exponentialfunktion und den trigonometrischen Funktionen und .