Grenzwert: Beispiele – Mathe für Nicht-Freaks

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Übersicht über wichtige Grenzwerte[Bearbeiten]

  • für alle
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  • für alle mit
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  • für alle und mit
  • für alle und mit
  • für alle mit

Im Folgenden werden wir alle Grenzwerte mit der Epsilon-Definition der Konvergenz herleiten. Den Grenzwert werden wir im Kapitel „Monotoniekriterium für Folgen“ betrachten.

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Hinweis

In der Analysis ist es sehr wichtig, das Wachstumsverhalten verschiedener Folgen einschätzen zu können. So folgt aus dem Grenzwert , dass die Folge viel schneller wächst als die Folge . Schreiben wir für , folgt aus den obigen Grenzwerten:

Konstante Folge[Bearbeiten]

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Satz (Grenzwert der konstanten Folge)

Jede konstante Folge konvergiert gegen den Wert ihrer Folgenglieder:

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Beispiel (Grenzwert der konstanten Folge)

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Wie kommt man auf den Beweis? (Grenzwert der konstanten Folge)

Im Kern müssen wir zeigen, dass für fast alle erfüllt ist. Nun ist und damit . Da im Beweis stets positiv ist, ist die Ungleichung

immer erfüllt. Wir können also frei wählen. Legen wir fest. Damit würde im Beweis stehen:

„Wähle . Sei mit beliebig. Es ist…

Die Formulierung klingt umständlich, denn für jede natürliche Zahl gilt . Einfacher ist der Satz:

„Für alle gilt…“

Dieses Beweisfragment ist völlig ausreichend: Wenn „für alle “ etwas gilt, dann gilt es auch „für fast alle “.

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Beweis (Grenzwert der konstanten Folge)

Sei eine konstante Folge und sei beliebig. Für alle (und damit für fast alle ) gilt

Harmonische Folge[Bearbeiten]

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Satz (Grenzwert der harmonischen Folge)

Es ist .

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Wie kommt man auf den Beweis? (Grenzwert der harmonischen Folge)

Hier haben wir die Ungleichung zu beweisen. Zunächst können wir vereinfachen:

Die Zielgleichung lautet damit . Diese können wir nach umformen, um eine Bedingung für zu gewinnen:

Es muss also sein, damit ist.

Frage: Welches sollten wir also im späteren Beweis wählen?

Wir wählen ein mit . Ist nämlich , dann ist auch .

Woher wissen wir, dass es so ein gibt? Für einen vollständigen Beweis müssen wir dies begründen:

Frage: Warum existiert so ein ?

Dies folgt aus dem archimedischen Axiom. Nach diesem gibt es nämlich für alle reellen Zahlen eine natürliche Zahl mit . Wir wählen hier .

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Beweis (Grenzwert der harmonischen Folge)

Sei beliebig. Wir wählen ein mit . Dass so ein existiert, folgt aus dem archimedischen Axiom. Sei beliebig. Es ist

Inverse Potenzfolge[Bearbeiten]

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Satz

Für alle ist .

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Wie kommt man auf den Beweis?

Der Beweis funktioniert ähnlich dem der harmonischen Folge. Zunächst vereinfachen wir wieder :

Dann stellen wir nach um, um eine Bedingung für zu finden:

Es muss also ein mit gewählt werden. Dieses finden wir wieder mit Hilfe des archimedischen Axioms.

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Beweis

Sei beliebig. Wähle so, dass ist. Ein solches existiert nach dem archimedischen Axiom. Sei beliebig. Es ist

Inverse Wurzelfolge[Bearbeiten]

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Satz

Für alle ist .

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Wie kommt man auf den Beweis?

Der Beweis ähnelt sehr dem der beiden vorherigen Folgen. Zunächst vereinfachen wir wieder :

Dann stellen wir nach um, um eine Bedingung für zu finden:

Es muss also ein mit gewählt werden. Dieses finden wir erneut mit dem archimedischen Axiom.

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Beweis

Sei beliebig. Wähle so, dass ist. Ein solches existiert wegen dem archimedischen Axiom. Damit ist

Sei nun mit beliebig. Es ist:

Geometrische Folge[Bearbeiten]

Die Folge ist eine Nullfolge.
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Satz

Für alle mit ist .

Dieser Satz ist eine Verallgemeinerung der obigen beiden Sätze und schließt sie ein.

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Beispiel

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Wie kommt man auf den Beweis?

Hier betrachten wir den Betrag , den wir als erstes vereinfachen:

Mit der Bernoulli-Ungleichung kann man beweisen:

„Zu jedem und jedem gibt es ein mit .“

Setzen wir . Es gibt dann ein mit . Für alle folgt dann:

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Beweis

Sei und mit beliebig. Über die Bernoulli-Ungleichung kann man beweisen, dass es ein mit gibt. Dann gilt für alle :

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Hinweis

Auch für lässt sich die geometrische Folge auf Konvergenz untersuchen. Allerdings müssen wir dabei drei Fälle unterscheiden:

  • Hier ist . Mit dem ersten Beispiel folgt .
  • Hier erhalten wir . Diese alternierende Folge divergiert, wie wir in einer Übungsaufgabe im Kapitel „Aufgaben zur Konvergenz und Divergenz“ bewiesen haben.
  • Hier divergiert die Folge . Diese Folge ist unbeschränkt. Im Kapitel „Unbeschränkte Folgen divergieren“ zeigen wir, dass alle unbeschränkte Folgen divergent sind.

n-te Wurzel von c[Bearbeiten]

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Satz (Grenzwert Folge mit n-ter Wurzel)

Für alle ist .

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Wie kommt man auf den Beweis? (Grenzwert Folge mit n-ter Wurzel)

Am Ende müssen wir die Ungleichung zeigen. Führen wir zunächst den Beweis für . Dann ist nämlich , und wir können die Betragsstriche weglassen.

Fall 1:

In diesem Fall ist , und wir müssen für fast alle beweisen. Formen wir diese Ungleichung um, um eine Bedingung für zu finden:

Ist die obige Ungleichung sinnvoll? Wegen ist . Damit ist eine geometrische Folge, die mit wachsenden beliebig groß wird. Es gibt ein , ab dem größer ist als , womit wir beweisen können. Hierzu hatten wir bereits im Abschnitt „Folgerungen aus der Bernoulli Ungleichung“ bewiesen:

Für jede Zahl und jede Zahl gibt es ein , so dass ist.

Wenn wir nun und setzen, erhalten wir das gewünschte mit . Es muss dann nur noch gezeigt werden, dass für ist. Dies folgt aber aus

Fall 2:

Diesen Fall können wir auf obigen Fall zurückführen. Hierzu setzen wir , so dass ist. Wir haben:

Diese Umformung ist sinnvoll, weil wir bereits im ersten Fall gezeigt haben, dass beliebig klein wird (es ist ja ). Wir müssen also nur noch den Term sinnvoll nach oben abschätzen. Nun ist aber

Also ist

und von haben wir bereits im ersten Teil gezeigt, dass es beliebig klein wird.

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Beweis (Grenzwert Folge mit n-ter Wurzel)

Fall 1:

Sei beliebig. Aus dem Satz

Für jede Zahl und jede Zahl gibt es ein , so dass ist.

folgt, dass es ein mit gibt. Sei beliebig. Es ist

Also ist

Fall 2:

Sei beliebig. Setze zunächst . Es ist , und aus dem ersten Fall wissen wir, dass es ein mit für alle gibt. Sei beliebig. Es ist zunächst

und damit

n-te Wurzel von n[Bearbeiten]

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Satz (Grenzwert n-te Wurzel von n)

Es ist .

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Wie kommt man auf den Beweis? (Grenzwert n-te Wurzel von n)

Der abzuschätzende Betrag ist . Auch hier können wir versuchen, die Ungleichung umzustellen, um Bedingungen für zu finden:

und wachsen beide über alle Grenzen hinaus. Wir müssen also zeigen, dass irgendwann größer wird als . Sehen wir uns dazu an. Nach dem binomischen Lehrsatz ist

Jeder Summand dieser Summe ist größer-gleich Null. Wenn wir zeigen können, dass kleiner als eine Teilsumme von ist, wissen wir, dass kleiner als ist. Wir wählen die Summanden und (wir werden gleich sehen, dass diese beiden Summanden ausreichen) und zeigen

Indem wir die oben stehende Formel zeigen, wobei gleichzeitig

gilt, zeigen wir auch

Um eine Bedingung für zu finden, formen wir um:

Über das archimedische Axiom finden wir ein , sodass für alle gilt.

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Beweis (Grenzwert n-te Wurzel von n)

Sei beliebig. Wir wählen nach dem archimedischen Axiom so, dass ist. Sei beliebig. Es ist

Quotient Potenzfolge durch geometrische Folge[Bearbeiten]

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Satz

Sei beliebig und eine reelle Zahl mit . Es ist dann .

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Wie kommt man auf den Beweis?

Auch dieser Grenzwertbeweis ist relativ schwierig. Natürlich wollen wir trotzdem erklären, durch welche Gedanken man selbst auf die Lösung kommen kann. Dabei werden einige „Tricks“ eingesetzt, die auch bei späteren Beweisen helfen können. Der erste ist es, als mit zu schreiben. Auf können wir dann den binomischen Lehrsatz anwenden, der uns eine geeignete Abschätzung des Ausdrucks nach oben ermöglicht. Also ist

Die Summe des Nenners macht den Bruch kompliziert. Es wäre schön, ihn durch einen „einfacheren“ Ausdruck zu ersetzen. Zum Glück ist jeder der Summanden positiv. Wenn wir also Summanden weglassen, dann machen wir die Summe, und damit den Nenner, kleiner. Der gesamte Quotienten wird somit größer (dies ist in Ordnung, weil wir nach oben abschätzen wollen). Die Frage ist nun, welche Summanden weggelassen werden sollen.

Da im Zähler steht, ist es sinnvoll den Ausdruck im Nenner durch einen Ausdruck der Form abzuschätzen, wobei nicht von abhängen soll. Dann bildet der Bruch nach der Abschätzung auf jeden Fall eine Nullfolge. Daher behalten wir nur den Summanden für bei, also , und alle anderen Summanden lassen wir weg. Der Ausdruck erhällt nach dem Ausmultiplizieren im Zähler den Summanden mit der größten Potenz. Dazu muss zunächst sein, da nur dann in der Summe der Summand für vorkommt. Wir erhalten

Wenn wir es jetzt noch schaffen, den mittleren Ausdruck , nach oben, durch einen von unabhängigen Ausdruck abzuschätzen, so sind wir endlich am Ziel! Der (Vor-)Faktor bleibt im Limes konstant und stellt daher kein Problem für die Konvergenz gegen Null dar. Wir brauchen nun allerdings noch die zusätzliche Forderung . Damit gilt

Daraus wiederum ergibt sich

Insgesamt erhalten wir

Da der Ausdruck nicht von abhängt und eine Nullfolge ist, ist der letzte Ausdruck ebenfalls eine Nullfolge.

Um dies mathematisch korrekt zu beweisen, müssen wir jedoch noch zu jedem ein finden, so dass für alle gilt:

Für unsere oberen Abschätzungen benötigen wir zunächst die Bedingungen und . Da für alle ist, reicht die stärkere Bedingung schon aus. Weiter gilt

Daher benötigen wir als zweite Bedingung noch . Um sicher zu gehen, dass beide Bedingungen erfüllt sind, forden wir . Dann folgt insgesamt

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Beweis

Sei mit beliebig. Setze . Es ist dann mit .

Sei beliebig. Wähle eine natürliche Zahl mit . Sei beliebig. So ist:

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Hinweis

Dieser Grenzwert taucht gelegentlich auch in der Form für alle und mit auf. Ist nämlich , so gilt für offensichtlich . Also gilt

Quotient geometrische Folge durch Fakultätfolge[Bearbeiten]

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Satz

Sei eine reelle Zahl mit . Es ist dann .

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Wie kommt man auf den Beweis?

Um den Satz zu beweisen, müssen wir zeigen, dass für große beliebig klein wird. Dafür werden wir den Ausdruck nach oben durch einen anderen Ausdruck abschätzen, von dem wir bereits wissen, dass er beliebig klein wird.

Wenn wir uns den Quotienten ansehen, fällt uns auf, dass Zähler und Nenner immer gleich viele Faktoren haben ( Stück). Die Faktoren im Nenner werden allerdings immer größer, wohingegen die im Zähler immer gleich ist. Sobald ist, ist . Dies können wir für unsere Abschätzung ausnutzen, indem wir diese Faktoren getrennt zusammenfassen. Sei also und . Es ist dann

Wegen wird als geometrische Folge beliebig klein, während der Faktor konstant bezüglich ist. Damit können wir zeigen, da

Sei nun gegeben. Wir müssen nun ein finden, so dass für alle die Ungleichung erfüllt ist. Hierzu schauen wir, wann die rechte Seite der obigen Ungleichung kleiner als ist (weil es dann auch die linke Ungleichung sein muss). Wir erhalten:

Die rechte Seite der Ungleichung ist unabhängig von . Weil ist, gibt es nach einer Folgerung zum Archimedischen Axiom ein , so dass

Damit ist für alle

so dass wir alles zusammen haben, um den Beweis aufzuschreiben. Da wir im Laufe des Lösungswegs und gefordert haben, werden wir wählen (so dass beide Bedingungen und impliziert).

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Beweis

Sei . Nach dem Archimedischen Axiom gibt es ein mit . Dann gilt für alle :

Wegen gibt es ein so, dass . Für alle gilt dann

Fakultätfolge durch [Bearbeiten]

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Satz

Es gilt .

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Beweis

Sei . Wähle so, dass . Für alle gilt dann