Potenzen mit reellen Exponenten – Mathe für Nicht-Freaks

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Potenzen mit beliebiger Basis[Bearbeiten]

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To-Do:

Einleitung

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Definition (Potenz)

Sei und . Dann definieren wir

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To-Do:

Übereinstimmung mit Definition für rationale Exponenten beweisen

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Satz

Sei und . Dann gilt

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Wie kommt man auf den Beweis?

Wir schreiben mit und . Die Potenz haben wir definiert als . Die -te Wurzel ist als Umkehrfunktion der Funktion definiert. Wenn wir zeigen wollen, dass die -te Wurzel aus ist, ist also zu überprüfen, ob

gilt. Dazu verwenden wir die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion und erhalten

Genauso können wir umgekehrt den Faktor im Argument der Exponentialfunktion in eine Potenz umwandeln:

Im letzten Schritt kam uns gelegen, dass die Umkehrfunktion von ist.

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Beweis

Sei mit und . Es gilt

Nach Definition der -ten Wurzel gilt also

Logarithmus zu beliebiger Basis[Bearbeiten]