Grenzwertsätze: Grenzwert von Folgen berechnen – Mathe für Nicht-Freaks

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Epsilon-Beweise für Grenzwerte können sehr aufwendig werden. In diesem Kapitel behandeln wir einige Sätze, die die Bestimmung von Grenzwerten vereinfachen.

Die Grenzwertsätze[Bearbeiten]

Die Grenzwertsätze für konvergente Folgen lauten:

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Satz (Grenzwertsätze)

Seien und zwei konvergente Folgen mit und . Sei außerdem beliebig. Es gilt

  • für alle

Wenn außerdem und für alle ist, dann gilt auch

Für und für alle gilt:

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Warnung

Diese Regeln gelten nur, wenn alle Teilfolgen, die in den Grenzwertregeln vorkommen, konvergieren. Wenn auch nur eine dieser Folgen divergiert, können wir den Satz nicht anwenden.

Wir müssen außerdem beachten, dass und keine reellen Zahlen sind und damit auch keine gültigen Grenzwerte. Wenn also beispielsweise ist, dann divergiert und wir können keinen der Grenzwertsätze anwenden.

Monotonieregel: Grenzwerte abschätzen[Bearbeiten]

Außerdem gilt die Monotonieregel, die wir zum Abschätzen der Grenzwerte verwenden können:

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Satz (Monotonieregel)

Seien und zwei konvergente Folgen. Wenn für fast alle ist, dann gilt die Ungleichung:

Beispiel: Grenzwert einer Folge berechnen[Bearbeiten]

Betrachten wir die Folge

Ein Beweis mit -Umgebung zur Bestimmung der Konvergenz wäre sehr kompliziert. Zum Glück erkennen wir in der Folgendefinition viele Folgen, deren Konvergenzverhalten wir bereits kennen. So ist zum Beispiel . Durch schrittweise Anwendung der Grenzwertsätze können wir den Grenzwert bestimmen:

So können wir zeigen, dass konvergiert und den Grenzwert besitzt. Diese Herleitung hat aber einen Haken: Wir benutzen die Grenzwertsätze, bevor wir die Konvergenz der einzelnen Folgen gezeigt haben. Dass diese Folgen konvergieren, ergibt sich erst im Argumentationsverlauf, nachdem wir die Grenzwertsätze schon verwendet haben. Deswegen ist diese Herleitung kein gültiger Beweis. Ein gültiger Beweis ist zum Beispiel folgender:

Wir beginnen mit der Konvergenz der Folgen, deren Konvergenzverhalten wir kennen. Durch schrittweise Anwendung der Grenzwertsätze in umgekehrter Reihenfolge leiten wir dann die Konvergenz der betrachteten Folge und ihren Grenzwert her. Beim Zeichen handelt es sich um die Konjunktion, die man als „und“ lesen kann.

Den Beweis so aufzuschreiben ist aber aufwendig und macht keinen Spaß. Meist zeigen wir diese Aussagen wie die Beweisskizze oben. Wir wenden einfach die Grenzwertsätze an, obwohl wir nicht wissen, ob die Folgen konvergieren. Wir müssen aber im Nachhinein anmerken, dass wir die Grenzwertsätze anwenden durften. Das gilt, weil am Ende alles konvergiert. Weil bei den letzten Schritten alles funktioniert, durften wie die Schritte davor machen. Wenn wir den Beweis also durch direkte Anwendung der Grenzwertsätze zeigen wollen, müssen wir noch erklären, dass wir diese Sätze benutzen durften.

Probleme mit divergenten Folgen[Bearbeiten]

Die Grenzwertsätze dürfen nicht benutzt werden, wenn eine der Teilfolgen divergiert. Durch falsche Anwendung der Grenzwertsätze, können schnell Fehler auftreten:

Frage: Wo liegt der Fehler in der obigen Herleitung?

ist keine reelle Zahl und damit divergiert die Folge wegen . Schließlich konvergiert eine Folge nur, wenn ihr Grenzwert eine reelle Zahl ist. Der Produktsatz darf deswegen nicht angewandt werden.

Dieses Beispiel zeigt, warum die Grenzwertsätze nicht verwendet werden dürfen, wenn eine der Subfolgen gegen oder divergiert.

Beweise der Grenzwertsätze[Bearbeiten]

Die Betragsregel[Bearbeiten]

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Satz (Grenzwertregel mit Absolutbetrag)

Sei eine konvergente Folge mit dem Grenzwert . Dann ist .

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Wie kommt man auf den Beweis? (Grenzwertregel mit Absolutbetrag)

Aus folgt, dass beliebig klein wird. Wir müssen zeigen, dass auch beliebig klein wird. Im Kapitel zum Betrag haben wir folgende Ungleichung bewiesen

Damit ist

Wenn kleiner als ist, dann ist es somit auch . Dies können wir für den Beweis der Konvergenz nutzen. Sei . Wir müssen nun ein finden, sodass für alle ist. Wegen wissen wir, dass es ein gibt, sodass für alle gilt.

Wie wir gesehen haben, folgt aus die Ungleichung . Damit können wir im Beweis setzen. Da nämlich für alle ist, folgt daraus auch für alle .

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Beweis (Grenzwertregel mit Absolutbetrag)

Sei beliebig. Weil gegen konvergiert, gibt es ein mit für alle . Sei nun beliebig. Wegen der umgekehrten Dreiecksungleichung folgt

Umkehrung der Betragsregel bei Nullfolgen[Bearbeiten]

Ist eine Nullfolge, so gilt auch die Umkehrung der Betragsregel. Aus folgt :

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Satz

Sei eine Folge. Wenn ist, konvergiert die Folge gegen Null. Es ist dann .

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Beweis

Wegen folgt die Aussage

Zu jedem gibt es ein mit für alle .

Nun ist . Damit gilt auch folgende Aussage

Zu jedem gibt es ein mit für alle .

Dies ist gleichbedeutend mit .

Die Betragsregel kann nur bei Nullfolgen umgekehrt werden. Für allgemeine Folgen geht dies nicht. Für die divergente Folge ist beispielsweise . Hier ist und .

Die Summenregel[Bearbeiten]

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Satz (Grenzwertsatz für Summen)

Sei eine konvergente Folge mit Grenzwert und eine konvergente Folge mit Grenzwert . Dann konvergiert auch die Folge mit .

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Wie kommt man auf den Beweis? (Grenzwertsatz für Summen)

Wir müssen zeigen, dass der Betrag beliebig klein wird. Wir können verwenden, dass die Beträge und beliebig klein werden. Deswegen sollten wir eine Abschätzung von nach oben finden, bei der die Beträge oder vorkommen. Hier gibt es einen Trick: Wir schreiben den Term geschickt um und verwenden dann die Dreiecksungleichung

Weil und beliebig klein werden, sollte auch ihre Summe beliebig klein werden. Somit sollte unsere Abschätzung ausreichen. Jedoch müssen wir noch einen Epsilon-Beweis für unsere Vermutung formulieren. Auch hier können wir einen Trick verwenden: In der Summe haben wir zwei Beträge und jeden schätzen wir gegen ab. Wenn nämlich und ist, dann ist

Wir wissen, dass es ein mit für alle gibt. Analog existiert ein mit für alle . Für unseren Beweis brauchen wir gleichzeitig und . Also sollte gleichzeitig und gelten. Unser Ziel ist es, ein zu finden, sodass aus sowohl als auch folgt. Eine Möglichkeit ist, zu wählen. Aus folgt nämlich und .

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Beweis (Grenzwertsatz für Summen)

Sei beliebig. Es gibt ein mit für alle , weil ist. Außerdem gibt es wegen ein mit für alle . Wir wählen . Sei beliebig. Es ist

Die Faktorregel[Bearbeiten]

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Satz (Faktorregel für Grenzwerte)

Sei beliebig und eine konvergente Folge mit Grenzwert . Dann konvergiert auch die Folge mit .

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Wie kommt man auf den Beweis? (Faktorregel für Grenzwerte)

Um zu beweisen, müssen wir für fast alle zeigen. Formen wir diese Ungleichung um:

Wir können nicht pauschal durch teilen, weil auch Null sein könnte. Jedoch ist der Fall einfach zu zeigen. Hier müssen wir beweisen, dass ist. Da ist, folgt , was zu zeigen war. Schauen wir uns den Fall an:

Weil gegen konvergiert, gibt es ein , sodass für alle ist.

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Beweis (Faktorregel für Grenzwerte)

Sei beliebig. Sei außerdem und eine konvergente Folge mit Grenzwert .

Fall 1:

Es ist und damit

Fall 2:

Wähle so, dass für alle ist. Ein solches existiert, weil gegen konvergiert. Es ist dann

Dies beweist, dass ist.

Die Produktregel[Bearbeiten]

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Satz (Produktregel für Grenzwerte)

Sei eine konvergente Folge mit Grenzwert und eine konvergente Folge mit Grenzwert . Dann konvergiert auch die Folge mit .

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Beweis (Produktregel für Grenzwerte)

Sei beliebig.

Wir müssen beweisen, dass für alle gilt, wobei wir in Abhängigkeit von geschickt wählen müssen. Dabei können wir verwenden, dass und beliebig klein werden, weil die Folgen gegen und gegen konvergieren. Um dies nutzen zu können, müssen wir geschickt umformen und so nach oben abschätzen, dass wir die Beträge und erhalten. Hierzu verwenden wir einen Trick, der für diese Art von Beweis typisch ist. Wir addieren den Term , welcher gleich Null ist:

Wenn wir also für alle zeigen können, dass beide Summanden kleiner als sind, dann sind wir fertig.

Abschätzung des zweiten Summanden

Beim zweiten Summanden ist das leicht: Die Folge konvergiert gegen und nach der Faktorregel mit gilt . Damit gilt nach der Summenregel, d.h. es gibt ein so, dass für alle gilt .

Abschätzung des ersten Summanden

Auch beim ersten Summanden wäre es schön, wenn wir die Faktorregel anwenden können. Das Problem ist nur, dass von abhängt und folglich kein Kandidat für das aus der Faktorregel ist.

Wir haben in einem vorherigen Kapitel bewiesen, dass konvergente Folgen beschränkt sind. Diesen Satz können wir hier auf die Folge anwenden: Sei so dass für alle .

Dann gilt für alle , dass und genauso wie für den zweiten Summanden liefert uns die Faktorregel mit (beachte, dass im Gegensatz zu nicht von abhängt) ein mit für alle . Also gilt für alle die folgende Ungleichung: .

Zusammenfassung

Wir brauchen nur noch ein passend gewähltes . Für alle muss die Bedingung und erfüllt sein, damit beide Abschätzungen gültig sind. Daher wählen wir . Dieses hängt nur von ab, da und nur von abhängen.

Für alle gilt nun

Die Potenzregel[Bearbeiten]

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Satz (Grenzwertsatz für Potenzen)

Sei eine konvergente Folge mit Grenzwert . Sei eine beliebige natürliche Zahl. Dann konvergiert die Folge mit .

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Wie kommt man auf den Beweis? (Grenzwertsatz für Potenzen)

Die Potenzregel ist eine Folgerung der Produktregel. So können wir für die Folge zeigen:

Durch -fach Anwendung erhalten wir:

Nun werden die „Pünktchen“-Beweise in der Analysis nicht als formal saubere Beweise angesehen. Deswegen führen wir den Beweis über vollständige Induktion über .

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Beweis (Grenzwertsatz für Potenzen)

Dieser Satz folgt aus der Produktregel mithilfe eines Induktionsbeweises.

Aussageform, deren Allgemeingültigkeit für bewiesen werden soll:

1. Induktionsanfang:

2. Induktionsschritt:

2a. Induktionsvoraussetzung:

2b. Induktionsbehauptung:

2c. Beweis des Induktionsschritts:

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Beispiel (Beispiel zur Potenzregel)

Für alle können wir beweisen, dass die Folge gegen konvergiert:

Die Quotientenregel [Bearbeiten]

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Satz (Quotientenregel für Grenzwerte)

Sei eine konvergente Folge mit Grenzwert und sei eine konvergente Folge mit Grenzwert sowie für alle . Dann konvergiert die Folge mit .

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Wie kommt man auf den Beweis? (Quotientenregel für Grenzwerte)

Es genügt zu zeigen, dass ist, denn aus der Produktregel folgt

Für den Beweis müssen wir zeigen, dass beliebig klein wird. Dabei können wir verwenden, dass beliebig klein wird, weil gegen konvergiert. Dazu formen wir geschickt um:

Nun können wir kontrollieren, d.h. beliebig klein machen. Das im Nenner stört uns nicht weiter, da es konstant ist. Wir müssen uns also nur noch um im Nenner kümmern. Da wir beliebig klein machen können, reicht es, wenn wir nach oben durch eine Konstante abschätzen. Dazu müssen wir nach unten abschätzen.

Um nach unten abzuschätzen, verwenden wir nun die Voraussetzung, dass ist. Daher gibt es ein , so dass ab diesem Index alle Folgenglieder von die Ungleichung erfüllen. Also gilt für alle . Für den gesamten Ausdruck erhalten wir damit

Diesen Ausdruck bekommen wir beliebig klein, da wir beliebig klein kriegen, und der Vorfaktor konstant ist. Hierzu wählen wir zu einem beliebigem den Index so groß, dass für alle gilt

Dann erhalten wir insgesamt für alle :

Diese Beweisskizze müssen wir nun in einen formalen Beweis gießen, um zu zeigen.

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Beweis (Quotientenregel für Grenzwerte)

Sei beliebig. Wegen gibt es ein , so dass für alle ist. Außerdem gibt es ein mit für alle . Dann gilt für alle :

Es gilt daher . Mit der Produktregel folgt nun

Die Wurzelregel[Bearbeiten]

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Satz (Grenzwertsatz für Potenzen)

Sei eine nichtnegative Folge mit Grenzwert . Sei außerdem . Dann konvergiert die Folge mit .

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Wie kommt man auf den Beweis? (Grenzwertsatz für Potenzen)

Wir müssen zum Beweis den Betrag abschätzen. Wieder können wir kontrollieren, da wir wissen, dass diese Beträge beliebig klein werden. Also brauchen wir erneut einen Term, in dem vorkommt. Dazu können wir eine Hilfsformel als Abschätzung verwenden, die wir im Kapitel Rechenregeln für Wurzeln bewiesen hatten: Für und gilt

Diese lässt sich auf Absolutbeträge verallgemeinern. Für gilt

Für bekommen wir

Somit gilt . Wenden wir diese Hilsformel mit und an, so erhalten wir

Den Ausdruck können wir nun beliebig klein machen, indem wir beliebig klein machen. Wir erhalten:

Mit können wir also die Zielungleichung beweisen.

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Beweis (Grenzwertsatz für Potenzen)

Sei beliebig sowie eine nichtnegative Folge mit Grenzwert . Sei außerdem beliebig. Wegen gibt es ein mit für alle . Für alle gilt

Die Monotonieregel[Bearbeiten]

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Satz (Monotonieregel für Grenzwerte)

Seien und Folgen mit Grenzwerten und . Es gelte außerdem für fast alle . Dann gilt .

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Zusammenfassung des Beweises (Monotonieregel für Grenzwerte)

Diese Regel zeigen wir durch einen Widerspruchsbeweis. Wir nehmen an, dass unter den Voraussetzungen des Satzes wäre, und leiten daraus eine widersprüchliche Aussage her.

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Beweis (Monotonieregel für Grenzwerte)

Angenommen . Wegen und gibt es zu Indizes mit für alle und für alle . Daraus folgt für alle :

Also für alle . Dies ist ein Widerspruch zu für fast alle . Daher muss gelten.

Anmerkungen zur Monotonieregel[Bearbeiten]

Einen Spezialfall erhalten wir, wenn wir (konstant) setzen:

Sei eine Folge mit Grenzwert und (bzw. ) für fast alle . Dann gilt (bzw. ).

Aus obigen Satz folgt:

Sei eine konvergente Folge und fast alle Folgenglieder liegen in einem Intervall , dann liegt auch ihr Grenzwert in .

Verbinden wir die beiden Fälle „“ und „“ aus der Monotonieregel, dann erhalten wir:

Seien und Folge mit Grenzwerten und , und es gelte für fast alle . Dann gilt auch .

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Warnung

Die Monotonieregel gilt nicht mit „“ beziehungsweise „“. Betrachte beispielsweise die beiden Folgen und . Dann gilt für alle , aber es ist und somit ist der Grenzwert von nicht kleiner als . Auch ist für alle die Ungleichung erfüllt, aber es ist .