In diesem Kapitel wollen wir das Verdichtungskriterium oder auch Kondensationskriterium (nach Augustin Louis Cauchy) behandeln. Es bietet die Möglichkeit, die Konvergenz beziehungsweise Divergenz einer Reihe
auf die der verdichteten Reihe
zurückzuführen. Genauer besagt das Kriterium, dass die Reihe genau dann konvergiert, wenn die verdichtete Reihe konvergiert. Um das Kriterium herzuleiten, verwenden wir dieselben Ideen, die wir für die Divergenz der harmonischen Reihe
beziehungsweise die Konvergenz der verallgemeinerten harmonischen Reihe
für
benutzt haben.
Wiederholung und Herleitung des Kriteriums[Bearbeiten]
Für die Divergenz der harmonischen Reihe
hatten wir die
-te Partialsumme
nach unten wie folgt abgeschätzt:
Die Frage ist nun, inwieweit wir diese Konzepte auf eine allgemeine Reihe
mit denselben Eigenschaften wie die harmonische Reihe anwenden können. Im Wesentlichen haben wir bei der Abschätzung verwendet, dass die Glieder der harmonischen Reihe nichtnegativ und monoton fallend waren.
Sei also
eine Reihe mit nichtnegativen Gliedern und
für alle
. Dann gilt
Also haben wir
nach unten durch
abgeschätzt. Divergiert
und damit auch
, so divergiert
nach dem Minorantenkriterium. Da die Folge
eine Teilfolge der Partialsummenfolge
ist und da aus der Divergenz einer Teilfolge die Divergenz der gesamten Folge folgt, muss auch
divergieren. Über das Prinzip der Kontraposition erhält man: Konvergiert
, so konvergiert auch
.
Des Weiteren hatten wir für die Konvergenz der verallgemeinerten harmonischen Reihe
mit
die
-te Partialsumme
für
nach oben durch die konvergente geometrische Reihe
abgeschätzt. Dazu haben wir die folgende Abschätzung verwendet:
Dies versuchen wir nun wieder auf eine Reihe
mit nichtnegativen Gliedern und
für alle
zu verallgemeinern: Sei
, dann gilt
Damit haben wir
nach oben durch
abgeschätzt. Damit folgt: Konvergiert die Reihe
, so konvergiert auch die Reihe
.
Insgesamt haben wir die Äquivalenz der Konvergenz der Reihe
und der verdichteten Reihe
gezeigt. Dieses Resultat ist das Verdichtungskriterium für Reihen. Es ist durchaus nützlich, da es Beispiele von Reihen gibt, bei denen die Konvergenz beziehungsweise Divergenz der verdichteten Reihe wesentlich leichter zu bestimmen ist als bei der ursprünglichen Reihe.
Satz (Verdichtungskriterium)
Sei
eine nichtnegative und monoton fallende Folge, dann konvergiert die Reihe
genau dann, wenn die Reihe
konvergiert.
Beweis (Verdichtungskriterium)
Beweisschritt: "
"
Beweisschritt: "
"
Hinweis
Analog zu oben lässt sich auch zeigen, dass eine monoton steigende Reihe mit nichtpositiven Gliedern genau dann konvergiert, wenn ihre verdichtete Reihe konvergiert.
Warnung
Das Verdichtungskriterium wird nicht in jeder Grundvorlesung behandelt. Der Grund dafür ist, dass der Umfang der Anwendungsbeispiele nicht so groß ist wie bei den anderen Kriterien. Die Hauptanwendung ist die verallgemeinerte harmonische Reihe. Deren Konvergenz beziehungsweise Divergenz kann man jedoch auch direkt (wie wir) oder später mit Hilfe des Integralkriteriums zeigen. Verwendet das Verdichtungskriterium daher bitte nur, falls es wirklich in der Vorlesung oder Übung behandelt wurde!
Anwendungsbeispiele[Bearbeiten]
Aufgabe (Verdichtungskriterium 2)
Untersuche für
die Reihe
auf Konvergenz.
Beweis (Verdichtungskriterium 2)
Nach dem Verdichtungskriterium konvergiert die Reihe genau dann, wenn die folgende Reihe konvergiert:
Dies ist die verallgemeinerte harmonische Reihe mit konstanten Vorfaktor
. Nach dem vorherigen Beispiel ist die Reihe somit für
konvergent und für
divergent.