Cauchysches Verdichtungskriterium – Mathe für Nicht-Freaks

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In diesem Kapitel wollen wir das Verdichtungskriterium oder auch Kondensationskriterium (nach Augustin Louis Cauchy) behandeln. Es bietet die Möglichkeit, die Konvergenz beziehungsweise Divergenz einer Reihe auf die der verdichteten Reihe zurückzuführen. Genauer besagt das Kriterium, dass die Reihe genau dann konvergiert, wenn die verdichtete Reihe konvergiert. Um das Kriterium herzuleiten, verwenden wir dieselben Ideen, die wir für die Divergenz der harmonischen Reihe beziehungsweise die Konvergenz der verallgemeinerten harmonischen Reihe für benutzt haben.

Wiederholung und Herleitung des Kriteriums[Bearbeiten]

Für die Divergenz der harmonischen Reihe hatten wir die -te Partialsumme nach unten wie folgt abgeschätzt:

Die Frage ist nun, inwieweit wir diese Konzepte auf eine allgemeine Reihe mit denselben Eigenschaften wie die harmonische Reihe anwenden können. Im Wesentlichen haben wir bei der Abschätzung verwendet, dass die Glieder der harmonischen Reihe nichtnegativ und monoton fallend waren.

Sei also eine Reihe mit nichtnegativen Gliedern und für alle . Dann gilt

Also haben wir nach unten durch abgeschätzt. Divergiert und damit auch , so divergiert nach dem Minorantenkriterium. Da die Folge eine Teilfolge der Partialsummenfolge ist und da aus der Divergenz einer Teilfolge die Divergenz der gesamten Folge folgt, muss auch divergieren. Über das Prinzip der Kontraposition erhält man: Konvergiert , so konvergiert auch .

Desweiteren hatten wir für die Konvergenz der verallgemeinerten harmonischen Reihe mit die -te Partialsumme für nach oben durch die konvergente geometrische Reihe abgeschätzt. Dazu haben wir die folgende Abschätzung verwendet:

Dies versuchen wir nun wieder auf eine Reihe mit nichtnegativen Gliedern und für alle zu verallgemeinern: Sei , dann gilt

Damit haben wir nach oben durch abgeschätzt. Damit folgt: Konvergiert die Reihe , so konvergiert auch die Reihe .

Insgesamt haben wir die Äquivalenz der Konvergenz der Reihe und der verdichteten Reihe gezeigt. Dieses Resultat ist das Verdichtungskriterium für Reihen. Es ist durchaus nützlich, da es Beispiele von Reihen gibt, bei denen die Konvergenz beziehungsweise Divergenz der verdichteten Reihe wesentlich leichter zu bestimmen ist als bei der ursprünglichen Reihe.

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Satz (Verdichtungskriterium)

Sei eine nichtnegative und monoton fallende Folge, dann konvergiert die Reihe genau dann, wenn die Reihe konvergiert.

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Beweis (Verdichtungskriterium)

Beweisschritt 1: ""

Für die Teilfolge gilt

Konvergiert nun die Reihe , so konvergiert auch die Teilfolge . Mit der obigen Abschätzung konvergiert die Reihe , da sie beschränkt ist. Also konvergiert .

Beweisschritt 2: ""

Für die -te Partialsumme von gilt für :

Konvergiert nun die Reihe , so ist nach obiger Abschätzung beschränkt und konvergiert somit.

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Hinweis

Analog zu oben lässt sich auch zeigen, dass eine monoton steigende Reihe mit nichtpositiven Gliedern genau dann konvergiert, wenn ihre verdichtete Reihe konvergiert.

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Warnung

Das Verdichtungskriterium wird nicht in jeder Grundvorlesung behandelt. Der Grund dafür ist, dass der Umfang der Anwendungsbeispiele nicht so groß ist wie bei den anderen Kriterien. Die Hauptanwendung ist die verallgemeinerte harmonische Reihe. Deren Konvergenz beziehungsweise Divergenz kann man jedoch auch direkt (wie wir) oder später mit Hilfe des Integralkriteriums zeigen. Verwendet das Verdichtungskriterium daher bitte nur, falls es wirklich in der Vorlesung oder Übung behandelt wurde!

Anwendungsbeispiele[Bearbeiten]

Anwendungsbeispiel für das Cauchy Verdichtungskriterium (YouTube-Video vom YouTube-Kanal Quatematik)
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Beispiel (Verdichtungskriterium)

Das wichtigste Anwendungsbeispiel des Verdichtungskriteriums ist die verallgemeinerte harmonische Reihe für . Deren Konvergenz beziehungsweise Divergenz haben wir zwar schon direkt untersucht, der Vollständigkeit halber wollen wir aber hier noch das Verdichtungskriterium direkt anwenden. Nach diesem konvergiert die Reihe genau dann, wenn die verdichtete Reihe konvergiert. Diese lautet

Dies ist eine geometrische Reihe mit . Sie konvergiert genau dann, wenn

Nach dem Verdichtungskriterium konvergiert die verallgemeinerte harmonische Reihe genau dann, wenn ist. Sie divergiert also insbesondere für .

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Aufgabe (Verdichtungskriterium)

Untersuche für die Reihe auf Konvergenz.

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Beweis (Verdichtungskriterium)

Nach dem Verdichtungskriterium konvergiert die Reihe genau dann, wenn die folgende Reihe konvergiert:

Dies ist die verallgemeinerte harmonische Reihe mit Vorfaktor . Nach dem vorherigen Beispiel ist die Reihe somit für konvergent und für divergent.