Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Mathe für Nicht-Freaks

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Wir haben geklärt, dass eine Reihe der Folge der Partialsummen entspricht. Eine Reihe konvergiert, wenn die Folge der Partialsummen konvergiert. Ansonsten divergiert die Reihe. Im Fall der Konvergenz entspricht auch dem Grenzwert der Partialsummenfolge.

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit der Frage, woran man erkennen kann, ob eine Reihe konvergiert oder divergiert. Zur Beantwortung dieser Frage gibt es nämlich diverse Konvergenzkriterien, die wir nun betrachten. Diese Konvergenzkriterien werden wir in den nächsten Kapiteln detaillierter besprechen.

Kriterien für Konvergenz[Bearbeiten]

Die Beweise der folgenden Sätze sind in den Hauptartikeln des jeweiligen Kriteriums behandelt. Gegeben sei eine Reihe . Es gibt folgende Kriterien, um die Konvergenz dieser Reihe festzustellen:

Absolute Konvergenz[Bearbeiten]

Hauptartikel: Absolute Konvergenz einer Reihe

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Definition (Absolute Konvergenz)

Eine Reihe heißt absolut konvergent, falls konvergiert.

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Satz (absolute Konvergenz)

Aus absoluter Konvergenz einer Reihe folgt deren normale Konvergenz. Wenn also konvergiert, dann konvergiert auch .

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Beispiel (absolute Konvergenz)

Die Reihe konvergiert, weil sie absolut konvergiert. Die Reihe ihrer Absolutbeträge konvergiert nämlich.

Cauchy-Kriterium[Bearbeiten]

Hauptartikel: Cauchy-Kriterium für Reihen

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Satz (Cauchy-Kriterium)

Gibt es für alle ein , so dass für alle ist, dann konvergiert die Reihe.

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Beispiel (Cauchy-Kriterium)

Die geometrische Reihe konvergiert nach dem Cauchy-Kriterium, denn es ist

Sei . Da ist, gibt es ein mit für alle . Für dieses ist nach der obigen Umformung auch für alle . Damit konvergiert die Reihe nach dem Cauchy-Kriterium.

Leibniz-Kriterium[Bearbeiten]

Hauptartikel: Leibniz-Kriterium

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Satz (Leibniz-Kriterium)

Wenn die Reihe die Form hat und wenn eine nichtnegative monoton fallende Nullfolge ist, dann konvergiert die Reihe.

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Beispiel (Leibniz-Kriterium)

Die Reihe konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium, weil die Folge eine monoton fallende Nullfolge ist.

Majorantenkriterium[Bearbeiten]

Hauptartikel: Majorantenkriterium und Minorantenkriterium

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Satz (Majorantenkriterium)

Sei für alle . Wenn konvergiert, dann konvergiert die Reihe absolut.

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Beispiel (Majorantenkriterium)

Es ist . Damit ist . Weil konvergiert (nämlich gegen 1), konvergiert die Reihe . Weil alle Summanden positiv sind, ist die Konvergenz absolut.

Quotientenkriterium[Bearbeiten]

Hauptartikel: Quotientenkriterium

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Satz (Quotientenkriterium für Konvergenz)

Sei eine Reihe mit für alle . Wenn es ein und ein gibt, so dass für alle ist, dann ist die Reihe absolut konvergent. Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn oder wenn ist.

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Beispiel (Quotientenkriterium für Konvergenz)

Die Reihe konvergiert, denn es ist

Wurzelkriterium[Bearbeiten]

Hauptartikel: Wurzelkriterium

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Satz (Wurzelkriterium für Konvergenz)

Wenn ist, dann konvergiert die Reihe absolut. Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn ist.

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Beispiel (Wurzelkriterium für Konvergenz)

Die Reihe konvergiert absolut, denn es ist

Verdichtungskriterium[Bearbeiten]

Hauptartikel: Cauchysches Verdichtungskriterium

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Satz (Verdichtungskriterium)

Sei eine monoton fallende reelle Nullfolge mit für alle . Falls konvergiert, so konvergiert auch .

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Beispiel (Verdichtungskriterium)

Die Reihe konvergiert nach dem Verdichtungskriterium, da die Reihe wegen konvergiert.

Integralkriterium[Bearbeiten]

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Satz (Integralkriterium)

Sei , also für eine Funktion . Wenn auf eine monoton fallende Funktion mit nichtnegativen Funktionswerten ist und wenn ist, dann konvergiert die Reihe absolut.

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Beispiel (Integralkriterium)

Die Reihe konvergiert absolut, denn mit ist eine monoton fallende Funktion mit nichtnegativen Funktionswerten, und es ist

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Hinweis

Das Integralkriterium werden wir erst beweisen, nachdem wir auch das Integral definiert haben. Der Vollständigkeit halber ist es bereits hier aufgeführt. Beachte, dass du das Integralkriterium erst dann verwenden kannst, wenn es in deiner Vorlesung bewiesen wurde!

Kriterien für Divergenz[Bearbeiten]

Gegeben sei eine Reihe . Es gibt folgende Kriterien, um die Divergenz dieser Reihe festzustellen:

Trivialkriterium[Bearbeiten]

Hauptartikel: Trivialkriterium, Nullfolgenkriterium, Divergenzkriterium

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Satz (Trivialkriterium)

Wenn divergiert oder ist, dann ist die Reihe divergent.

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Beispiel (Trivialkriterium)

Die Reihe divergiert, denn es ist

Damit kann keine Nullfolge sein, was beweist, dass divergiert.

Cauchy-Kriterium[Bearbeiten]

Hauptartikel: Cauchy-Kriterium für Reihen

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Satz (Cauchy-Kriterium)

Gibt es ein , so dass es für alle natürliche Zahlen mit gibt, dann divergiert die Reihe.

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Beispiel (Cauchy-Kriterium)

Die Reihe divergiert nach dem Cauchy-Kriterium. Setzen wir nämlich , so können für jedes die Zahlen und gewählt werden. Es ist dann

Minorantenkriterium[Bearbeiten]

Hauptartikel: Majorantenkriterium und Minorantenkriterium

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Satz (Minorantenkriterium)

Sei für alle . Wenn divergiert, dann divergiert auch die Reihe .

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Beispiel (Minorantenkriterium)

Die Reihe divergiert. Es ist nämlich für alle , und die harmonische Reihe divergiert. In einer Gleichung aufgeschrieben:

Quotientenkriterium[Bearbeiten]

Hauptartikel: Quotientenkriterium

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Satz (Quotientenkriterium für Divergenz)

Wenn für fast alle ist (also für alle für ein festes ), dann ist die Reihe divergent. Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn ist.

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Beispiel (Quotientenkriterium für Divergenz)

Die Reihe divergiert. Es ist nämlich:

Wurzelkriterium[Bearbeiten]

Hauptartikel: Wurzelkriterium

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Satz (Wurzelkriterium für Divergenz)

Wenn ist, dann divergiert die Reihe absolut. Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn ist.

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Beispiel (Wurzelkriterium für Divergenz)

Die Reihe divergiert, denn es ist

Verdichtungskriterium[Bearbeiten]

Hauptartikel: Cauchysches Verdichtungskriterium

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Satz (Verdichtungskriterium)

Sei eine monoton fallende reelle Nullfolge mit für alle . Falls divergiert, so divergiert auch .

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Beispiel (Verdichtungskriterium)

Die Reihe divergiert nach dem Verdichtungskriterium, da die Reihe divergiert.

Integral-Kriterium[Bearbeiten]

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Satz (Integral-Kriterium)

Sei , also für eine Funktion . Wenn auf eine monoton fallende Funktion mit nichtnegativen Funktionswerten ist und wenn ist, dann divergiert die Reihe.

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Beispiel (Integral-Kriterium)

Die Reihe divergiert, denn mit ist eine monoton fallende Funktion mit nichtnegativen Funktionswerten, und es ist

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Hinweis

Das Integralkriterium werden wir erst beweisen, nachdem wir auch das Integral definiert haben. Der Vollständigkeit halber ist es bereits hier aufgeführt. Beachte, dass du das Integralkriterium erst dann verwenden kannst, wenn es in deiner Vorlesung bewiesen wurde!

Anfangswert des Laufindex ist für Konvergenzverhalten egal[Bearbeiten]

Im Abschnitt zum Cauchy-Kriterium haben wir festgestellt, dass es für die Frage der Konvergenz egal ist, ab welchem Anfangswert der Laufindex startet. Wenn wir also eine Reihe der Form haben, dann können wir auch die Reihen oder betrachten. Alle diese Reihen haben dasselbe Konvergenzverhalten. Merke dir also:

„Für die Konvergenz einer Reihe können endlich viele Summanden weggelassen oder verändert werden, das Konvergenzverhalten wird dabei nicht geändert.“

Durch das Ändern von endlich vielen Summanden änderst du zwar den Wert der Reihe, das Konvergenzverhalten bleibt aber erhalten. Dieser Umstand ist nützlich, und du solltest dies immer im Hinterkopf haben. Es kann insbesondere in solchen Fällen hilfreich sein, in denen du dich nur für das Konvergenzverhalten einer Reihe interessierst, nicht aber für ihren Wert.

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Beispiel

Sei definiert durch

Fast alle Glieder der Folge sind identisch mit der Folge (es gibt nur endlich viele Ausnahmen). Da nun die Reihe konvergiert, konvergiert auch die Reihe , jedoch ist der Grenzwert beider Reihen unterschiedlich.