Potenzen mit reellen Exponenten – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Aus Wikibooks
Zur Navigation springen Zur Suche springen
UnderCon icon.svg

Diese Seite ist noch im Entstehen und noch nicht offizieller Bestandteil des Buchs. Gib dem Autor Zeit, die Seite anzupassen!

Potenzen mit beliebiger Basis[Bearbeiten]

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Einleitung

Definition (Potenz)

Sei und . Dann definieren wir

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Übereinstimmung mit Definition für rationale Exponenten beweisen

Satz

Sei und . Dann gilt

Wie kommt man auf den Beweis?

Wir schreiben mit und . Die Potenz haben wir definiert als . Die -te Wurzel ist als Umkehrfunktion der Funktion definiert. Wenn wir zeigen wollen, dass die -te Wurzel aus ist, ist also zu überprüfen, ob

gilt. Dazu verwenden wir die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion und erhalten

Genauso können wir umgekehrt den Faktor im Argument der Exponentialfunktion in eine Potenz umwandeln:

Im letzten Schritt kam uns gelegen, dass die Umkehrfunktion von ist.

Beweis

Sei mit und . Es gilt

Nach Definition der -ten Wurzel gilt also

Logarithmus zu beliebiger Basis[Bearbeiten]