Mach mit! - Werde Autor*in in der linearen Algebra
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Dieser Abschnitt ist noch im Entstehen und noch nicht offizieller Bestandteil des Buchs. Gib der Autorin oder dem Autor Zeit, den Inhalt anzupassen!
Wir haben bereits gezeigt, dass die Exponentialfunktion
bijektiv ist. Wir definieren nun die Logarithmusfunktion
als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion.
Definition (Logarithmusfunktion)
Die Logarithmusfunktion
ist definiert als die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Es gelten also
To-Do:
Bijektivität, Monotonie und Stetigkeit[Bearbeiten]
Nach dem Satz von der Stetigkeit der Umkehrfunktion ist die Logarithmusfunktion ebenfalls bijektiv, streng monoton steigend und stetig.
Logarithmus eines Produktes[Bearbeiten]
Satz
Für alle
gilt
Beweis
Es gilt
Logarithmus einer ganzzahligen Potenz[Bearbeiten]
Satz
Für alle
und
gilt
Beweis
Sei
. Wir unterscheiden drei Fälle.
Fall 1: 
Wir wissen bereits, dass
gilt. Somit ist
Fall 2: 
Mithilfe der bereits bewiesenen Rechenregel für den Logarithmus eines Produktes erhalten wir
Die Aussage folgt also induktiv.
Fall 3: 
Aus dem zweiten Fall wissen wir schon, dass
gilt. Daher ist
Der Logarithmus und die harmonische Reihe[Bearbeiten]
Asymptotisches Wachstum der harmonischen Reihe[Bearbeiten]
Partialsummen im Vergleich mit dem Logarithmus
Wir im Kapitel über die harmonische Reihe schon gesehen, dass die Partialsummen dieser Reihe ähnlich wie der natürlichen Logarithmus
anwachsen. Tatsächlich gilt
Satz (Asymptotisches Verhalten der harmonischen Reihe)
Die Folgen
und
konvergieren gegen denselben Grenzwert. Außerdem gilt
.
Diese Zahl
ist die sogenannte Euler-Mascheroni-Konstante. Sie wurde zum ersten Mal vom Mathematiker Leonhard Euler 1734 verwendet[1]. Bislang konnte nicht bewiesen werden, ob diese Zahl rational oder irrational ist. Keiner weiß es!
Beweis (Asymptotisches Verhalten der harmonischen Reihe)
'
Beweisschritt: 
Es gilt
Beweisschritt:
konvergiert.
Beweisschritt:
konvergiert gegen denselben Grenzwert.
Beweisschritt:
.
Der Grenzwert der alternierenden harmonischen Reihe[Bearbeiten]
Mit Hilfe der Folge
können wir zeigen
Satz (Grenzwert der alternierenden harmonischen Reihe)
Es gilt
Beweis (Grenzwert der alternierenden harmonischen Reihe)
Aus dem bekannten Grenzwert für die Euler-Mascheroni-Konstante folgt für die Folge
:
Da jeder Teilfolge gegen denselben Grenzwert konvergiert, gilt ebenso
Damit folgt
Andererseits ist
Zusammen erhalten wir
Daraus folgt die Behauptung.