Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Eine Ungleichung[Bearbeiten]

Graph der Exponentialfunktion und der Geraden .

Satz

Sei . Dann gilt .

Beweis

Wir betrachten zwei Fälle.

Fall 1:

Sei also . Es gilt die Bernoulli-Ungleichung, d.h. für alle und gilt

Es gilt wegen , dass für alle . Wir setzen nun . Es folgt

Also:

Fall 2:

Sei nun . Dann gibt es ein , so dass für alle gilt, dass und somit . Damit gilt auch . Folglich ist

Da gilt .

Ein nützlicher Grenzwert[Bearbeiten]

Nun betrachten wir den Grenzwert . Dieser ist an vielen Stellen nützlich zum Beispiel bei der Berechnung der Ableitung der e-Funktion.

Um den Grenzwert zu beweisen, brauchen wir zuerst eine Abschätzung:

Satz (Restgliedabschätzung der Exponentialfunktion)

Sei mit und , dann gilt

Beweis (Restgliedabschätzung der Exponentialfunktion)

Es gilt wegen der Definition der Exponentialfunktion

Mit dieser Abschätzung können wir nun unseren Grenzwert beweisen:

Satz

Es gilt . Hierbei ist in den komplexen Zahlen gemeint.

Beweis

Wir haben vorher gesehen, dass für alle und für alle mit gilt

Benutzen wir jetzt , dann folgt für alle mit

Sei nun eine Folge in mit und für alle . Dann gibt es ein , so dass für alle gilt . Also folgt für alle , dass

Somit gilt auch, da ,

Nach dem Sandwich-Theorem gilt dann .

Da unsere Folge beliebig gewählt war gilt also

Qsicon inArbeit.png
To-Do:
  • wie kommt man auf den Beweis

Funktionalgleichung[Bearbeiten]

In diesem Abschnitt zeigen wir den folgenden

Satz

Für alle gilt:

Wie kommt man auf den Beweis?

Dazu benutzen wir die Reihendarstellung der Exponentialfunktion. Die linke Seite ist:

Und die rechte Seite ist

Das ist genau das Cauchy-Produkt von . Dazu müssen wir wissen, dass die Reihe bzw. absolut konvergiert.

Für alle gilt

und das ist, wie bereits gezeigt, eine reelle Zahl. Also konvergieren die Reihen absolut und damit folgt

Beweis

Zunächst bemerken wir, dass die Reihe für alle absolut konvergiert. Denn

und die Exponentialfunktion ist wohldefiniert. Es gilt:

Positivität[Bearbeiten]

Satz

Sei . Dann gilt .

Beweis

Wir betrachten zwei Fälle.

Fall 1:

Sei . Dann gilt .

Fall 2:

Sei nun . Nach der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion gilt

Aus dem ersten Fall wissen wir schon, dass gilt, denn . Es folgt also .

Monotonie[Bearbeiten]

Satz

Die Exponentialfunktion ist streng monoton steigend.

Beweis

Seien mit . Dann können wir mit schreiben. Aus dem vorher bewiesenen Satz bekommen wir also . Dann folgt mit der Funktionalgleichung:

Stetigkeit der Exponentialfunktion[Bearbeiten]

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Diesen Teilabschnitt eventuell verschieben, da die Stetigkeit der Exponentialfunktion vor dem Kapitel zur Stetigkeit bewiesen wird.

In diesem Kapitel beweisen wir die Stetigkeit der Exponentialfunktion

Dazu zeigen wir zunächst, dass die Funktion an der Stelle stetig ist. Anschließend beweisen wir die Stetigkeit in allen . Dabei benutzen wir die Stetigkeit in und die Regel für alle .

Satz

Die Exponentialfunktion ist stetig in .

Wie kommt man auf den Beweis?

Wir müssen also zeigen, dass es für ein gegebenes ein gibt, so dass für alle mit gilt

Für alle gilt:

In einem vorherigen Satz haben wir folgende nützliche Abschätzung für alle mit bewiesen:

In unserem Fall gilt somit für alle mit , dass

Folglich können wir so wählen, dass für alle mit die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

  1. , d.h.
  2. , d.h.

Also setzen wir .

Beweis

Sei . Setze . Dann gilt für alle mit , dass

Also ist in stetig.

Satz

Die Exponentialfunktion ist stetig.

Wie kommt man auf den Beweis?

Sei beliebig. Sei eine komplexwertige Folge, die gegen konvergiert, d.h. .

Wir können nun die Folge betrachten, wobei wir für alle definieren: . Wegen konvergiert die Folge gegen .

Wir wissen bereits, dass die Exponentialfunktion stetig in ist. Also:

Wir gehen nun zurück zu unserer Folge . Wir wollen zeigen, dass

Für alle gilt

Also:

Folglich ist stetig in . Da beliebig gewählt war, ist stetig.

Beweis

Sei und eine Folge in , die gegen konvergiert. Dann gilt

Somit ist die Exponentialfunktion stetig.

Bijektivität[Bearbeiten]

Wir haben schon gesehen, dass wir die Exponentialfunktion aufgrund der Positivität als eine Funktion in die positiven reellen Zahlen auffassen können. Wir beweisen jetzt die Bijektivität dieser Funktion.

Satz

Die Exponentialfunktion ist bijektiv.

Beweis

Weil die Exponentialfunktion streng monoton steigend ist, ist sie insbesondere injektiv. Es bleibt noch die Surjektivität zu zeigen. Sei dazu ein gegeben. Wir unterscheiden zwei Fälle:

Fall 1:

Es gilt . Nach dem Zwischenwertsatz gibt es also ein mit .

Fall 2:

Nach dem ersten Fall finden wir ein mit . Somit gilt .

Äquivalenz der Reihen- und Folgendarstellung für komplexe Argumente[Bearbeiten]

Wir haben schon gezeigt, dass für alle folgende Gleichung gilt:

Mit den Mitteln, die wir in diesem Kapitel erarbeitet haben, können wir nun einen anderen Beweis für diese Gleichung angeben. Für den Beweis nutzen wir die Funktionalgleichung, die Monotonie der Exponentialfunktion für reelle Argumente und den Grenzwert .

Satz (Äquivalenz der Reihen- und Folgendarstellung für komplexe Argumente)

Für alle gilt

Damit zeigen wir dann auch insbesondere, dass der Grenzwert für alle existiert. Denn wir haben bereits gezeigt, dass .

Zusammenfassung des Beweises (Äquivalenz der Reihen- und Folgendarstellung für komplexe Argumente)

Sei . Wir schreiben zunächst für alle

Anschließend zeigen wir, dass man schreiben kann als , wobei . Außerderdem gilt . Folglich ist

Wie kommt man auf den Beweis? (Äquivalenz der Reihen- und Folgendarstellung für komplexe Argumente)

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To-Do:

Herausfinden, wie man auf diesen Beweis kommt

Beweis (Äquivalenz der Reihen- und Folgendarstellung für komplexe Argumente)

Im Beweis sei für alle der Ausdruck . Sei . Dann gilt für alle , dass

Weiter gilt

Wir haben bereits bewiesen, dass . Wegen folgt somit .

Als nächstes beweisen wir zwei Abschätzungen, die wir in unserer späteren Rechnung brauchen werden.

1. Ungleichung

2. Ungleichung

Somit gilt

Nun können wir alle Teile zusammensetzen.

Damit haben wir gezeigt, dass für alle gilt, dass

Ableitung[Bearbeiten]