Aufgaben zur Exponential- und Logarithmusfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Wertebereich der Exponentialfunktion[Bearbeiten]

Aufgabe

Zeige, dass

Man soll zeigen, dass für alle gilt .

Wie kommt man auf den Beweis?

Wir haben bereits gezeigt, dass für alle gilt . Wir versuchen dies nun auf die komplexen Zahlen zu erweitern. Wir betrachten eine beliebige komplexe Zahl mit , wobei und reelle Zahlen sind.

Frage: Wie können wir schreiben, indem wir und verwenden?

Mit der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion folgt, dass

Da , ist genau dann, wenn . Ein guter Trick, um zu zeigen, dass eine Zahl ungleich ist, ist zu zeigen, dass ihr Betrag (oder das Quadrat des Betrages) nicht ist.

Frage: Was ist ?

Nach den Rechenregeln für komplexe Zahlen gilt

Also ist und damit folgt die Behauptung.

Beweis

Wir wissen schon, dass für alle gilt, dass . Zudem gilt für alle , dass . Folglich gilt für alle , dass .

Sei nun beliebig. Dann gibt es , mit . Es folgt .