Aufgaben zur Konvergenz und Divergenz – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Konvergenz einer Folge beweisen[Bearbeiten]

Aufgabe (Konvergenz einer Folge 1)

Zeige mit der Definition, dass die Folge konvergiert. Wie lautet ihr Grenzwert?

Wie kommt man auf den Beweis? (Konvergenz einer Folge 1)

Zunächst überlegen wir uns den Grenzwert. Dieser ist hier offensichtlich. Da der Zähler konstant gleich ist, und der Nenner für zunehmende immer größer wird, wird der Ausdruck immer kleiner. D.h. die Folge wird gegen konvergieren.

Laut der Definition des Grenzwerts müssen wir zeigen:

Nun gilt

Nach dem Archimedischen Axiom existiert ein mit . Nach der obigen Ungleichungen folgt für alle : . Also konvergiert unsere Folge gegen null.

Lösung (Konvergenz einer Folge 1)

Sei . Wir wählen ein mit . So ein existiert nach dem archimedischen Axiom. Für alle gilt dann

Aufgabe (Konvergenz einer Folge 2)

Zeige mit der Definition, dass die Folge gegen konvergiert.

Wie kommt man auf den Beweis? (Konvergenz einer Folge 2)

Wir müssen

zeigen. Also formen wir zunächst um, um eine Bedingung für zu bekommen.

Also müssen wir ein mit wählen. Dieses existiert nach dem archimedischen Axiom.

Lösung (Konvergenz einer Folge 2)

Sei . Wir wählen ein mit . So ein existiert nach dem archimedischen Axiom. Für alle gilt dann

Divergenz einer alternierenden Folge beweisen [Bearbeiten]

Aufgabe (Divergenz einer Folge)

Zeige, dass die Folge divergiert.

Wie kommt man auf den Beweis? (Divergenz einer Folge)

Für die Divergenz müssen wir zeigen

Wichtig ist, dass wir diese Aussage nicht nur für die Werte und zeigen, sondern für alle .

Betrachten wir zunächst den Fall : Für alle geraden gilt dann , und daher

Wählen wir also und zu einem beliebigen ein gerades mit , so gilt

Analog gilt im Fall und für alle ungeraden :

, da

Wählen wir also und zu einem beliebigen ein ungerades mit , so gilt ebenfalls

Aus beiden Fällen folgt somit die Divergenz der Folge.

Beweis (Divergenz einer Folge)

1.Fall: Sei . Wähle und beliebig. Wähle nun ein gerades mit . Dann gilt

2.Fall: Sei . Wähle und beliebig. Wähle nun ein ungerades mit . Dann gilt

Beweis (Alternativ mit Widerspruch)

Für zwei beliebige Folgeglieder und gilt immer . Nehmen wir nun an es gibt zu ein und ein mit

Dann folgt

Aufgaben zu Rechenregeln[Bearbeiten]

Aufgabe (Potenzregel direkt beweisen)

Beweise für und eine Folge mit die Potenzregel für Grenzwerte direkt mit der -Definition (ohne Benutzung der Produktregel).

Wie kommt man auf den Beweis? (Potenzregel direkt beweisen)

Wir müssen zum Beweis folgenden Betrag abschätzen:

Nun können wir kontrollieren, denn wir wissen ja, dass diese Beträge beliebig klein werden. Um dieses Wissen nutzen zu können, brauchen wir einen Term, in dem vorkommt. Dazu müssen können wir die folgende Hilfsformel verwenden: Für und gilt

Diese lässt sich ähnlich wie die geometrische Summenformel beweisen:

Wenden wir nun die Hilfsformel mit und an, so erhalten wir

Auf diesen Ausdruck können wir nun die verallgemeinerte Dreiecksungleichung anwenden und erhalten

Wenn wir nun die Summe durch eine Konstante nach oben abschätzen können, dann kriegen wir beliebig klein. Dies ist jedoch kein Problem. Da konvergiert, ist die Folge beschränkt. Es gibt also ein mit für alle . Also ist .

Damit kriegen wir nun beliebig klein. Also gilt .

Beweis (Potenzregel direkt beweisen)

Sei beliebig. Da konvergiert, gibt es ein mit für alle . Wegen gibt es ein mit für alle , wobei ist. Sei nun beliebig, dann ist

Aufgaben zu den Grenzwertsätzen[Bearbeiten]

Aufgabe (Grenzwerte von Folgen)

Untersuche die Folge , , , , und auf Konvergenz und bestimme gegebenfalls den Grenzwert.

Lösung (Grenzwerte von Folgen)

Teilaufgabe 1: Der Trick bei dieser Folge ist es, mit Hilfe der Rechenregeln die Wurzeln und umzuformen. Anschließend können wir dann den Grenzwert der gesamten Folge mit Hilfe der bekannten Grenzwerte und und der Grenzwertsätze bestimmen.

Teilaufgabe 2: Bei solchen "gebrochen rationalen" Folgen gibt es bei der Konvergenzuntersuchung einen einfachen Standardtrick: Wir klammern im Zähler und im Nenner den Summanden mit der höchsten Potenz aus und kürzen diesen anschließend. Danach lässt sich der Grenzwert mit Hilfe der Grenzwertsätze einfach bestimmen.

Teilaufgabe 3: Hier können wir genauso vorgehen wie bei der Teilaufgabe zuvor. Allerdings müssen wir zunächst den Zähler ausmultiplizieren und vereinfachen.

Teilaufgabe 4: Da bei der Folge zunächst nicht klar ist, wie sie sich für große verhält, formen wir sie mit einem einfachen Rechentrick zunächst um.

Alternative Lösung: (mit Sandwichsatz)

Es gilt . Mit dem Sandwichsatz gilt somit auch .

Teilaufgabe 5: Diese ähnelt der Folge zuvor aufgrund der Wurzel im Zähler. Allerdings führt der Trick der vorherigen Teilaufgabe hier nicht zum Erfolg. Stattdessen müssen wir Zähler und Nenner durch teilen.

Teilaufgabe 6: Hier ist der entscheidende Trick, zunächst die Gaußsche Summenformel anzuwenden. Danach verfahren wir genau wie bei der 1. Teilaufgabe.

Warnung

Ein beliebter Fehler bei solchen Folgen ist es, aus der Summe den Term auszuklammern, zu kürzen und anschließend gegen unendlich gehen zu lassen. Dies darf man hier allerdings nicht machen, da die Summe mit größer werdenden beliebig lang wird, und die Anzahl der Summanden nicht konstant bleibt. Bei diesem Vorgehen würde auch der falsche Grenzwert herauskommen!

Aufgabe (Grenzwert einer Folge)

Untersuche die Folge mit auf Konvergenz in Abhängigkeit von .

Wie kommt man auf den Beweis? (Grenzwert einer Folge)

Entscheidend ist, hier zu erkennen, dass der Grenzwert davon abhängt, ob oder ist. Im Fall ist beschränkt und daher „dominiert“ im Zähler und Nenner. Daher müssen wir in diesem Fall durch teilen. Im Fall hingegen wächst wesentlich schneller als , daher teilen wir hier durch .

Beweis (Grenzwert einer Folge)

1.Fall: Ist , so gilt

,

da .

2.Fall: Ist , so gilt

,

da .

Aufgaben zu e-Folgen[Bearbeiten]

Aufgabe (e-Folgen)

Untersuche die Folge , , und auf Konvergenz und bestimme gegebenfalls den Grenzwert.

Lösung (e-Folgen)

Teilaufgabe 1: Es gilt

Teilaufgabe 2: Es gilt

Teilaufgabe 3: Es gilt

Teilaufgabe 4: Die Idee hinter dieser Folge ist es, sie umzuformen, um dann den bekannten Grenzwert einsetzen zu können. Dazu schreiben wir die Folge zunächst in der Form "".

,

da

Alternative Lösung: Nur möglich, wenn bekannt ist.

,

da und .

Aufgaben zum Sandwichsatz[Bearbeiten]

Aufgabe (Sandwichsatz)

Bestimme die Grenzwerte der Folge mit

  1. für
  2. für
  3. für

Lösung (Sandwichsatz)

Teilaufgabe 1: Für alle gilt

Außerdem ist . Mit dem Sandwichsatz gilt daher auch .

Teilaufgabe 2: Für gilt . Damit folgt

Wegen folgt mit dem Sandwichsatz .

Teilaufgabe 3: Zu gibt es ein mit . Wegen der Monotonie der Wurzel folgt damit

Mit den Rechenregeln für Folgen gilt nun und . Mit dem Sandwichsatz also .

Teilaufgabe 4: Ist , so gilt

Außerdem gilt und . Mit dem Sandwichsatz also .

Im Fall erhalten wir ganz analog .

Insgesamt ergibt sich daher .

Teilaufgabe 5: Es gilt

Außerdem ist

und

Mit dem Sandwichsatz gilt auch .

Teilaufgabe 6: Es gilt

Außerdem ist

Mit dem Sandwichsatz ist somit .

Aufgabe (Sandwichsatz)

Beweise den Grenzwert .

Lösung (Sandwichsatz)

Um den Sandwichsatz anwenden zu können, müssen wir nach oben durch eine Nullfolge abschätzen. Zunächst finden wir mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes für :

Aus dieser Ungleichung können wir nun folgern

Insgesamt erhalten wir

Nach dem Spezialfall zum Sandwichsatz ist daher .

Aufgaben zum Monotoniekriterium und rekursiv definierten Folgen[Bearbeiten]

Aufgabe (Monotoniekriterium)

Sei eine Folge mit für alle . Zeigen, mit Hilfe des Monotoniekriteriums, daß die Folge mit

konvergiert.

Lösung (Monotoniekriterium)

Schritt 1: ist monoton fallend, d.h. .

Es gilt

Schritt 2: ist nach oben durch beschränkt, d.h. .

Beweis mittels vollständiger Induktion über :

Induktionsanfang: . .

Induktionsschritt:

Schritt 3: konvergiert.

Da nach den Schritten 1 und 2 monoton fallend und nach unten beschränkt ist, konvergiert die Folge nach dem Monotoniekriterium.

Aufgabe (Konvergenz einer rekursiv definierenten Folge 1)

Begründe, warum die rekursiv definierte Folge

konvergiert, und berechne deren Grenzwert.

  1. Durch finden einer expliziten Bildungsvorschrift
  2. Mit Hilfe des Monotoniekriteriums

Lösung (Konvergenz einer rekursiv definierenten Folge 1)

Teilaufgabe 1: Es gilt

Bei genauem Hinsehen, erkennen wir

Dies legt uns nun die Vermutung für alle nahe. Wir beweise diese mit vollständiger Induktion über :

Induktionsanfang: . .

Induktionsschritt:

Also war unsere Vermutung für alle korrekt. Damit folgt

Teilaufgabe 2: Wir lösen die Aufgabe in vier Schritten:

Schritt 1: ist monoton steigend, d.h. .

Beweis mittels vollständiger Induktion über :

Induktionsanfang: . .

Induktionsschritt:

Schritt 2: ist nach oben durch beschränkt, d.h. .

Beweis mittels vollständiger Induktion über :

Induktionsanfang: . .

Induktionsschritt:

Schritt 3: konvergiert.

Da nach den Schritten 1 und 2 monoton steigend und nach oben beschränkt ist, ist die Folge nach dem Monotoniekriterium konvergent.

Schritt 4: Berechnung des Grenzwertes.

Da konvergiert, gilt . Mit den Grenzwertsätzen folgt

Nun lösen wir diese Gleichung auf:

Insgesamt ergibt sich .

Aufgabe (Konvergenz einer rekursiv definierenten Folge 2)

Seien . Begründe, warum die rekursiv definierte Folge

konvergiert, und berechne deren Grenzwert.

Lösung (Konvergenz einer rekursiv definierenten Folge 2)

Es gilt

Führen wir denselben Schritt -Mal durch, so erhalten wir

Mit der Teleskopsumme

folgt mit der geometrischen Summenformel:

Mit und den Rechenregeln für Folgen gilt

Aufgabe (Monotoniekriterium für Folgen)

Zeige, dass die rekursiv definierte Folge mit

gegen den goldenen Schnitt konvergiert.

Wie kommt man auf den Beweis? (Monotoniekriterium für Folgen)

Unser Ziel ist es zunächst, mit Hilfe des Monotoniekriteriums die Konvergenz der Folge zu zeigen, um dann wie im Beispiel der Quadratwurzelfolge den Grenzwert bestimmen zu können. Wir müssen also zeigen, dass monoton und beschränkt ist. Um einen Anhaltspunkt für die Monotonie zu bekommen, berechnen wir die ersten Folgenglieder:

Wir können daher vermuten, dass monoton wächst. Dies müssen wir aber noch sauber mit vollständiger Induktion beweisen.

Nun brauchen wir für das Monotoniekriterium noch eine obere Schranke. Da wir ja zeigen sollen, dass gegen konvergiert, wird wohl jede Zahl größer als eine obere Schranke sein. Wegen wählen wir als obere Schranke von . Auch dies müssen wir ebenfalls mittels Induktion beweisen.

Aus dem Monotoniekriterium folgt dann die Konvergenz, und mit dem Trick aus der Wurzelfolge zeigen wir dann, dass der Grenzwert ist.

Lösung (Monotoniekriterium für Folgen)

Schritt 1: ist monoton steigend, d.h. .

Beweis mittels vollständiger Induktion über :

Induktionsanfang: . .

Induktionsschritt:

Schritt 2: ist nach oben durch beschränkt, d.h. .

Beweis mittels vollständiger Induktion über :

Induktionsanfang: . .

Induktionsschritt:

Bemerkung: Alternativ hätten wir auch gleich mittels Induktion zeigen können. Dafür hätten wir aber die Gleichung zeigen und benutzen müssen.

Schritt 3: konvergiert.

Da nach den Schritten 1 und 2 monoton steigend und nach oben beschränkt ist, ist die Folge nach dem Monotoniekriterium konvergent.

Schritt 4: Berechnung des Grenzwertes.

Da konvergiert, gilt . Mit den Grenzwertsätzen und der Stetigkeit der Wurzelfunktion folgt daher

Nun lösen wir die Gleichung nach auf, und erhalten:

Mit Hilfe der quadratischen Lösungsformel erhalten wir

Also und . Nun ist aber . Wegen und der Monotonie muss der Grenzwert von größer als sein. Daher kommt als Grenzwert nicht in Frage.

Insgesamt ergibt sich daher .

Aufgabe (Monotoniekriterium für Folgen)

Zeige, dass die rekursiv definierte Folge mit

gegen den goldenen Schnitt konvergiert. Zeige dazu

  1. für alle
  2. Die Teilfolge ist monoton wachsend, und die Teilfolge monoton fallend.
  3. Die beiden Teilfolgen konvergieren gegen .

Lösung (Monotoniekriterium für Folgen)

Teil 1: Beweis mittels vollständiger Induktion über :

Induktionsanfang: .

Induktionsschritt:

Teil 2: Beweise mittels vollständiger Induktion über :

  • Zunächst zeigen wir für alle .

Induktionsanfang: .

Induktionsschritt:

  • Nun zeigen wir für alle .

Induktionsanfang: .

Induktionsschritt:

Teilaufgabe 3: Nach den Teilen 1 und 2 ist monoton fallend und nach unten beschränkt, und monoton wachsend und nach oben beschränkt. Nach dem Monotoniekriterium sind daher beide Teilfolgen konvergent.

Nun gilt , denn ist , so gilt

Diese quadratische Gleichung hat nach der Mitternachtformel die beiden Lösungen

und

Nach Teil 1 ist nun , und damit auch . Nach der Monotontonieregel für Grenzwerte gilt daher .

Ganz analog gilt . Nach der Grenzwertregel für Mischfolgen gilt somit auch

Cauchyscher Grenzwertsatz und Cesaro-Mittel[Bearbeiten]

Aufgabe (Cauchyscher Grenzwertsatz)

  1. Beweise den Cauchyschen Grenzwertsatz: Sei eine Folge die gegen konvergiert, dann konvergiert auch das Cesaro-Mittel gegen .
  2. Gilt auch die Umkehrung von 1.? D.h. folgt aus auch  ?
  3. Zeigen mit Hilfe von 1.: .

Lösung (Cauchyscher Grenzwertsatz)

  1. Da gegen konvergiert, gibt es zu jedem ein so, dass für alle gilt:

    Für dieses feste konvergiert nun auch gegen . Also gibt es ein , so dass für alle gilt:

    Für alle folgt dann

  2. Nein, die Umkehrung gilt nicht. Ein Beispiel ist die Folge . Diese ist divergent. Siehe hierzu die Aufgabe weiter oben. Jedoch gilt für die Folge, aus dem Cesaro-Mittel:

    Diese ist offensichtlich eine Nullfolge, da sowohl die ungerade Glieder als auch die geraden Glieder gegen Null konvergieren.

  3. Die Aussage folgt unmittelbar aus dem Cauchy-Grenzwertsatz. Hier ist . Wegen folgt auch .