Aufgaben zu komplexen Zahlen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“
Real- und Imaginärteil
[Bearbeiten]Aufgabe (Imaginär- und Realteil bestimmen)
Bestimme Realteil und Imaginärteil der folgenden komplexen Zahlen:
Lösung (Imaginär- und Realteil bestimmen)
Lösung Teilaufgabe 1:
Es ist
Damit ist und .
Lösung Teilaufgabe 2:
Es ist
Damit ist und .
Lösung Teilaufgabe 3:
Es ist
Damit ist und .
Zahlenebene
[Bearbeiten]Aufgabe
Skizziere die folgenden Mengen in der Gauß'schen Zahlenebene:
Lösung
Lösung Teilaufgabe 1:
Die Menge beschreibt alle komplexen Zahlen, die die Bedingung erfüllen. In der komplexen Zahlenebene entspricht das genau den Zahlen , deren Abstand von der Zahl höchstens beträgt. Also beschreibt einen Kreis um mit Radius . Die Kreislinie ist in der Menge eingeschlossen:
Lösung Teilaufgabe 2:
Für alle Elemente der Menge soll gelten. Also soll ihr Abstand vom Ursprung mindestens , jedoch höchstens betragen. Damit beschreibt die Menge einen Kreisring zwischen den Kreisen mit den Radien und , wobei die Kreislinien eingeschlossen sind:
Lösung Teilaufgabe 3:
Die Menge beschreibt einen Kreis um den Nullpunkt mit dem Radius :
Der zweite Teil der Menge beschreibt alle komplexen Zahlen, deren Realteil größer als ihr Imaginärteil ist. Nun liegen auf der Winkelhalbierenden des ersten bzw. dritten Quadranten alle Zahlen, deren Real- und Imaginärteil gleich groß sind. Rechts neben dieser Geraden liegen alle komplexe Zahlen mit größeren Real- als Imaginärteil:
Schneidet man diese beiden Mengen, so erhält man folgendes Bild:
Damit kann man die Menge skizzieren. Zu beachten ist, dass eine der begrenzenden Linien nur gestrichelt ist. Denn die Zahlen direkt auf der Ursprungsgerade gehören nicht zur Menge , schließlich muss der Realteil jedes Elements echt größer sein als dessen Imaginärteil:
Polardarstellung
[Bearbeiten]Aufgabe (In Polardarstellung umformen)
Berechne die Komplexen Zahlen und gib sie in Polardarstellung an:
Lösung (In Polardarstellung umformen)
Lösung Teilaufgabe 1:
Der Betrag ist . Wegen und ist . Damit ist . Diese Formel könnte dir auch direkt bekannt sein.
Lösung Teilaufgabe 2:
Wir haben den Betrag . Mit und liegt die Zahl im vierten Quadranten. Die Formel dafür ist . Also gilt .
Lösung Teilaufgabe 3:
Man erhält die Polardarstellung von , indem man die Polardarstellung von zunächst komplex konjugiert und dann mit multipliziert. Denn es ist:
Bei der komplexen Konjugation wird in der Polardarstellung im Exponenten durch ersetzt. Also ist .
Lösung Teilaufgabe 4:
Durch Ausmultiplizieren erhält man . Also . Mit und liegt die Zahl im zweiten Quadranten. Für den Winkel gilt dann . Dieses entspricht im Gradmaß einem Winkel von . Insgesamt ergibt sich .
Lösung Teilaufgabe 5:
Man bestimmt zunächst die Polardarstellung der drei Faktoren von :
Dann gilt
Lösung Teilaufgabe 6:
Zunächst bestimmen wir den Betrag und den Winkel von . Es ist und . Nun können wir die Polardarstellung von bestimmen: