Aufgaben zu komplexen Zahlen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Real- und Imaginärteil[Bearbeiten]

Aufgabe (Imaginär- und Realteil bestimmen)

Bestimme Realteil und Imaginärteil der folgenden komplexen Zahlen:

Lösung (Imaginär- und Realteil bestimmen)

Lösung Teilaufgabe 1:

Es ist

Damit ist und .

Lösung Teilaufgabe 2:

Es ist

Damit ist und .

Lösung Teilaufgabe 3:

Es ist

Damit ist und .

Zahlenebene[Bearbeiten]

Aufgabe

Skizziere die folgenden Mengen in der Gauß'schen Zahlenebene:

Lösung

Lösung Teilaufgabe 1:

Die Menge beschreibt alle komplexen Zahlen, die die Bedingung erfüllen. In der komplexen Zahlenebene entspricht das genau den Zahlen , deren Abstand von der Zahl höchstens beträgt. Also beschreibt einen Kreis um mit Radius . Die Kreislinie ist in der Menge eingeschlossen:

Menge M1

Lösung Teilaufgabe 2:

Für alle Elemente der Menge soll gelten. Also soll ihr Abstand vom Ursprung mindestens , jedoch höchstens betragen. Damit beschreibt die Menge einen Kreisring zwischen den Kreisen mit den Radien und , wobei die Kreislinien eingeschlossen sind:

Menge M2

Lösung Teilaufgabe 3:

Die Menge beschreibt einen Kreis um den Nullpunkt mit dem Radius :

Erster Teil von M3

Der zweite Teil der Menge beschreibt alle komplexen Zahlen, deren Realteil größer als ihr Imaginärteil ist. Nun liegen auf der Winkelhalbierenden des ersten bzw. dritten Quadranten alle Zahlen, deren Real- und Imaginärteil gleich groß sind. Rechts neben dieser Geraden liegen alle komplexe Zahlen mit größeren Real- als Imaginärteil:

Zweiter Teil der Menge M3

Schneidet man diese beiden Mengen, so erhält man folgendes Bild:

Schnitt der Mengen

Damit kann man die Menge skizzieren. Zu beachten ist, dass eine der begrenzenden Linien nur gestrichelt ist. Denn die Zahlen direkt auf der Ursprungsgerade gehören nicht zur Menge , schließlich muss der Realteil jedes Elements echt größer sein als dessen Imaginärteil:

Menge M3

Polardarstellung[Bearbeiten]

Aufgabe (In Polardarstellung umformen)

Berechne die Komplexen Zahlen und gib sie in Polardarstellung an:

Lösung (In Polardarstellung umformen)

Lösung Teilaufgabe 1:

Der Betrag ist . Wegen und ist . Damit ist . Diese Formel könnte dir auch direkt bekannt sein.

Lösung Teilaufgabe 2:

Wir haben den Betrag . Mit und liegt die Zahl im vierten Quadranten. Die Formel dafür ist . Also gilt .

Lösung Teilaufgabe 3:

Man erhält die Polardarstellung von , indem man die Polardarstellung von zunächst komplex konjugiert und dann mit multipliziert. Denn es ist:

Bei der komplexen Konjugation wird in der Polardarstellung im Exponenten durch ersetzt. Also ist .

Lösung Teilaufgabe 4:

Durch Ausmultiplizieren erhält man . Also . Mit und liegt die Zahl im zweiten Quadranten. Für den Winkel gilt dann . Dieses entspricht im Gradmaß einem Winkel von . Insgesamt ergibt sich .

Lösung Teilaufgabe 5:

Man bestimmt zunächst die Polardarstellung der drei Faktoren von :

Dann gilt

Lösung Teilaufgabe 6:

Zunächst bestimmen wir den Betrag und den Winkel von . Es ist und . Nun können wir die Polardarstellung von bestimmen: