Die Logarithmusfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Definition[Bearbeiten]

Wir haben bereits gezeigt, dass die Exponentialfunktion bijektiv ist. Wir definieren nun die Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion.

Definition (Logarithmusfunktion)

Die Logarithmusfunktion ist definiert als die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Es gelten also

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Graph

Eigenschaften[Bearbeiten]

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Bijektivität, Monotonie und Stetigkeit[Bearbeiten]

Nach dem Satz von der Stetigkeit der Umkehrfunktion ist die Logarithmusfunktion ebenfalls bijektiv, streng monoton steigend und stetig.

Ableitung[Bearbeiten]

Rechenregeln[Bearbeiten]

Logarithmus eines Produktes[Bearbeiten]

Satz

Für alle gilt

Wie kommt man auf den Beweis?

Wir kennen bereits eine ähnliche Regel für die Exponentialfunktion: Für alle gilt

Diese Regel wollen wir gewissermaßen umdrehen, indem wir verwenden, dass die Logarithmusfunktion die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist. Dazu wählen wir und , also und . Dann gilt nämlich

Beweis

Es gilt

Logarithmus einer ganzzahligen Potenz[Bearbeiten]

Satz

Für alle und gilt

Wie kommt man auf den Beweis?

Die Idee ist, diese Rechenregel auf die vorhin bewiesene Regel zurückzuführen, indem wir als ein Produkt aus Faktoren auffassen:

Der formale Beweis wird mittels vollständiger Induktion nach geschehen, wobei der Induktionsanfang unmittelbar aus folgt. Allerdings müssen wir beachten, dass unser auch negativ sein kann. Dies wollen wir auf den positiven Fall zurückführen, indem wir betrachten.

Beweis

Sei . Wir unterscheiden drei Fälle.

Fall 1:

Wir wissen bereits, dass gilt. Somit ist

Fall 2:

Mithilfe der bereits bewiesenen Rechenregel für den Logarithmus eines Produktes erhalten wir

Die Aussage folgt also induktiv.

Fall 3:

Aus dem zweiten Fall wissen wir schon, dass gilt. Daher ist

Der Logarithmus und die harmonische Reihe[Bearbeiten]

Asymptotisches Wachstum der harmonischen Reihe[Bearbeiten]

Partialsummen im Vergleich mit dem Logarithmus

Wir im Kapitel über die harmonische Reihe schon gesehen, dass die Partialsummen dieser Reihe ähnlich wie der natürlichen Logarithmus anwachsen. Tatsächlich gilt

Satz (Asymptotisches Verhalten der harmonischen Reihe)

Die Folgen und konvergieren gegen denselben Grenzwert. Außerdem gilt .

Diese Zahl ist die sogenannte Euler-Mascheroni-Konstante. Sie wurde zum ersten Mal vom Mathematiker Leonhard Euler 1734 verwendet[1]. Bislang konnte nicht bewiesen werden, ob diese Zahl rational oder irrational ist. Keiner weiß es!

Beweis (Asymptotisches Verhalten der harmonischen Reihe)

'

Beweisschritt:

Es gilt

Beweisschritt: konvergiert.

Es gilt Mit der -Ungleichung gilt zunächst

Damit sind alle Summanden der Reihe nicht-negativ, und somit monoton steigend.

Weiter gilt erneut mit der -Ungleichung:

Damit ist

Also ist nach oben beschränkt. Nach dem Monotoniekriterium konvergiert . Mit der Monotonieregel für Grenzwerte gilt für den Limes mit dem eben Gezeigten:

Beweisschritt: konvergiert gegen denselben Grenzwert.

Wir haben gerade gezeigt . Ist , so gilt weiter

Mit den Grenzwertsätzen folgt damit

Also konvergiert ebenfalls gegen .

Beweisschritt: .

Aus und folgt:

Nun ist

Damit folgt nun

Der Grenzwert der alternierenden harmonischen Reihe[Bearbeiten]

Mit Hilfe der Folge können wir zeigen

Satz (Grenzwert der alternierenden harmonischen Reihe)

Es gilt

Beweis (Grenzwert der alternierenden harmonischen Reihe)

Aus dem bekannten Grenzwert für die Euler-Mascheroni-Konstante folgt für die Folge :

Da jeder Teilfolge gegen denselben Grenzwert konvergiert, gilt ebenso

Damit folgt

Andererseits ist

Zusammen erhalten wir

Daraus folgt die Behauptung.