Betrag, Maximum und Minimum – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Nachdem wir in den vergangenen Kapiteln die Anordnungsaxiome eingeführt haben, führen wir nun die ersten Begriffe ein, die direkt auf der Ordnung der reellen Zahlen aufbauen.

Maximum und Minimum

Definition

Das Maximum zweier Zahlen gibt die größere der beiden Zahlen zurück, während das Minimum die kleinere Zahl zurückgibt. Beide Funktionen sind folgendermaßen definiert:

Definition (Maximum)

$\max(x,y)={\begin{cases}x&;\,x\geq y\\y&;\,{\text{sonst}}\end{cases}}$

Definition (Minimum)

$\min(x,y)={\begin{cases}x&;\,x\leq y\\y&;\,{\text{sonst}}\end{cases}}$

Es ist genauso möglich, das Maximum und Minimum von endlich vielen Zahlen anzugeben. Hierzu definieren wir

$\max(\{x_{1},x_{2},\ldots x_{n}\})=\max(x_{1},\max(x_{2},\ldots \max(x_{n-1},x_{n})))$

und

$\min(\{x_{1},x_{2},\ldots x_{n}\})=\min(x_{1},\min(x_{2},\ldots \min(x_{n-1},x_{n})))$

Beachte, dass es nur möglich ist, das Maximum und Minimum von endlichen Mengen auszurechnen. Für eine Verallgemeinerung des Maximums und Minimums auf unendliche Mengen werden wir später die Begriffe vom „Supremum“ und vom „Infimum“ einführen.

Charakteristische Eigenschaften von Minimum und Maximum

Das Maximum und das Minimum erfüllen folgende Eigenschaften für beliebige reelle Zahlen $x$, $y$ und $z$, welche für diese Funktionen charakteristisch sind:

Satz (Maximum und Minimum sind genauso groß, wie die größte, bzw. kleinste Zahl die sie enthalten.)

Jede reelle Zahl, die größer ist als das Maximum zweier beliebiger reellen Zahlen $x$ und $y$, ist auch größer als beide Zahlen. Umgekehrt gilt auch: Jede reelle Zahl, die kleiner ist als das Minimum zweier beliebiger reellen Zahlen $x$ und $y$ ist auch kleiner als beide Zahlen.

${\begin{aligned}\max(x,y)\leq z&\iff x\leq z\land y\leq z\\z\leq \min(x,y)&\iff z\leq x\land z\leq y\end{aligned}}$

Beweis (Maximum und Minimum sind genauso groß, wie die größte, bzw. kleinste Zahl die sie enthalten.)

Beweisschritt: $\max(x,y)\leq z\Rightarrow x\leq z\land y\leq z$

Nach der Definition des Maximums gilt $\max(x,y)={\begin{cases}x&;\,x\geq y\\y&;\,{\text{sonst}}\end{cases}}$. Hier müssen wir also zwei Fälle untersuchen: $x\geq y$ und den umkehrten Fall. Durch die Trichotomie muss hier gelten $x<y$, da $x=y$ und $x>y$ bereits im ersten Fall betrachtet werden.

Fall 1: $x\geq y$

Da nun nach Definition des Maximums $\max(x,y)=x$ gilt können wir $x$ einsetzen und erhalten damit die immer wahre Aussage $x\leq z\Rightarrow x\leq z$. Daher wissen wir nun durch die Trichotomie $y\leq x\leq z$ und können über die Transitivität $y\leq z$ folgern. (Beachte, das nach Definition $x\leq y$ und $y\geq x$ äquivalent sind.)

Fall 2: $x<y$ ("sonst")

Im zweiten Fall können wir $\max(x,y)=y$ setzen und wir wissen bereits, dass $x<y$ sein muss. Also können wir schreiben $x<y\leq z\Rightarrow x\leq z\land y\leq z$. Die Transitivität sagt uns, dass wir diesen Ausdruck auch als $x<z\land y\leq z\Rightarrow x\leq z\land y\leq z$ schreiben können. Der Ausdruck $x<z\Rightarrow x\leq z$ ist aber nach der Definition von $\leq$ immer Wahr.

Beweisschritt: $x\leq z\land y\leq z\Rightarrow max(x,y)\leq z$

Analog zur obigen Fallunterscheidung sollten wir auch hier untersuchen, wie sich welcher Fall auswirkt. Setzt man die jeweilige Bedingung für das Maximum ein, ergibt sich eine wahre Aussage für beide Fälle:

Fall 1: $x\geq y$

$x\leq z\land y\leq z\Rightarrow x\leq z$

Fall 2: $x<y$ ("sonst")

$x\leq z\land y\leq z\Rightarrow y\leq z$

Beweisschritt: $z\leq min(x,y)\Rightarrow z\leq x\land z\leq y$

Betrachten wir zunächst wieder die Definition des Minimums $\min(x,y)={\begin{cases}x&;\,x\leq y\\y&;\,{\text{sonst}}\end{cases}}$ so fällt auf, dass wir wieder zwei Fälle beachten müssen: $x\leq y$ und das "sonst". Im Sinne der Trichotomie muss hier gelten $y<x$ da $y=x$ und $y>x$ durch den ersten Fall ausgeschlossen werden.

Fall 1: $x\leq y$

Nach Definition des Minimums können wir in diesem Fall $min(x,y)=x$ einsetzen. Da wir außerdem noch wissen, dass $x\leq y$ gelten muss, erhalten wir $z\leq x\leq y$ und durch die Transitivität $z\leq x\land z\leq y$.

Fall 2: $y<x$ ("sonst")

Ähnlich dem ersten Fall können wir $y$ und das Minimum gleichsetzen ($min(x,y)=y$), was nach der Definition des Minimums gelten muss. Daher muss $z\leq y<x$ gelten. Durch die Transitivität der Relation können wir das zu $z\leq y\land z<x$ auseinander ziehen. Auch der Ausdruck $z<x\Rightarrow z\leq x$ ist immer wahr, da $z\leq x$ immer dann wahr ist, wenn auch $z<x$ wahr ist (Siehe Definition von $\leq$).

Beweisschritt: $z\leq x\land z\leq y\Rightarrow z\leq min(x,y)$

Setzt man die jeweilige Bedingung für $min(x,y)$ in den zu zeigenden Ausdruck ein, so erhalten wir für die beiden möglichen Fälle immer eine wahre Aussage.

Fall 1: $x\leq y$

$z\leq x\land z\leq y\Rightarrow z\leq x$

Fall 2: $y<x$ ("sonst")

$z\leq x\land z\leq y\Rightarrow z\leq y$

Diese Eigenschaften werden in der Analysis genutzt, um obere bzw. untere Schranken auszurechnen. Wenn beispielsweise eine Variable $n$ gleichzeitig größer oder gleich $N_{1}$ und größer oder gleich $N_{2}$ sein soll, so definieren wir $n\geq \max(N_{1},N_{2})$. Dann ist nämlich garantiert, dass $n\geq N_{1}$ und $n\geq N_{2}$.

To-Do:

Abschnitt muss ausgebaut werden:

• Frage muss beantwortet werden: Warum sind die obigen Äquivalenzen charakteristisch für das Maximum und das Minimum?

Betrag

Definition

Erklärung des Betrags. (YouTube-Video vom Kanal Quatematik)

Verlauf der Betragsfunktion.

Der Betrag (auch Betragsfunktion oder Absolutbetrag genannt) gibt den Abstand einer Zahl zur Null zurück. Er ist definiert über:

Definition (Betrag)

Der Betrag $|x|$ einer reellen Zahl $x$ ist definiert durch

$|x|=\max(x,-x)={\begin{cases}x&;\,x\geq 0\\-x&;\,x<0\end{cases}}$

$|x-y|$ ist der Abstand zwischen $x$ und $y$.

In der Analysis werden wir den Betrag vor allem in der Form $|x-y|$ kennen lernen. Dieser Term gibt den Abstand der Zahlen $x$ und $y$ und damit eine Art „Fehler“ zwischen $x$ und $y$ wieder. In der Analysis werden wir diesen Abstand verwenden, um das Konzept des Grenzwertes zu beschreiben.

Verständnisfrage: Warum ist $\max(x,-x)={\begin{cases}x&;\,x\geq 0\\-x&;\,x<0\end{cases}}$?

Wegen Trichotomie ist entweder $x>0$, $x=0$ oder $x<0$.

Fall 1: $x>0$

Aus $x>0$ folgt $-x<0$, also $x>0>-x$ und damit $x>-x$. Es ist dann

$\max(x,-x)=x={\begin{cases}x&;\,x\geq 0\\-x&;\,x<0\end{cases}}$

Fall 2: $x=0$

Ist $x=0$, dann ist auch $-x=0$, weil Null ihr eigenes Negative ist. Entsprechend ist

$\max(x,-x)=0={\begin{cases}x&;\,x\geq 0\\-x&;\,x<0\end{cases}}$

Fall 3: $x<0$

Aus $x<0$ folgt $-x>0$, also $x<0<-x$ und damit $x<-x$. Es ist dann

$\max(x,-x)=-x={\begin{cases}x&;\,x\geq 0\\-x&;\,x<0\end{cases}}$

Charakteristische Eigenschaft

Für das Maximum und Minimum haben wir folgende charakteristische Eigenschaft kennen gelernt:

${\begin{aligned}\max(x,y)\leq z&\iff x\leq z\land y\leq z\\z\leq \min(x,y)&\iff z\leq x\land z\leq y\end{aligned}}$

Aus dieser können wir eine für Beweise nützliche Eigenschaft für Beträge ableiten. Ersetzt man nämlich $y$ durch $-x$, ergibt sich:

${\begin{aligned}\max(x,-x)\leq z&\iff x\leq z\land -x\leq z\\z\leq \min(x,-x)&\iff z\leq x\land z\leq -x\end{aligned}}$

Daraus folgt:

${\begin{aligned}|x|\leq z&\iff x\leq z\land -x\leq z\\z\leq -|x|&\iff z\leq x\land z\leq -x\end{aligned}}$

Es ist also genau dann $|x|\leq z$, wenn $x\leq z$ und $-x\leq z$ ist. Analog ist genau dann $z\leq -|x|$, wenn $z\leq x$ und $z\leq -x$.

Eigenschaften (Übersicht)

Es folgt eine Zusammenfassung aller wichtigen Eigenschaften des Betrags. Dabei habe ich auch die Form aufgeführt, die dir in den Beweisen der Analysis oft begegnen wird:

Eigenschaft des Betrags	Eigenschaft für den Abstand $|x-y|$
$|x|=0\Leftrightarrow x=0$	$|x-y|=0\Leftrightarrow x=y$
$|x\cdot y|=|x|\cdot |y|$	$|\lambda \cdot (x-y)|=|\lambda |\cdot |x-y|$
$|x+y|\leq |x|+|y|$	$|x-y|\leq |x-z|+|z-y|$
$|x-y|\geq ||x|-|y||$	$|x-y|\geq ||x|-|y||$
$\left|{\tfrac {x}{y}}\right|={\tfrac {|x|}{|y|}}$	$\left|{\tfrac {x-y}{\lambda }}\right|={\tfrac {|x-y|}{|\lambda |}}$

Beweise der Betragseigenschaften

Die Null ist die einzige Zahl mit Betrag null

Satz (Die Null ist die einzige Zahl mit Betrag null)

Es ist genau dann der Betrag einer Zahl 0, wenn die Zahl selbst 0 ist. Es gilt also

$|x|=0\Leftrightarrow x=0$

Beweis (Die Null ist die einzige Zahl mit Betrag null)

Beweisschritt: $x=0\Rightarrow |x|=0$

Für $x=0$ ist $|x|=\max(0,-0)=\max(0,0)=0$.

Beweisschritt: $|x|=0\Rightarrow x=0$

Nach der Definition des Betrags folgt aus $|x|=0$, dass $\max(x,-x)=0$ ist. Nun impliziert $\max(a,b)=c$ die beiden Ungleichungen $a\leq c$ und $b\leq c$. Damit folgen aus $\max(x,-x)=0$ die beiden Ungleichungen $x\leq 0$ und $-x\leq 0$. Nach Multiplikation von der Ungleichung $-x\leq 0$ mit $-1$ erhalten wir $0\leq x$. Damit haben wir die beiden Bedingungen $x\leq 0$ und $0\leq x$. Mit der Antisymmetrie der Kleiner-Gleich-Relation („Aus $a\leq b$ und $b\leq a$ folgt $a=b$“) erhalten wir $x=0$.

Alternativer Beweis (Die Null ist die einzige Zahl mit Betrag null)

Beweisschritt: $x=0\Rightarrow |x|=0$

Für $x=0$ ist $|x|=\max(0,-0)=\max(0,0)=0$.

Beweisschritt: $|x|=0\Rightarrow x=0$

Gegeben sei $|x|=0$. Nach der Definition des Betrags ist $\max(x,-x)=0$. Somit ist $0=x$ oder $0=-x$. Für $0=x$ bzw. $x=0$ gibt es nichts mehr zu beweisen. Andererseits folgt aus $0=-x$ bzw. $-x=0$, dass $x=-0$ ist (Spiegelung bei Bildung des Negativen). Da aber das Negative der Null die Null selbst ist, folgt aus $x=-0$, dass $x=0$ ist. In beiden Fällen $0=x$ oder $0=-x$ folgt also $x=0$, womit dieser Beweisschritt gezeigt ist.

Multiplizität

Satz (Multiplizität)

Es ist $|xy|=|x|\cdot |y|$.

Beweis (Multiplizität)

Fall 1: $x=0$ und $y$ beliebig

Es ist $|xy|=|0\cdot y|=|0|=0=0\cdot |y|=|0|\cdot |y|=|x|\cdot |y|$.

Fall 2: $x$ beliebig und $y=0$

Es ist $|xy|=|x\cdot 0|=|0|=0=|x|\cdot 0=|x|\cdot |0|=|x|\cdot |y|$.

Fall 3: $x>0$ und $y>0$

Es folgt $xy>0$ und damit $|xy|=xy=|x|\cdot |y|$.

Fall 4: $x<0$ und $y>0$

Es folgt $xy<0$ und damit $|xy|=-xy$. Wegen $x<0$ ist $|x|=-x$. Somit haben wir $|xy|=-xy=(-x)\cdot y=|x|\cdot |y|$.

Fall 5: $x>0$ und $y<0$

Es folgt $xy<0$ und damit $|xy|=-xy$. Wegen $y<0$ ist $|y|=-y$. Somit haben wir $|xy|=-xy=x\cdot (-y)=|x|\cdot |y|$.

Fall 6: $x<0$ und $y<0$

Es folgt $xy>0$ und damit $|xy|=xy=(-x)\cdot (-y)=|x|\cdot |y|$.

Dreiecksungleichung

Satz (Dreiecksungleichung)

Für alle reellen Zahlen $x$ und $y$ ist $|x+y|\leq |x|+|y|$.

Beweis (Dreiecksungleichung)

Aus $x\leq |x|$ und $y\leq |y|$ folgt $x+y\leq |x|+|y|$ („Monotonie der Addition“). Analog folgt aus $-x\leq |x|$ und $-y\leq |y|$, dass $-x+(-y)\leq |x|+|y|$, also $-(x+y)\leq |x|+|y|$ ist (wiederum „Monotonie der Addition“). Da $|x+y|$ entweder $x+y$ oder $-(x+y)$ ist, ist auch $|x+y|\leq |x|+|y|$.

Die Dreiecksungleichung werden wir vor allem nutzen, um Abstände $|x-y|$ nach oben abzuschätzen. In die Differenz kann nämlich ein Term $z-z$ eingeschoben werden, also

$|x-y|=|(x-z)+(z-y)|\leq |x-z|+|z-y|$

Der Abstand $|x-y|$ kann also über die Abstände $|x-z|$ und $|z-y|$ nach oben abgeschätzt werden. Der obige Trick wird in der Analysis häufig verwendet.

Abschätzung des Abstands nach unten

Satz (Abschätzung des Abstands nach unten)

Es ist $|x-y|\geq {\big |}|x|-|y|{\big |}$.

Beweis (Abschätzung des Abstands nach unten)

Es ist

$|x|=|(x-y)+y|\leq |x-y|+|y|$

und damit nach Umformung der Ungleichung

$|x|-|y|\leq |x-y|$

Analog folgt aus

$|y|=|(y-x)+x|\leq |y-x|+|x|$

die Ungleichung

$|y|-|x|\leq |y-x|=|x-y|$

Insgesamt ist also sowohl $|x|-|y|$ als auch $|y|-|x|=-(|x|-|y|)$ kleiner als $|x-y|$. Damit ist

${\big |}|x|-|y|{\big |}=\max(|x|-|y|,|y|-|x|)\leq |x-y|$

Betrag des Quotienten

Satz (Betrag des Quotienten)

Für Quotienten ${\tfrac {x}{y}}$ ist

$\left|{\frac {x}{y}}\right|={\frac {|x|}{|y|}}$

Beweis (Betrag des Quotienten)

Es ist wegen der Multiplizität des Betrags:

$|x|=\left|y\cdot {\tfrac {x}{y}}\right|=|y|\cdot \left|{\tfrac {x}{y}}\right|$

Durch Multiplikation von $|y|^{-1}$ auf beiden Seiten der Gleichung erhalten wir die zu beweisende Gleichung.

Alternativer Beweis (Betrag des Quotienten)

Gegeben sei $\left|{\tfrac {x}{y}}\right|$. Wegen der Multiplizität des Betrags gilt: $\left|{\tfrac {x}{y}}\right|\cdot |y|=\left|{\tfrac {x}{y}}\cdot y\right|=|x|$. Wir haben somit: $\left|{\tfrac {x}{y}}\right|\cdot |y|=|x|$. Durch Multiplikation von $|y|^{-1}$ auf beiden Seiten der Gleichung erhalten wir die zu beweisende Gleichung.

Beweise der Abstandseigenschaften

Abstand mit Betrag Null

Satz (Abstand mit Betrag null)

Der Abstand zwischen $x$ und $y$ ist genau dann null, wenn $x$ und $y$ identisch sind. Es gilt also

$|x-y|=0\iff x=y$

Beweis (Abstand mit Betrag null)

Gegeben sei $|x-y|=0$. Sei nun $z=x-y$, so dass $|x-y|=|z|=0$ ist. Da die Null die einzige Zahl mit dem Betrag null ist, gilt:

$|z|=0\iff z=0$

Durch Rücksubstitution ergibt sich:

$|x-y|=0\iff x-y=0$

bzw.

$|x-y|=0\iff x=y$

Multiplizität des Abstands

Satz (Multiplizität des Abstands)

Es ist $|\lambda \cdot (x-y)|=|\lambda |\cdot |x-y|$.

Beweis (Multiplizität des Abstands)

Gegeben sei $|\lambda \cdot (x-y)|$. Sei nun $z=x-y$, so dass $|\lambda \cdot (x-y)|=|\lambda \cdot z|$. Daraus folgt (Multiplizität des Betrags und Rücksubstitution):

$|\lambda \cdot (x-y)|=|\lambda \cdot z|=|\lambda |\cdot |z|=|\lambda |\cdot |x-y|$

Dreiecksungleichung für den Abstand

Satz (Dreiecksungleichung für den Abstand)

Für alle reellen Zahlen $x$ und $y$ ist $|x-y|\leq |x-z|+|z-y|$.

Beweis (Dreiecksungleichung für den Abstand)

Gegeben seien $|x-z|$ und $|z-y|$. Sei nun $a=x-z$ und $b=z-y$, so dass $|x-z|+|z-y|=|a|+|b|$. Wegen der Dreiecksungleichung gilt nun: $|a+b|\leq |a|+|b|$. Durch Rücksubstitution erhalten wir: $|(x-z)+(z-y)|\leq |x-z|+|z-y|$ bzw. $|x-y|\leq |x-z|+|z-y|$.

Abschätzung des Abstands nach unten

Satz (Abschätzung des Abstands nach unten)

Es ist $|x-y|\geq {\big |}|x|-|y|{\big |}$.

Beweis (Abschätzung des Abstands nach unten)

Es ist

$|x|=|(x-y)+y|\leq |x-y|+|y|$

und damit nach Umformung der Ungleichung

$|x|-|y|\leq |x-y|$

Analog folgt aus

$|y|=|(y-x)+x|\leq |y-x|+|x|$

die Ungleichung

$|y|-|x|\leq |y-x|=|x-y|$

Insgesamt ist also sowohl $|x|-|y|$ als auch $|y|-|x|=-(|x|-|y|)$ kleiner als $|x-y|$. Damit ist

${\big |}|x|-|y|{\big |}=\max(|x|-|y|,|y|-|x|)\leq |x-y|$

Betrag des Quotienten

Satz (Betrag des Quotienten)

Für Quotienten ${\tfrac {x-y}{\lambda }}$ ist

$\left|{\tfrac {x-y}{\lambda }}\right|={\tfrac {|x-y|}{|\lambda |}}$

Beweis (Betrag des Quotienten)

Gegeben sei $\left|{\tfrac {x-y}{\lambda }}\right|$. Sei $z=x-y$, so dass $\left|{\tfrac {x-y}{\lambda }}\right|=\left|{\tfrac {z}{\lambda }}\right|$. Nun aber gilt (Betrag des Quotienten): $\left|{\tfrac {z}{\lambda }}\right|={\tfrac {|z|}{|\lambda |}}$. Daraus folgt (durch Rücksubstitution), dass $\left|{\tfrac {x-y}{\lambda }}\right|={\tfrac {|x-y|}{|\lambda |}}$.