Cauchy-Kriterium für Reihen – Mathe für Nicht-Freaks

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Im Abschnitt zu den Grenzwerten haben wir mit dem Cauchy-Kriterium bereits eine alternative Charakterisierung der Konvergenz kennengelernt. Eine Folge ist nämlich genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchy-Folge ist. Nun ist die Konvergenz einer Reihe nichts anderes als die Konvergenz der dazugehörigen Partialsummenfolge. Damit wird die Reihenkonvergenz auf die Folgenkonvergenz zurückgeführt, sodass wir das Cauchy-Kriterium auch auf Reihen anwenden können. Man erhält so das Cauchy-Kriterium für Reihen, welches vor allem in Beweisen Anwendung findet.

Das Cauchy-Kriterium hat seinen Namen vom französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy, da er als Erster dieses Konvergenzkriterium in seinem Lehrbuch „Cours d'Analyse“ (1821) veröffentlichte[1].

Herleitung des Cauchy-Kriteriums[Bearbeiten]

Wiederholung der notwendigen Begriffe[Bearbeiten]

Cauchy-Folgen sind Folgen, deren Folgenglieder sich gegenseitig beliebig nahe kommen. Bei Cauchy-Folgen gibt es für jeden Maximalabstand ein Mindestindex , so dass ab dem Folgenglied für alle folgenden Folgenglieder und der Abstand kleiner als ist. Es gilt also für Cauchy-Folgen:

Für die Herleitung brauchen wir auch die Definition der Reihenkonvergenz: Eine Reihe konvergiert genau dann, wenn die Folge der Partialsummen

konvergiert.

Herleitung[Bearbeiten]

Sei die -te Partialsumme, also die Summe der ersten Summanden:

Gehen wir nun davon aus, dass die Reihe konvergiert. Nach Definition konvergiert dann die Folge , sodass sie das Cauchy-Kriterium für Folgen erfüllt. Wir können somit in das obige Cauchy-Kriterium für Folgen einsetzen und erhalten:

Der beliebig klein werdende Abstand kann weiter zusammengefasst werden. Gehen wir davon aus, dass ist. Dann ist

Wir sehen: Wenn eine Reihe konvergiert, dann wird die Summe von aufeinander folgenden Summanden mit beliebiger aber fixer Länge mit wachsendem Startindex des ersten Summanden beliebig klein. Bei Konvergenz der Reihe gilt also:

Hier mussten wir anstelle von nehmen, weil wir oben nur Fälle betrachtet haben.

Verschönerung der Aussageform[Bearbeiten]

Um die Aussageform etwas schöner aufschreiben zu können, setzen wir . Aus wird dann . Außerdem wird aus die Ungleichung . Wir erhalten:

Setzen wir nun :

Durch Umbenennung und erhalten wir:

Obige Aussageform gilt also, wenn die Reihe konvergiert. Diese wird Cauchy-Kriterium einer Reihe genannt.

Beweis der Rückrichtung[Bearbeiten]

Bisher haben wir gezeigt, dass eine konvergente Reihe das Cauchykriterium erfüllt. Umgekehrt konvergiert aber auch die Reihe, wenn nach obigem Cauchy-Kriterium beliebig klein wird. Gehen wir also davon aus, dass

ist und schauen wir, ob dann die Reihe zwangsweise konvergieren muss. In obiger Herleitung haben wir gesehen, dass dem Abstand für entspricht (nachdem die Variablen entsprechend umbenannt wurden). Aus dem Cauchy-Kriterium für Reihen kann man also das Cauchy-Kriterium der Partialsummenfolge mit zeigen. Jedoch fehlt uns hier das Cauchy-Kriterium der Partialsummen für den Fall . Auch für diesen Fall müssen wir zeigen, dass kleiner als ist. Es ist

Auch hier erhalten wir den Betrag einer Summe von aufeinander folgenden Summanden. Wir wissen aber aus dem Cauchy-Kriterium für Reihen, dass dieser Betrag mit wachsendem Startindex des ersten Summanden beliebig klein wird und insbesondere ab einem gewissen Startindex kleiner als ist. Insgesamt haben wir so aus dem Cauchykriterium für Reihen das Cauchykriterium der Folge bewiesen, sodass diese Folge und damit die Reihe konvergiert.

Definition des Cauchy-Kriteriums[Bearbeiten]

Fassen wir zusammen:

Dialog-information.svg
Definition (Cauchy-Kriterium für Reihen)

Eine Reihe erfüllt das Cauchy-Kriterium für Reihen, wenn gilt

Das Cauchy-Kriterium übersetzt:

Außerdem haben wir in der Herleitung bereits folgenden Satz bewiesen:

Blue pen icon.svg

Satz (Cauchy-Kriterium ist äquivalent zur Konvergenz)

Eine konvergente Reihe erfüllt das Cauchy-Kriterium, und umgekehrt besitzt jede reelle Reihe, die das Cauchy-Kriterium erfüllt, einen reellen Grenzwert.

Frage: Warum findet man in manchen Lehrbüchern die Definition des Cauchy-Kriteriums mit anstatt mit ?

Die beiden verschiedenen Definitionen stehen nicht im Widerspruch zueinander: ist äquivalent zu . Nach der Benennung erhältst du wieder die bekannte Definition mit . Die Definitionen unterscheiden sich also nur dahingehend, ob bzw. erlaubt sein soll oder nicht, die Aussage über die Konvergenz bleibt dieselbe.

In der Praxis wird das Cauchy-Kriterium nur selten eingesetzt, um die Konvergenz von konkret gegebenen Reihen zu zeigen. In solchen Fällen greift man oft auf andere Konvergenzkriterien zurück. Jedoch wird das Cauchy-Kriterium häufig in Beweisen eingesetzt. Beispielsweise kann das Trivialkriterium mit Hilfe des Cauchy-Kriteriums bewiesen werden. Außerdem kann mit diesem Kriterium gezeigt werden, dass jede absolut konvergente Reihe auch im gewöhnlichen Sinne konvergiert.

In der Herleitung hast du auch gesehen, dass das Cauchy-Kriterium für Reihen nichts anderes als das Cauchy-Kriterium für Folgen ist, nur dass dieses konkret auf die Folge der Partialsummen angewandt wurde.

Folgerung: Änderung endlich vieler Summanden ändert das Konvergenzverhalten nicht[Bearbeiten]

Aus dem Cauchy-Kriterium können wir direkt folgern, dass sich das Konvergenzverhalten einer Reihe nicht ändert, wenn der Wert von endlich vielen Summanden der Reihe geändert wird. Nimm eine Reihe , in der du endlich viele Summanden änderst. Sei nun der Summand mit maximalem Index, dessen Wert verändert wurde. Für alle ändert sich der Betrag nicht. Wenn also die Reihe das Cauchy-Kriterium erfüllt, erfüllt auch die veränderte Reihe das Cauchy-Kriterium und umgekehrt. Nun ist die Erfüllung des Cauchy-Kriteriums gleichbedeutend mit der Konvergenz der Reihe. Dies zeigt, dass das Konvergenzverhalten einer Reihe nicht geändert wird, wenn man endlich viele Summanden der Reihe ändert (der Grenzwert der Reihe kann dadurch aber schon ein anderer werden).

Beweisstruktur[Bearbeiten]

Konvergenzbeweis[Bearbeiten]

Die Definition des Cauchy-Kriteriums für eine Reihe lautet:

Aus dieser Definition lässt sich eine Struktur für Konvergenzbeweise mit dem Cauchy-Kriterium herleiten:

Sei beliebig. Wähle . Die Zahl existiert, weil … Sei beliebig. Es ist:

Obige Beweisstruktur sollte dir eine Orientierung geben, um den Beweis am Ende aufzuschreiben.

Divergenzbeweis[Bearbeiten]

Auch für Divergenzbeweise mit dem Cauchy-Kriterium gibt es eine Beweisstruktur. Hier lautet die formale Definition:

Die Beweisstruktur lautet nun:

Wir wählen . Die Zahl existiert, weil ... Sei beliebig. Wir wählen die natürlichen Zahlen und . Die natürlichen Zahlen und existieren, weil ... Es ist , weil ... Es ist:

Emblem-important.svg

Hinweis

Manchmal sind bei Konvergenz- oder Divergenzbeweisen gewisse Begründungen offensichtlich. Dann können diese weggelassen werden. Beispielsweise wird manchmal im Divergenzbeweis gewählt. Dann muss nicht bewiesen werden, dass existiert, weil die Zahl offensichtlich existiert.

Beweis finden[Bearbeiten]

Nun unterscheidet sich der Lösungsweg zum Aufstellen eines Beweises meist davon, wie der Beweis später aufgeschrieben wird. Dies ist oftmals auch bei Beweisen mit dem Cauchy-Kriterium der Fall. Deswegen möchte ich dir an dieser Stelle erklären, wie du Beweise mit dem Cauchy-Kriterium finden kannst.

Konvergenzbeweis[Bearbeiten]

Kern des Beweises der Konvergenz einer Reihe mit dem Cauchy-Kriterium ist die Ungleichungskette . Sprich: Egal wie klein vorgegeben ist, man muss eine hinreichend große Zahl finden, so dass für ist. Um diese Ungleichungskette zu finden, wird oft zunächst geschickt nach oben abgeschätzt. Man stellt also eine Ungleichungskette der folgenden Form auf:

Dabei sind Terme, die von und abhängen. Das Ziel dabei ist, die Terme mit den Abschätzungen oder Termumformungen schrittweise zu vereinfachen. Jedoch musst du darauf achten, dass du nicht zu stark abschätzt. Jeder der Terme muss nämlich kleiner als ein beliebig vorgegebenes sein, wenn nur und hinreichend groß sind. Während der Abschätzung kann man beliebige Bedingungen der Form oder vornehmen, wenn dies notwendig ist. Jedoch kann ich dir an dieser Stelle kein Allgemeinrezept dafür geben, welche Abschätzungen sinnvoll sind. Auch musst du manchmal gewisse (Rechen-)Tricks vornehmen.

Nachdem man in der Ungleichungskette die Terme ausreichend vereinfacht hat, kann man den letzten Term kleiner als setzen. Man schaut sich also die Ungleichung an. Durch Äquivalenzumformungen findet man nun Bedingungen an und , damit der Term garantiert kleiner als ist.

Als letztes muss man das wählen, indem man alle gefundenen Bedingungen an und zusammenfasst. Hier kann man zunächst alle Bedingungen der Form in umschreiben. Wegen folgt nämlich aus , dass auch ist. Wenn du nun die Bedingungen , bis hast, dann kannst du im späteren Beweis wählen. Aus folgt nämlich, dass größer oder gleich jedes der ist. Stell dir zum Beispiel vor, dass du für deine Ungleichungskette folgende Bedingungen brauchst:

Du kannst dann im Beweis wählen.

Divergenzbeweis[Bearbeiten]

Um die Divergenz einer Reihe mit dem Cauchy-Kriterium zu zeigen, muss man ein festes finden, dass die Ungleichungskette erfüllt. Im Gegensatz zum Konvergenzbeweis muss die Ungleichung jedoch für für alle gelten. Dafür schreibt man oft die ersten Summanden von aus und versucht dann, diese geeignet nach unten abzuschätzen. Dabei nutzt man aus, dass man die obere Grenze der Summe in Abhängigkeit von beliebig wählen kann (bis auf die Einschränkung ). Auf diese Weise kann man so groß werden lassen, dass egal für welches der Wert von immer größer als eine feste positive reelle Zahl ist. setzt man nun auf den Wert dieser Zahl.

Wiederum gibt es für die Abschätzungen der einzelnen Summanden und die Wahl von kein Allgemeinrezept. Oftmals reicht es jedoch schon, die Summanden jeweils auf den kleinsten Wert zu setzen, der unter ihnen auftritt und mit entsprechendem zu verwenden.

Beispielaufgaben[Bearbeiten]

Beispielaufgabe für Konvergenz [Bearbeiten]

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Aufgabe

Beweise mit Hilfe des Cauchy-Kriteriums, dass die Reihe konvergiert[2].

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Wie kommt man auf den Beweis?

Hierzu verwenden wir zwei Tricks. Zunächst beachte, dass . Außerdem verwenden wir die Gleichung . So erhalten wir

Die Summe ist eine Teleskopsumme, so dass man die Summe auflösen kann:

Insgesamt können wir so beweisen. Der rechte Term geht aber gegen Null, wenn geht. So können wir das Cauchy-Kriterium nachweisen.

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Beweis

Sei beliebig. Wähle nun so groß, dass ist. Dieses existiert, weil ist. Sei nun beliebig. Es ist:

Damit erfüllt die Reihe das Cauchy-Kriterium für Reihen und muss somit konvergieren.

Beispielaufgabe für Divergenz [Bearbeiten]

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Aufgabe

Beweise mit Hilfe des Cauchy-Kriteriums, dass die harmonische Reihe divergiert[3].

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Wie kommt man auf den Beweis?

Hier nutzen wir einen Trick. Es ist nämlich

Damit ist

Dies zeigt, dass nicht beliebig klein werden kann, sodass das Cauchy-Kriterium nicht erfüllt ist.

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Beweis

Sei beliebig (zum Beispiel ). Sei beliebig. Für gilt nun:

Es kann also kein geben, sodass kleiner als für wird. Dies zeigt, dass die Reihe das Cauchy-Kriterium für Reihen nicht erfüllt. Damit muss diese Reihe divergieren.