Aufgaben zu komplexen Zahlen – Mathe für Nicht-Freaks

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Aufgaben[Bearbeiten]

Real- und Imaginärteil[Bearbeiten]

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Aufgabe (Imaginär- und Realteil bestimmen)

Bestimme Realteil und Imaginärteil der folgenden komplexen Zahlen:

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Lösung (Imaginär- und Realteil bestimmen)

  • Teilaufgabe 1

.

und .

  • Teilaufgabe 2

.

und .

  • Teilaufgabe 3

.

und .

Zahlenebene[Bearbeiten]

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Aufgabe

Skizziere die folgenden Mengen in der Gauß'schen Zahlenebene:

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Lösung

  • 1. Die Menge beschreibt alle komplexen Zahlen, die die Bedingung erfüllen. In der komplexen Zahlenebene entspricht das genau den Zahlen , deren Abstand von der Zahl höchstens 2 beträgt. Also beschreibt einen Kreis um mit Radius 2. Die Kreislinie ist in der Menge eingeschlossen.
Menge M1
  • 2. Für alle Elemente der Menge soll gelten. Also soll ihr Abstand vom Ursprung mindestens 1, jedoch höchstens 3 betragen. Damit beschreibt die Menge einen Kreisring.
Menge M2
  • 3. Die Menge beschreibt einen Kreis um die Null mit Radius 2.
Erster Teil von M3

Der zweite Teil der Menge beschreibt alle komplexen Zahlen, deren Realteil größer als ihr Imaginärteil ist. Die Winkelhalbierende des ersten bzw. dritten Quadranten beschreibt die Zahlen, für die Realteil und Imaginärteil gleich groß sind. Also besteht der zweite Teil der Menge aus allen Zahlen rechts von dieser Linie.

Zweiter Teil der Menge M3

Schneidet man diese beiden Mengen, so erhält man folgendes Bild:

Schnitt der Mengen

Damit kann man die Menge skizzieren. Zu beachten ist, dass eine der begrenzenden Linien nur gestrichelt ist. Denn die Zahlen direkt auf der Ursprungsgerade gehören nicht zur Menge , schließlich muss der Realteil jedes Elements echt größer sein als dessen Imaginärteil.

Menge M3

Polardarstellung[Bearbeiten]

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Aufgabe (In Polardarstellung umformen)

Berechne die Komplexen Zahlen und gib sie in Polardarstellung an:

  • Teilaufgabe 1 Wenn dir bekannt ist, dass ist diese Aufgabe trivial. Es lohnt sich, sich diesen Zusammenhang zu merken. Andernfalls bestimmen wir den Betrag und das Argument der komplexen Zahl:

Der Betrag ist . Da ist und ist .

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Lösung (In Polardarstellung umformen)

  • Teilaufgabe 2 Wie in der 1. Aufgabe bestimmen wir den Betrag . Mit und , liegt die Zahl im 3.Quadranten. Die Formel dafür
  • Teilaufgabe 6 Den Betrag bestimmen wir über . Den Winkel ermitteln wir mit . In der Polardarstellung sieht die Rechnung nun so aus:

. An dieser Aufgabe sieht man, dass zwar im Zweifelsfall der Winkel nicht rational ist und gerundet werden muss, aber höhere Potenzen in Polardarstellung deutlich schneller zu rechnen sind.