Konvergenz einer Folge beweisen[Bearbeiten]
Aufgabe (Konvergenz einer Folge 1)
Zeige mit der Definition, dass die Folge
konvergiert. Wie lautet ihr Grenzwert?
Aufgabe (Konvergenz einer Folge 2)
Zeige mit der Definition, dass die Folge
gegen
konvergiert.
Wie kommt man auf den Beweis? (Konvergenz einer Folge 2)
Wir müssen
zeigen. Also formen wir
zunächst um, um eine Bedingung für
zu bekommen.
Also müssen wir ein
mit
wählen. Dieses existiert nach dem archimedischen Axiom.
Divergenz einer alternierenden Folge beweisen [Bearbeiten]
Aufgabe (Divergenz einer Folge)
Zeige, dass die Folge
divergiert.
Aufgaben zu Rechenregeln[Bearbeiten]
Aufgaben zu den Grenzwertsätzen[Bearbeiten]
Lösung (Grenzwerte von Folgen)
Teilaufgabe 1: Der Trick bei dieser Folge ist es, mit Hilfe der Rechenregeln die Wurzeln
und
umzuformen. Anschließend können wir dann den Grenzwert der gesamten Folge mit Hilfe der bekannten Grenzwerte
und
und der Grenzwertsätze bestimmen.
Teilaufgabe 2: Bei solchen "gebrochen rationalen" Folgen gibt es bei der Konvergenzuntersuchung einen einfachen Standardtrick: Wir klammern im Zähler und im Nenner den Summanden mit der höchsten Potenz aus und kürzen diesen anschließend. Danach lässt sich der Grenzwert mit Hilfe der Grenzwertsätze einfach bestimmen.
Teilaufgabe 3: Hier können wir genauso vorgehen wie bei der Teilaufgabe zuvor. Allerdings müssen wir zunächst den Zähler ausmultiplizieren und vereinfachen.
Teilaufgabe 4: Da bei der Folge zunächst nicht klar ist, wie sie sich für große
verhält, formen wir sie mit einem einfachen Rechentrick zunächst um.
Alternative Lösung: (mit Sandwichsatz)
Es gilt
. Mit dem Sandwichsatz gilt somit auch
.
Teilaufgabe 5: Diese ähnelt der Folge zuvor aufgrund der Wurzel im Zähler. Allerdings führt der Trick der vorherigen Teilaufgabe hier nicht zum Erfolg. Stattdessen müssen wir Zähler und Nenner durch
teilen.
Teilaufgabe 6: Hier ist der entscheidende Trick, zunächst die Gaußsche Summenformel
anzuwenden. Danach verfahren wir genau wie bei der 1. Teilaufgabe.
Aufgabe (Grenzwert einer Folge)
Untersuche die Folge
mit
auf Konvergenz in Abhängigkeit von
.
Beweis (Grenzwert einer Folge)
1.Fall: Ist
, so gilt
,
da
.
2.Fall: Ist
, so gilt
,
da
.
Aufgaben zu e-Folgen[Bearbeiten]
Lösung (e-Folgen)
Teilaufgabe 1: Es gilt
Teilaufgabe 2: Es gilt
Teilaufgabe 3: Es gilt
Teilaufgabe 4: Die Idee hinter dieser Folge ist es, sie umzuformen, um dann den bekannten Grenzwert
einsetzen zu können. Dazu schreiben wir die Folge zunächst in der Form "
".
,
da
Alternative Lösung: Nur möglich, wenn
bekannt ist.
,
da
und
.
Aufgaben zum Sandwichsatz[Bearbeiten]
Lösung (Sandwichsatz)
Teilaufgabe 1: Für alle
gilt
Außerdem ist
. Mit dem Sandwichsatz gilt daher auch
.
Teilaufgabe 2: Für
gilt
. Damit folgt
Wegen
folgt mit dem Sandwichsatz
.
Teilaufgabe 3: Zu
gibt es ein
mit
. Wegen der Monotonie der Wurzel folgt damit
Mit den Rechenregeln für Folgen gilt nun
und
. Mit dem Sandwichsatz also
.
Teilaufgabe 4: Ist
, so gilt
Außerdem gilt
und
. Mit dem Sandwichsatz also
.
Im Fall
erhalten wir ganz analog
.
Insgesamt ergibt sich daher
.
Teilaufgabe 5: Es gilt
Außerdem ist
und
Mit dem Sandwichsatz gilt auch
.
Teilaufgabe 6: Es gilt
Außerdem ist
Mit dem Sandwichsatz ist somit
.
Aufgabe (Sandwichsatz)
Beweise den Grenzwert
.
Lösung (Sandwichsatz)
Um den Sandwichsatz anwenden zu können, müssen wir
nach oben durch eine Nullfolge abschätzen. Zunächst finden wir mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes für
:
Aus dieser Ungleichung können wir nun folgern
Insgesamt erhalten wir
Nach dem Spezialfall zum Sandwichsatz ist daher
.
Aufgaben zum Monotoniekriterium und rekursiv definierten Folgen[Bearbeiten]
Aufgabe (Monotoniekriterium)
Sei
eine Folge mit
für alle
. Zeigen, mit Hilfe des Monotoniekriteriums, daß die Folge
mit
konvergiert.
Lösung (Monotoniekriterium)
Schritt 1:
ist monoton fallend, d.h.
.
Es gilt
Schritt 2:
ist nach oben durch
beschränkt, d.h.
.
Beweis mittels vollständiger Induktion über
:
Induktionsanfang:
.
.
Induktionsschritt:
Schritt 3:
konvergiert.
Da
nach den Schritten 1 und 2 monoton fallend und nach unten beschränkt ist, konvergiert die Folge nach dem Monotoniekriterium.
Aufgabe (Konvergenz einer rekursiv definierenten Folge 1)
Begründe, warum die rekursiv definierte Folge
konvergiert, und berechne deren Grenzwert.
- Durch finden einer expliziten Bildungsvorschrift
- Mit Hilfe des Monotoniekriteriums
Lösung (Konvergenz einer rekursiv definierenten Folge 1)
Teilaufgabe 1: Es gilt
Bei genauem Hinsehen, erkennen wir
Dies legt uns nun die Vermutung
für alle
nahe. Wir beweise diese mit vollständiger Induktion über
:
Induktionsanfang:
.
.
Induktionsschritt:
Also war unsere Vermutung
für alle
korrekt. Damit folgt
Teilaufgabe 2: Wir lösen die Aufgabe in vier Schritten:
Schritt 1:
ist monoton steigend, d.h.
.
Beweis mittels vollständiger Induktion über
:
Induktionsanfang:
.
.
Induktionsschritt:
Schritt 2:
ist nach oben durch
beschränkt, d.h.
.
Beweis mittels vollständiger Induktion über
:
Induktionsanfang:
.
.
Induktionsschritt:
Schritt 3:
konvergiert.
Da
nach den Schritten 1 und 2 monoton steigend und nach oben beschränkt ist, ist die Folge nach dem Monotoniekriterium konvergent.
Schritt 4: Berechnung des Grenzwertes.
Da
konvergiert, gilt
. Mit den Grenzwertsätzen folgt
Nun lösen wir diese Gleichung
auf:
Insgesamt ergibt sich
.
Aufgabe (Konvergenz einer rekursiv definierenten Folge 2)
Seien
. Begründe, warum die rekursiv definierte Folge
konvergiert, und berechne deren Grenzwert.
Lösung (Konvergenz einer rekursiv definierenten Folge 2)
Es gilt
Führen wir denselben Schritt
-Mal durch, so erhalten wir
Mit der Teleskopsumme
folgt mit der geometrischen Summenformel:
Mit
und den Rechenregeln für Folgen gilt
Aufgabe (Monotoniekriterium für Folgen)
Zeige, dass die rekursiv definierte Folge
mit
gegen den goldenen Schnitt
konvergiert.
Wie kommt man auf den Beweis? (Monotoniekriterium für Folgen)
Unser Ziel ist es zunächst, mit Hilfe des Monotoniekriteriums die Konvergenz der Folge zu zeigen, um dann wie im Beispiel der Quadratwurzelfolge den Grenzwert bestimmen zu können. Wir müssen also zeigen, dass
monoton und beschränkt ist. Um einen Anhaltspunkt für die Monotonie zu bekommen, berechnen wir die ersten Folgenglieder:
Wir können daher vermuten, dass
monoton wächst. Dies müssen wir aber noch sauber mit vollständiger Induktion beweisen.
Nun brauchen wir für das Monotoniekriterium noch eine obere Schranke. Da wir ja zeigen sollen, dass
gegen
konvergiert, wird wohl jede Zahl größer als
eine obere Schranke sein. Wegen
wählen wir
als obere Schranke von
. Auch dies müssen wir ebenfalls mittels Induktion beweisen.
Aus dem Monotoniekriterium folgt dann die Konvergenz, und mit dem Trick aus der Wurzelfolge zeigen wir dann, dass
der Grenzwert ist.
Lösung (Monotoniekriterium für Folgen)
Teil 1: Beweis mittels vollständiger Induktion über
:
Induktionsanfang:
.
Induktionsschritt:
Teil 2: Beweise mittels vollständiger Induktion über
:
- Zunächst zeigen wir
für alle
.
Induktionsanfang:
.
Induktionsschritt:
- Nun zeigen wir
für alle
.
Induktionsanfang:
.
Induktionsschritt:
Teilaufgabe 3: Nach den Teilen 1 und 2 ist
monoton fallend und nach unten beschränkt, und
monoton wachsend und nach oben beschränkt. Nach dem Monotoniekriterium sind daher beide Teilfolgen konvergent.
Nun gilt
, denn ist
, so gilt
Diese quadratische Gleichung hat nach der Mitternachtformel die beiden Lösungen
und
Nach Teil 1 ist nun
, und damit auch
. Nach der Monotontonieregel für Grenzwerte gilt daher
.
Ganz analog gilt
. Nach der Grenzwertregel für Mischfolgen gilt somit auch
Cauchyscher Grenzwertsatz und Cesaro-Mittel[Bearbeiten]
Lösung (Cauchyscher Grenzwertsatz)
-
Da
gegen
konvergiert, gibt es zu jedem
ein
so, dass für alle
gilt:
Für dieses feste
konvergiert nun auch
gegen
. Also gibt es ein
, so dass für alle
gilt:
Für alle
folgt dann
-
Nein, die Umkehrung gilt nicht. Ein Beispiel ist die Folge
. Diese ist divergent. Siehe hierzu die Aufgabe weiter oben. Jedoch gilt für die Folge, aus dem Cesaro-Mittel:
Diese ist offensichtlich eine Nullfolge, da sowohl die ungerade Glieder als auch die geraden Glieder gegen Null konvergieren.
-
Die Aussage folgt unmittelbar aus dem Cauchy-Grenzwertsatz. Hier ist
. Wegen
folgt auch
.