Folgerungen der Anordnungsaxiome – Mathe für Nicht-Freaks

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Ähnlich wie bei den Körperaxiomen beweisen wir nun erste kleinere Sätze, die direkt auf den Anordnungsaxiomen aufbauen. Insbesondere werden wir die charakteristischen Eigenschaften der Kleiner-Relation beweisen, die wir bereits im Abschnitt „Herleitung der Anordnungsaxiome“ erwähnt haben.

Übersicht zu den Folgen der Anordnungsaxiome[Bearbeiten]

In diesem Kapitel werden wir zeigen, dass folgende Aussageformen allgemeingültig in sind:

  • Eigenschaften der Kleiner-Relation:
    • Trichotomie:
    • Transitivität:
    • Translationsinvarianz:
  • Addition / Negatives und Kleiner-Relation:
  • Multiplikation und Kleiner-Relation:
  • Inverses und Kleiner-Relation:
  • Bernoulli-Ungleichung:

Die Bernoulli-Ungleichung werden wir im Kapitel zur „Bernoulli-Ungleichung“ beweisen.

Eigenschaften der Kleiner-Relation[Bearbeiten]

Trichotomie[Bearbeiten]

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Satz (Trichotomie der Kleiner-Relation)

Für alle reellen Zahlen und ist entweder , oder . Es gilt also:

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Beweis (Trichotomie der Kleiner-Relation)

Mit Hilfe der Äquivalenz können wir die zu beweisende Aussage

umformen zu

Für gegebene und müssen wir also beweisen, dass . Durch das Setzen von erhalten wir die zu beweisende Aussage

Dies ist aber gerade die Trichotomie der Positivität, welche wir in den Anordnungsaxiomen gegeben haben und damit wahr ist. Insgesamt haben wir so den Satz bewiesen.

Transitivität[Bearbeiten]

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Satz (Transitivität der Kleiner-Relation)

Für alle , und gilt

Die Transitivitätseigenschaft der Kleiner-Relation rechtfertigt es, Ungleichungsketten wie

zu schreiben. Wegen der Transitivität folgt dann nämlich auch .

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Beweis (Transitivität der Kleiner-Relation)

Sei und . Nach Definition der Kleiner-Relation gilt damit und . Wegen der Abgeschlossenheit der Positivität bezüglich der Addition ist damit auch

Damit ist aber auch nach Definition der Kleiner Relation.

Translationsinvarianz[Bearbeiten]

Translationsinvarianz der Kleiner-Relation.
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Satz (Translationsinvarianz der Kleiner-Relation)

Für alle reellen Zahlen , und ist

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Beweis (Translationsinvarianz der Kleiner-Relation)

Es ist

Addition / Negatives und Kleiner-Relation[Bearbeiten]

Monotonie der Addition[Bearbeiten]

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Satz (Monotonie der Addition)

Aus und folgt .

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Beweis (Monotonie der Addition)

Aus folgt wegen der Translationsinvarianz der Kleiner-Relation . Aus folgt analog . Es ist also . Aus der Transitivität folgt nun .

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Alternativer Beweis (Monotonie der Addition)

Aus und folgt aus der Definition der Kleiner-Relation und . Nun sind nach den Anordnungsaxiomen die positiven Zahlen abgeschlossen bezüglich der Addition. Aus und folgt damit . Nun wenden wir nochmals (allerdings in umgekehrter Richtung) die Definition der Kleiner-Relation an, so dass aus die Ungleichung folgt. Damit ist der Satz bewiesen.

Spiegelung bei Bildung des Negativen[Bearbeiten]

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Satz (Spiegelung bei Bildung des Negativen)

Es ist genau dann , wenn ist.

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Beweis (Spiegelung bei Bildung des Negativen)

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Alternativer Beweis (Spiegelung bei Bildung des Negativen)

Sei . Es ist

Multiplikation und Kleiner-Relation[Bearbeiten]

Multiplikation mit positiver Zahl[Bearbeiten]

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Satz (Multiplikation mit positiver Zahl)

Ist und , dann ist auch .

Die Multiplikation mit einer positiven Zahl erhält also die Ungleichungsrelation.

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Beweis (Multiplikation mit positiver Zahl)

Aus der Definition der Kleiner-Relation folgt aus die Ungleichung . Weil die Mulitplikation bezüglich der Positivität abgeschlossen und ist, ist auch . Also . Daraus folgt nach der Definition der Kleiner-Relation .

Monotonie der Multiplikation mit nicht-negativen Zahlen[Bearbeiten]

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Satz (Monotonie der Multiplikation mit nicht-negativen Zahlen)

Aus und folgt .

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Beweis (Monotonie der Multiplikation mit nicht-negativen Zahlen)

Fall 1: oder

In diesem Fall ist . Es muss also bewiesen werden, dass ist. Jedoch ist nach Voraussetzung und . folgt nun aus der Abgeschlossenheit der Positivität bezüglich der Multiplikation, welche in den Anordnungsaxiomen definiert wurde.

Fall 2: und

Wegen und ist nach dem vergangenem Satz . Gleichzeitig folgt aus und analog . Ingesamt haben wir und damit insgesamt .

Multiplikation mit negativer Zahl[Bearbeiten]

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Satz (Multiplikation mit negativer Zahl)

Aus und folgt .

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Beweis (Multiplikation mit negativer Zahl)

Nach dem Satz über die Spiegelung folgt aus , dass ist. Nach dem Satz zur Multiplikation mit positiven Zahlen ist dann . Nun können wir wieder den Satz zur Spiegelung anwenden und erhalten und damit , weil ist.

Produkte mit negativen Faktoren sind positiv[Bearbeiten]

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Satz (Produkte mit negativen Faktoren sind positiv)

Aus und folgt .

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Beweis (Produkte mit negativen Faktoren sind positiv)

Nach dem Satz „Multiplikation mit negativer Zahl“ folgt aus und , dass ist. Es ist also .

Quadrate von Zahlen ungleich 0 sind positiv[Bearbeiten]

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Satz (Quadrate von Zahlen ungleich 0 sind positiv)

Alle Quadrate für Zahlen sind positiv.

Zusammen mit folgt aus dem obigen Satz direkt, dass Quadratzahlen nicht negativ sind. Da wir im Kapitel „Folgerungen aus den Körperaxiomen“ bewiesen haben, dass ein Produkt von reellen Zahlen genau dann gleich Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist, gilt zusätzlich die Äquivalenz . Damit und aus dem obigen Satz folgt die Äquivalenz .

Außerdem kann mit diesem Satz bewiesen werden, dass eine positive Zahl ist. Es ist nämlich und damit ist eine Quadratzahl. Nach den Körperaxiomen ist und damit folgt aus obigem Satz, dass eine positive Zahl sein muss.

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Beweis (Quadrate von Zahlen ungleich 0 sind positiv)

Fall 1:

Aus dem Satz zur Multiplikation mit positiven Zahlen folgt aus , dass , also ist.

Fall 2:

Mit folgt aus dem Satz zur Multiplikation mit negativen Zahlen, dass ist und damit .

Inverses und Kleiner-Relation[Bearbeiten]

Inverse haben gleiches Vorzeichen[Bearbeiten]

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Satz (Inverse positiver Zahlen sind positiv)

Es ist genau dann , wenn .

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Beweis (Inverse positiver Zahlen sind positiv)

Fall 1:

Wegen ist und damit positiv, weil wir bereits gezeigt haben, dass Quadrate von Zahlen ungleich 0 positiv sind. Es folgt damit nach dem Satz zur Multiplikation mit positiver Zahlen, dass ist. Nun ist und und damit .

Fall 2:

Aus dem ersten Fall folgt aus , dass ist. Wegen ist somit .

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Satz (Inverse negativer Zahlen sind negativ)

Es ist genau dann , wenn ist.

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Beweis (Inverse negativer Zahlen sind negativ)

Sei eine negative Zahl, also . Aus der eben bewiesenen Äquivalenz wissen wir, dass nicht positiv sein kann (sonst müsste ja auch positiv sein). ist aber auch nicht 0, weil sonst wäre. Also muss negativ sein aufgrund der Trichotomie der Kleiner-Relation. Analog kann man von der Negativität von auf die Negativität von schließen.

Kleiner-Relation und Inversenbildung[Bearbeiten]

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Satz (Kleiner-Relation und Inversenbildung)

Für alle gilt:

  • .
  • .
  • .
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Beweis (Kleiner-Relation und Inversenbildung)

Beweisschritt 1:

Wegen gilt sowohl als auch (Transitivität der Kleiner-Relation). Da sowohl als auch positiv sind, ist auch ihr Produkt positiv (Abgeschlossenheit der Positivität bezüglich Multiplikation). Es gilt also: . Somit gilt aber auch: (Inverse haben gleiches Vorzeichen). Aus dem Satz zur Multiplikation mit einer positiven Zahl folgt nun: . Wegen und ist deshalb . Da außerdem Inverse stets dieselben Vorzeichen haben (Siehe Beweis zum Satz ), ist .

Beweisschritt 2:

Sei . Nach dem ersten Beweisschritt ist damit . Da und ist, ist damit .

Beweisschritt 3:

Sei . Aus der Transitivität der Kleiner-Relation folgt, dass sowohl als auch ist. Aus dem Satz „Produkte mit negativen Faktoren sind positiv“ folgt, dass ihr Produkt positiv ist. Es gilt also: . Somit ist auch: (Inverse haben gleiches Vorzeichen).

Aus dem Satz zur Multiplikation mit einer positiven Zahl folgt nun aus und , dass . Wegen und ist deshalb . Da und negativ sind (Inverse haben gleiches Vorzeichen), ist damit .

Beweisschritt 4:

Sei . Aus dem dritten Beweisschritt folgt . Mit und folgt .

Beweisschritt 5:

In diesem Fall findet hingegen keine Umkehrung der Kleiner-Relation. Der Grund dafür ist, dass und ungleiches Vorzeichen haben. wird nämlich als negativ vorausgesetzt und als positiv. Da Inverse, wie bereits bewiesen, ihr Vorzeichen beibehalten, gilt und . Aus der Transitivität der Kleiner-Relation folgt somit, dass ist. Insgesamt folgt also:

Beweisschritt 6:

Dies folgt aus dem fünften Beweisschritt. Nach diesem gilt . Mit und folgt die zu zeigende Aussage.