Harmonische Reihe – Mathe für Nicht-Freaks

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Wir betrachten nun die Reihe

In der untenstehenden Grafik sind die ersten Partialsummen dieser Reihe aufgetragen.

HarmonicPartialSums

Ist die Folge der Partialsummen beschränkt? Durch die Grafik lässt sich diese Frage nicht eindeutig beantworten. Der Anstieg der Partialsummen, d.h. die Differenz zwischen und wird für größer werdende immer kleiner. Dennoch ist nicht klar, ob wir eine Zahl finden können, so dass für alle gilt .

Eine andere Frage ist, ob die Reihe konvergiert, d.h. ob die Folge der Partialsummen gegen eine reelle Zahl konvergiert. Die Folge der Partialsummen ist streng monoton steigend: Für alle gilt

Wir wissen, dass monotone Folgen genau dann konvergieren, wenn sie beschränkt sind. Also ist auch hier die entscheidende Frage, ob die Folge der Partialsummen beschränkt ist.

Wir wollen uns also zunächst eine Vermutung überlegen, ob diese Reihe konvergiert. Anschließend werden wir diese beweisen.

Vermutung, ob die harmonische Reihe konvergiert[Bearbeiten]

Partialsummen im Vergleich mit dem Logarithmus

Wir betrachten nochmal unsere Grafik. Diesmal konzentrieren wir uns auf einen anderen Aspekt: Kennen wir Funktionen von nach , die so ähnlich aussehen wie die Folge der Partialsummen der harmonischen Reihe?

Die roten Punkte sehen fast so aus wie der Logarithmus, nur verschoben. Wir sehen zwar nicht den Teil des Logarithmus für , wo für gilt . Der Teil für sieht aber sehr ähnlich aus.

Über den Logarithmus wissen wir, dass . Da die Folge der für ungefähr so aussieht wie , können wir vermuten, dass , d.h. die harmonische Reihe konvergiert nicht.

Harmonische Reihe[Bearbeiten]

Divergenz der harmonischen Reihe[Bearbeiten]

Unsere Vermutung ist, dass die harmonische Reihe divergiert. Dies wollen wir nun beweisen:

Blue pen icon.svg

Satz (Divergenz der harmonischen Reihe)

Die harmonische Reihe divergiert.

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Wie kommt man auf den Beweis? (Divergenz der harmonischen Reihe)

Die Folge ist monoton fallend. Wenn ist, ist . Dementsprechend können wir die Summanden geschickt nach unten abschätzen:

An der letzten Reihe können wir erkennen, dass die Abschätzung gegen unendlich strebt und damit divergiert. Da wir nach unten abgeschätzt haben, muss auch divergieren. Um den Beweis formal richtig zu führen, zeigen wir direkt, dass die Partialsummenfolge divergiert. Da jeweils Summanden zusammengefasst werden, betrachten wir nur die Teilfolge . Hier ist der Vorteil, dass wir alle Summanden schön zusammenfassen können.

Applications-office.svg

Beweis (Divergenz der harmonischen Reihe)

Sei beliebig. Wir betrachten die Partialsummenfolge

Damit ist

Dies zeigt, dass die Folge gegen unendlich strebt und somit divergiert. Eine Folge divergiert, wenn eine Teilfolge von ihr divergiert. Weil die Teilfolge der harmonischen Reihe divergiert, muss auch die harmonische Reihe divergieren.

In der Beispielaufgabe zur Divergenz beim Cauchy-Kriterium werden wir einen alternativen Beweis zur Divergenz der harmonischen Reihe kennenlernen.

Asymptotik[Bearbeiten]

Um die harmonische Reihe besser zu verstehen, können wir uns die folgende Frage stellen: Wie schnell wächst die harmonische Reihe eigentlich? Wir fragen also nach dem asymptotischen Verhalten der harmonischen Reihe. Mit Hilfe der Integralrechnung kann gezeigt werden, dass die harmonische Reihe so schnell wie der natürliche Logarithmus wächst. Es gilt nämlich

Es gilt sogar noch mehr: Die Differenz strebt gegen eine feste Zahl:

Diese Zahl ist die sogenannte Euler-Mascheroni-Konstante. Sie wurde zum ersten Mal vom Mathematiker Leonhard Euler 1734 verwendet[1]. Bislang konnte nicht bewiesen werden, ob diese Zahl rational oder irrational ist. Keiner weiß es!

Alternierende harmonische Reihe[Bearbeiten]

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Definition (alternierende harmonische Reihe)

Die alternierende harmonische Reihe ist die Reihe

Die alternierende harmonische Reihe ist konvergent, wie es leicht mit dem Leibniz-Kriterium nachgewiesen werden kann. Wie der Name es nämlich bereits sagt, ist diese Reihe alternierend. Der Betrag der einzelnen Summanden ist eine monoton fallende Nullfolge. Damit muss die Reihe nach dem Leibniz-Kriterium konvergieren.

Der Grenzwert der alternierenden harmonischen Reihe ist . Dies können wir aber erst beweisen, wenn wir Hilfsmittel wie die Taylorreihe kennen gelernt haben. Ich möchte dir den Beweis dennoch bereits hier vorstellen, wobei du diesen aber gerne überspringen kannst. Man startet mit der Taylorreihe von :

Man kann zeigen, dass diese Reihe für alle gegen die Funktion konvergiert. Nun setzt man und erhält als Ergebnis:

Solltest du diesen Beweis nicht verstehen, ist es nicht schlimm :). Wie gesagt: Zunächst musst du hierfür lernen, was die Taylorreihe ist.

Allgemeine harmonische Reihe[Bearbeiten]

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Definition (allgemeine harmonische Reihe)

Die allgemeine harmonische Reihe ist die Reihe

Dabei ist eine beliebige natürliche Zahl.

Für erhält man die harmonische Reihe, welche divergiert. Für erhält man die Reihe

Diese Reihe konvergiert. Das werden wir in der Beispielaufgabe zum Cauchy-Kriterium beweisen. Mit Hilfe des Majorantenkriteriums kann man nun zeigen, dass die allgemeine harmonische Reihe für alle auch konvergiert. Im Kapitel „Beschränkte Reihen und Konvergenz“ werden wir schließlich beweisen, dass die allgemeine harmonische Reihe für konvergiert.

Der Wert der allgemeinen harmonischen Reihe ist im Übrigen . Siehe hierzu den Wikipedia-Artikel „Basler Problem“, in dem diese Reihe und ihr Grenzwert detaillierter besprochen werden.