In diesem Kapitel werden wir beweisen, dass monotone und beschränkte Folgen konvergieren. Wenn du also zeigen kannst, dass eine Folge beschränkt und monoton ist, dann muss diese konvergieren. Das Schöne dabei: Für diesen Beweis musst du den Grenzwert der Folge nicht kennen!
So ist dieser Satz bei Konvergenzbeweisen für rekursiv definierte Folgen hilfreich, denn bei rekursiv definierten Folgen ist eine Abschätzung des Abstands zwischen dem Grenzwert und dem Folgenglied oft schwierig.
Konvergenz monotoner und beschränkter Folgen[Bearbeiten]
Satz (Monotoniekriterium für Folgen)
Jede monotone und beschränkte Folge reeller Zahlen konvergiert.
Diesen Satz kannst du folgendermaßen nachvollziehen: Versuche, auf der Zahlengerade eine divergente, monotone und beschränkte Folge einzuzeichnen. Zur Erinnerung: Eine Folge ist monoton, wenn entweder immer
oder immer
gilt. Du wirst schnell merken, dass dies nicht möglich ist. Es macht also Sinn, dass dieser Satz gilt. Wie lässt er sich beweisen?
Beweis (Monotoniekriterium für Folgen)
Die Folge

Beschränken wir uns zunächst auf monoton wachsende Folgen. Für monoton fallende Folgen ist der Beweis analog. Sei also
eine monoton steigende und beschränkte Folge. Zunächst müssen wir den Grenzwert dieser Folge bestimmen, um mit Hilfe der Epsilon-Definition des Grenzwerts die Konvergenz zu beweisen. Schauen wir uns hierzu die Folge
als Beispiel an:
Der Grenzwert ist also 1. In welcher Relation steht aber 1 zur Folge? Die Folgenglieder steigen und nähern sich dabei immer mehr dem Grenzwert an. Der Grenzwert sollte also gleich dem Supremum aller Folgenglieder sein. Und tatsächlich: 1 ist gleich dem Supremum aller Folgenglieder
.
Diese Überlegung lässt sich auf beliebige monoton steigende Folgen verallgemeinern. Generell sollte das Supremum aller Folgenglieder gleich dem gesuchten Grenzwert sein. Setzen wir also
Dieses Supremum existiert, weil
beschränkt und damit insbesondere die Menge der Folgenglieder nach oben beschränkt ist.
Führen wir nun den Grenzwertbeweis durch: Sei
beliebig. In Abhängigkeit zum gegebenen
müssen wir ein
finden, so dass
für alle
ist.
Wir wissen, dass es ein
geben muss, so dass
größer als
ist.
kann nämlich keine obere Schranke der Menge der Folgenglieder sein (
ist als Supremum die kleinste obere Schranke). Weil
keine obere Schranke der Folgenglieder ist, muss es mindestens ein größeres Folgenglied
als
geben. Außerdem ist
, da
als Supremum eine obere Schranke aller Folgenglieder ist. Wir haben somit
Hieraus folgt
Da unsere Folge monoton wächst, müssen alle Folgenglieder nach
größer gleich
sein. Es ist also
für alle
. Außerdem ist
, weil
eine obere Schranke der Folgenglieder ist. Für
haben wir
und damit
Dies zeigt, dass
Grenzwert der Folge ist und somit
konvergiert. Der Beweis für monoton fallende Folgen ist analog. Hier muss man entsprechend das Infimum wählen.
Aufgabe (Monotoniekriterium für Folgen)
Zeige, mit Hilfe des Monotoniekriteriums, dass die Folge
mit
konvergiert.
Lösung (Monotoniekriterium für Folgen)
1. Schritt: Monotonieverhalten von
.
2. Schritt: Beschränktheit von 
Da
monoton fallend ist, müssen wir zur Anwendung des Monotoniekriteriums noch zeigen, dass die Folge nach unten beschränkt ist. Nun gilt
Damit ist
nach unten durch
beschränkt.
Nach dem Monotoniekriterium konvergiert
damit.
Hinweis
Wir werden später, nach Einführung des Logarithmus zeigen, dass
ist.
Folgerung für allgemeine Intervallschachtellungen[Bearbeiten]
To-Do:
@Stephan Kulla: Abschnitt überarbeiten.
Wir können das Monotoniekriterium nun nutzen, um eine nützliche Folgerung für Intervallschachtellungen herzuleiten.
Zur Wiederholung: Eine allgemeine Intervallschachtelung ist eine Folge von abgeschlossenen Intervallen
mit den Eigenschaften
1. Alle Intervalle sind Teilmengen ihres Vorgängers:
2. Für jede reelle Zahl
gibt es ein Intervall
mit der Breite kleiner
:
Außerdem gilt: Zu jeder Intervallschachtellung gibt es genau eine reelle Zahl, die in allen Intervallen enthalten ist.
Wir untersuchen nun die beiden "Randfolgen" der Intervallschachtellung
und
.
- Wegen
gilt

, d.h.

, und

, d.h.
Also ist
monoton steigend und
monoton fallend.
- Wegen
und
ist
nach oben durch
und
nach unten durch
beschränkt.
Nach dem Monotoniekriterium konvergieren daher
und
. Mit Hilfe der zweiten Eigenschaft der Intervallschachtellung zeigen wir noch, dass die beiden Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren. Der Grenzwert ist dabei gleich der reellen Zahl, die in allen Intervallen liegt.
Da
eine Intervallschachtellung ist, gilt
Wegen
folgt damit auch
für alle
.
Insgesamt erhalten wir
Dies bedeutet nach Definition aber genau, dass
eine Nullfolge ist. Damit können wir nun mit Hilfe der Grenzwertsätze folgern, dass
und
gegen denselben Grenzwert konvergieren. Denn ist
, so gilt
Für den Grenzwert gilt nun
Also ist
beziehungsweise
.
ist daher die reelle Zahl, die in allen Intervallen enthalten ist. Wir fassen dass gerade Bewiesene noch einmal zusammen:
Anwendungsbeispiel: Intervallschachtellung für die eulersche Zahl[Bearbeiten]
Intervallschachtelung zur Berechnung der eulerschen Zahl
To-Do:
@Stephan Kulla: Abschnitt überarbeiten.
Betrachten wir als Beispiel die Intervallfolge
mit
und
.
Wir zeigen im Folgenden, dass es sich dabei um eine Intervallschachtellung handelt. Mit dem Satz aus dem vorherigen Abschnitt erhalten wir damit auch die Konvergenz der beien Folgen
und
.
Zunächst einmal gilt
Damit ist
wohldefiniert.
Nun müssen wir die beiden Eigenschaften einer Intervallschachtellung zeigen. Zuerst zeigen wir für alle
:
. Diese machen wir in zwei Schritten:
ist monoton steigend, d.h.
. Wir zeigen dazu
mit Hilfe der Bernoulli-Ungleichung.
ist monoton fallend, d.h.
.
Wie kommt man auf den Beweis?
Wir zeigen ähnlich zu oben
mit Hilfe der Bernoulli-Ungleichung.
Beweis
Da
monoton steigend und
monoton fallend ist, folgt
. Somit haben wir die erste Eigenschaft einer Intervallschachtellung gezeigt.
Nun müssen wir noch zeigen
Dazu schätzen wir den Ausdruck
geeignet nach oben ab.
Nun ist aber
, und daher
Nun ist
. Wählen wir also zu einem beliebigen
ein
mit
, so gilt
Also ist
tatsächlich eine Intervallschachtellung. Die in allen diesen Intervallen enthaltene Zahl heißt eulersche Zahl und wird mit
bezeichnet. Mit Hilfe der Intervallschachtelung lässt sich diese beliebig genau eingrenzen, wenn auch sehr langsam. Beispielsweise ist
. Tatsächlich ist
.
Mit dem Satz von oben gilt nun
Später werden wir noch
zeigen, was viele wohl aus der Schule noch wissen.