Monotoniekriterium für Folgen – Mathe für Nicht-Freaks

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In diesem Kapitel werden wir beweisen, dass monotone und beschränkte Folgen konvergieren. Wenn du also zeigen kannst, dass eine Folge beschränkt und monoton ist, dann muss diese konvergieren. Das Schöne dabei: Für diesen Beweis musst du den Grenzwert der Folge nicht kennen!

So ist dieser Satz bei Konvergenzbeweisen für rekursiv definierte Folgen hilfreich, denn bei rekursiv definierten Folgen ist eine Abschätzung des Abstands zwischen dem Grenzwert und dem Folgenglied oft schwierig.

Konvergenz monotoner und beschränkter Folgen[Bearbeiten]

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Satz (Monotoniekriterium für Folgen)

Jede monotone und beschränkte Folge reeller Zahlen konvergiert.

Diesen Satz kannst du folgendermaßen nachvollziehen: Versuche, auf der Zahlengerade eine divergente, monotone und beschränkte Folge einzuzeichnen. Zur Erinnerung: Eine Folge ist monoton, wenn entweder immer oder immer gilt. Du wirst schnell merken, dass dies nicht möglich ist. Es macht also Sinn, dass dieser Satz gilt. Wie lässt er sich beweisen?

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Beweis (Monotoniekriterium für Folgen)

Die Folge

Beschränken wir uns zunächst auf monoton wachsende Folgen. Für monoton fallende Folgen ist der Beweis analog. Sei also eine monoton steigende und beschränkte Folge. Zunächst müssen wir den Grenzwert dieser Folge bestimmen, um mit Hilfe der Epsilon-Definition des Grenzwerts die Konvergenz zu beweisen. Schauen wir uns hierzu die Folge als Beispiel an:

Der Grenzwert ist also 1. In welcher Relation steht aber 1 zur Folge? Die Folgenglieder steigen und nähern sich dabei immer mehr dem Grenzwert an. Der Grenzwert sollte also gleich dem Supremum aller Folgenglieder sein. Und tatsächlich: 1 ist gleich dem Supremum aller Folgenglieder .

Diese Überlegung lässt sich auf beliebige monoton steigende Folgen verallgemeinern. Generell sollte das Supremum aller Folgenglieder gleich dem gesuchten Grenzwert sein. Setzen wir also

Dieses Supremum existiert, weil beschränkt und damit insbesondere die Menge der Folgenglieder nach oben beschränkt ist.

Führen wir nun den Grenzwertbeweis durch: Sei beliebig. In Abhängigkeit zum gegebenen müssen wir ein finden, so dass für alle ist.

Wir wissen, dass es ein geben muss, so dass größer als ist. kann nämlich keine obere Schranke der Menge der Folgenglieder sein ( ist als Supremum die kleinste obere Schranke). Weil keine obere Schranke der Folgenglieder ist, muss es mindestens ein größeres Folgenglied als geben. Außerdem ist , da als Supremum eine obere Schranke aller Folgenglieder ist. Wir haben somit

Hieraus folgt

Da unsere Folge monoton wächst, müssen alle Folgenglieder nach größer gleich sein. Es ist also für alle . Außerdem ist , weil eine obere Schranke der Folgenglieder ist. Für haben wir

und damit

Dies zeigt, dass Grenzwert der Folge ist und somit konvergiert. Der Beweis für monoton fallende Folgen ist analog. Hier muss man entsprechend das Infimum wählen.

Anwendungsaufgabe[Bearbeiten]

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Aufgabe (Monotoniekriterium für Folgen)

Zeige, mit Hilfe des Monotoniekriteriums, dass die Folge mit

konvergiert.

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Lösung (Monotoniekriterium für Folgen)

1. Schritt: Monotonieverhalten von .

Zunächst untersuchen wir, ob die Folge monoton ist. Da es sich um eine „Summenfolge“ handelt, ist dazu die Differenz besser geeignet, als der Quotient . Es gilt

Also gilt für alle , d.h. ist monoton fallend.

2. Schritt: Beschränktheit von

Da monoton fallend ist, müssen wir zur Anwendung des Monotoniekriteriums noch zeigen, dass die Folge nach unten beschränkt ist. Nun gilt

Damit ist nach unten durch beschränkt.

Nach dem Monotoniekriterium konvergiert damit.

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Hinweis

Wir werden später, nach Einführung des Logarithmus zeigen, dass ist.

Folgerung für allgemeine Intervallschachtellungen[Bearbeiten]

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To-Do:

@Stephan Kulla: Abschnitt überarbeiten.

Wir können das Monotoniekriterium nun nutzen, um eine nützliche Folgerung für Intervallschachtellungen herzuleiten.

Zur Wiederholung: Eine allgemeine Intervallschachtelung ist eine Folge von abgeschlossenen Intervallen mit den Eigenschaften

1. Alle Intervalle sind Teilmengen ihres Vorgängers:

2. Für jede reelle Zahl gibt es ein Intervall mit der Breite kleiner :

Außerdem gilt: Zu jeder Intervallschachtellung gibt es genau eine reelle Zahl, die in allen Intervallen enthalten ist.

Wir untersuchen nun die beiden "Randfolgen" der Intervallschachtellung und .

  • Wegen gilt

, d.h. , und , d.h.

Also ist monoton steigend und monoton fallend.

  • Wegen und ist nach oben durch und nach unten durch beschränkt.

Nach dem Monotoniekriterium konvergieren daher und . Mit Hilfe der zweiten Eigenschaft der Intervallschachtellung zeigen wir noch, dass die beiden Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren. Der Grenzwert ist dabei gleich der reellen Zahl, die in allen Intervallen liegt.

Da eine Intervallschachtellung ist, gilt

Wegen folgt damit auch für alle .

Insgesamt erhalten wir

Dies bedeutet nach Definition aber genau, dass eine Nullfolge ist. Damit können wir nun mit Hilfe der Grenzwertsätze folgern, dass und gegen denselben Grenzwert konvergieren. Denn ist , so gilt

Für den Grenzwert gilt nun

Also ist beziehungsweise . ist daher die reelle Zahl, die in allen Intervallen enthalten ist. Wir fassen dass gerade Bewiesene noch einmal zusammen:

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Satz

Ist eine Intervallschachtellung und die Zahl, die in allen Intervallen enthalten ist. Dann sind und konvergent, und es gilt

Anwendungsbeispiel: Intervallschachtellung für die eulersche Zahl[Bearbeiten]

Intervallschachtelung zur Berechnung der eulerschen Zahl
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To-Do:

@Stephan Kulla: Abschnitt überarbeiten.

Betrachten wir als Beispiel die Intervallfolge mit und .

Wir zeigen im Folgenden, dass es sich dabei um eine Intervallschachtellung handelt. Mit dem Satz aus dem vorherigen Abschnitt erhalten wir damit auch die Konvergenz der beien Folgen und . Zunächst einmal gilt

Damit ist wohldefiniert.

Nun müssen wir die beiden Eigenschaften einer Intervallschachtellung zeigen. Zuerst zeigen wir für alle : . Diese machen wir in zwei Schritten:

  • ist monoton steigend, d.h. . Wir zeigen dazu mit Hilfe der Bernoulli-Ungleichung.

  • ist monoton fallend, d.h. .
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Aufgabe

Beweise dies.

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Wie kommt man auf den Beweis?

Wir zeigen ähnlich zu oben mit Hilfe der Bernoulli-Ungleichung.

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Beweis

Da monoton steigend und monoton fallend ist, folgt . Somit haben wir die erste Eigenschaft einer Intervallschachtellung gezeigt.

Nun müssen wir noch zeigen

Dazu schätzen wir den Ausdruck geeignet nach oben ab.

Nun ist aber , und daher

Nun ist . Wählen wir also zu einem beliebigen ein mit , so gilt

Also ist tatsächlich eine Intervallschachtellung. Die in allen diesen Intervallen enthaltene Zahl heißt eulersche Zahl und wird mit bezeichnet. Mit Hilfe der Intervallschachtelung lässt sich diese beliebig genau eingrenzen, wenn auch sehr langsam. Beispielsweise ist . Tatsächlich ist .

Mit dem Satz von oben gilt nun

Später werden wir noch zeigen, was viele wohl aus der Schule noch wissen.