Die Logarithmusfunktion – Mathe für Nicht-Freaks

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Definition[Bearbeiten]

Wir haben bereits gezeigt, dass die Exponentialfunktion bijektiv ist. Wir definieren nun die Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion.

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Definition (Logarithmusfunktion)

Die Logarithmusfunktion ist definiert als die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Es gelten also

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To-Do:

Graph

Eigenschaften[Bearbeiten]

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To-Do:

Bijektivität, Monotonie und Stetigkeit[Bearbeiten]

Nach dem Satz von der Stetigkeit der Umkehrfunktion ist die Logarithmusfunktion ebenfalls bijektiv, streng monoton steigend und stetig.

Ableitung[Bearbeiten]

Rechenregeln[Bearbeiten]

Logarithmus eines Produktes[Bearbeiten]

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Satz

Für alle gilt

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Wie kommt man auf den Beweis?

Wir kennen bereits eine ähnliche Regel für die Exponentialfunktion: Für alle gilt

Diese Regel wollen wir gewissermaßen umdrehen, indem wir verwenden, dass die Logarithmusfunktion die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist. Dazu wählen wir und , also und . Dann gilt nämlich

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Beweis

Es gilt

Logarithmus einer ganzzahligen Potenz[Bearbeiten]

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Satz

Für alle und gilt

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Wie kommt man auf den Beweis?

Die Idee ist, diese Rechenregel auf die vorhin bewiesene Regel zurückzuführen, indem wir als ein Produkt aus Faktoren auffassen:

Der formale Beweis wird mittels vollständiger Induktion nach geschehen, wobei der Induktionsanfang unmittelbar aus folgt. Allerdings müssen wir beachten, dass unser auch negativ sein kann. Dies wollen wir auf den positiven Fall zurückführen, indem wir betrachten.

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Beweis

Sei . Wir unterscheiden drei Fälle.

Fall 1:

Wir wissen bereits, dass gilt. Somit ist

Fall 2:

Mithilfe der bereits bewiesenen Rechenregel für den Logarithmus eines Produktes erhalten wir

Die Aussage folgt also induktiv.

Fall 3:

Aus dem zweiten Fall wissen wir schon, dass gilt. Daher ist