Exponential- und Logarithmusfunktion in den komplexen Zahlen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Exponentialfunktion in den komplexen Zahlen[Bearbeiten]

Wir haben die Exponentialfunktion für komplexe Eingabewerte definiert. Jedoch haben wir sie bisher nur für reelle Eingabewerte genauer untersucht. Das Ziel dieses Abschnitts ist daher die Untersuchung der komplexen Exponentialfunktion.

Sei eine komplexe Zahl mit . Die Funktionalgleichung erlaubt es uns, zu schreiben.

Der erste Faktor, , ist eine positive reelle Zahl. Es scheint zunächst nicht klar, wie der Faktor zu interpretieren ist.

Eulersche Formel[Bearbeiten]

Wir leiten in diesem Abschnitt die Eulersche Formel her. Sie besagt, dass für alle reellen Zahlen folgende Gleichung erfüllt ist: .

Wir können so den Betrag von für berechnen:

Das ist aber nicht der Grund, weshalb diese Gleichung so wichtig ist. Dieses Ergebnis hätten wir auch anders erhalten können:

Euler's formula

Die Bedeutung der Eulerschen Formel liegt darin, dass sie explizit den Real- und Imaginärteil der Zahl angibt, die wir besser verstehen wollen. So können wir leicht in der Gaußschen Zahlenebene einzeichnen.

Für alle liegt auf dem Einheitskreis in der Gaußschen Zahlenebene.

In dieser Animation kann man sehen, wie sich der Punkt auf dem Einheitskreis mit wachsendem bewegt.

F(t)=exp(it)

Als Nächstes beweisen wir die Eulersche Formel.

Satz (Eulersche Formel)

Für alle gilt .

Wie kommt man auf den Beweis? (Eulersche Formel)

Wir benutzen die Reihenentwicklung der Sinusfunktion und der Kosinusfunktion, um die rechte Seite der Gleichung aufzuschreiben.

Wir müssen also geschickt umformen, um dieses Ergebnis zu erhalten.

In der obigen Rechnung haben wir ohne darüber nachzudenken, ob das erlaubt ist, die Reihenglieder umgeordnet. Das ist kein Problem, da die Reihe der Exponentialfunktion, und die Reihe der Sinus- und Kosinusfunktion absolut konvergieren. Somit können wir den Riemannschen Umordnungssatz anwenden und die Reihenfolge der Reihenglieder nach Belieben ändern.

Beweis (Eulersche Formel)

Sei . Die Reihen von und konvergieren absolut. Also können wir den Riemannschen Umordnungssatz anwenden und die Reihenglieder beliebig anordnen. Es gilt damit

Polarkoordinaten für komplexe Zahlen[Bearbeiten]

Eine komplexe Zahl in der Gaußschen Zahlenebene kann man auffassen als Punkt im mit den Koordinaten . Die Zahl kann man auch anders beschreiben: Sie liegt auf dem Kreis mit dem Radius um den Ursprung und die Verbindungslinie zwischen der Zahl in der Gaußschen Zahlenebene und dem Ursprung schließt mit der Halbgerade der positiven reellen Achse einen Winkel ein. Durch und ist die Zahl eindeutig bestimmt.

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Bild einer komplexen Zahl , die durch bestimmt ist,

Die Eulersche Formel besagt, dass für alle reellen Zahlen folgende Gleichung erfüllt ist: . Die Zahl entspricht der komplexen Zahl auf dem Einheitskreis mit Winkel zur positiven reellen Achse. Multiplizieren wir diese Zahl mit einer Zahl , so erhalten wir . Das ist genau die komplexe Zahl , die wir oben durch und beschrieben haben.

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Gleiches Bild wie vorher, nur beschriftet mit , dem Winkel , Radius und und für Real- und Imaginärteil

Ist eine komplexe Zahl in Polarkoordinaten gegeben, also , so können wir diese leicht in die Darstellung in kartesischen Koordinaten () umrechnen:

Sei umgekehrt eine komplexe Zahl in kartesischen Koordinaten gegeben, d.h. . Wie können wir diese in Polarkoordinaten darstellen?

Den Betrag der Zahl zu berechnen ist einfach: . Schwieriger ist hingegen der Winkel . Wir müssen eine reelle Zahl suchen, für die und gilt. Für einfache Beispiele, ist es oft am leichtesten eine Skizze zu machen und anhand der Skizze den Winkel zu bestimmen. Man kann auch mit folgender Formel berechnen:

Grafische Darstellung[Bearbeiten]

Logarithmusfunktion in den komplexen Zahlen[Bearbeiten]