Folgerungen der Anordnungsaxiome – „Mathe für Nicht-Freaks“

Ähnlich wie bei den Körperaxiomen beweisen wir nun erste kleinere Sätze, die direkt auf den Anordnungsaxiomen aufbauen. Insbesondere werden wir die charakteristischen Eigenschaften der Kleiner-Relation beweisen, die wir bereits im Abschnitt „Herleitung der Anordnungsaxiome“ erwähnt haben.

Übersicht zu den Folgen der Anordnungsaxiome

In diesem Kapitel werden wir zeigen, dass folgende Aussageformen allgemeingültig in $ℝ$ sind:

• Eigenschaften der Kleiner-Relation:
  • Trichotomie: $x<y\dot{\vee }x=y\dot{\vee }x>y$
  • Transitivität: $x<y\wedge y<z⟹x<z$
  • Translationsinvarianz: $x<y⟺x+a<y+a$
• Addition / Negatives und Kleiner-Relation:
  • $x<y\wedge a<b⟹x+a<y+b$
  • $x<y⟺-y<-x$
• Multiplikation und Kleiner-Relation:
  • $0<a\wedge x<y⟹ax<ay$
  • $0\le x<y\wedge 0\le a<b⟹ax<by$
  • $x<y\wedge a<0⟹ay<ax$
  • $x<0\wedge y<0⟹0<xy$
  • $x\ne 0⟹x^2>0$
• Inverses und Kleiner-Relation:
  • $0<x⟺0<x^{-1}$
  • $x<0⟺x^{-1}<0$
  • $0<x<y⟺0<y^{-1}<x^{-1}$
  • $x<y<0⟺y^{-1}<x^{-1}<0$
  • $x<0<y⟺x^{-1}<0<y^{-1}$
• Bernoulli-Ungleichung:
  • $x\ge -1\wedge n\in \mathbb{N}⟹(1+x{)}^n\ge 1+n\cdot x$

Die Bernoulli-Ungleichung $(1+x{)}^n\ge 1+n\cdot x$ werden wir im Kapitel zur „Bernoulli-Ungleichung“ beweisen.

Eigenschaften der Kleiner-Relation

Trichotomie

Satz (Trichotomie der Kleiner-Relation)

Für alle reellen Zahlen $x$ und $y$ ist entweder $x<y$, $x=y$ oder $y<x$. Es gilt also:

$\mathrm{\forall }x,y\in ℝ:x<y\dot{\vee }x=y\dot{\vee }x>y$

Beweis (Trichotomie der Kleiner-Relation)

Mit Hilfe der Äquivalenz $x<y\iff 0<y-x$ können wir die zu beweisende Aussage

$\mathrm{\forall }x,y:x<y\dot{\vee }x=y\dot{\vee }y<x$

umformen zu

$\mathrm{\forall }x,y:0<y-x\dot{\vee }0=y-x\dot{\vee }0<x-y=-(y-x)$

Für gegebene $x$ und $y$ müssen wir also beweisen, dass $0<y-x\dot{\vee }0=y-x\dot{\vee }0<-(y-x)$. Durch das Setzen von $z=y-x$ erhalten wir die zu beweisende Aussage

$0<z\dot{\vee }0=z\dot{\vee }0<-z$

Dies ist aber gerade die Trichotomie der Positivität, welche wir in den Anordnungsaxiomen gegeben haben und damit wahr ist. Insgesamt haben wir so den Satz bewiesen.

Transitivität

Satz (Transitivität der Kleiner-Relation)

Für alle $x$, $y$ und $z$ gilt

$x<y\wedge y<z\Rightarrow x<z$

Die Transitivitätseigenschaft der Kleiner-Relation rechtfertigt es, Ungleichungsketten wie

$x_1<x_2<\dots <x_n$

zu schreiben. Wegen der Transitivität folgt dann nämlich auch $x_1<x_n$.

Beweis (Transitivität der Kleiner-Relation)

Sei $x<y$ und $y<z$. Nach Definition der Kleiner-Relation gilt damit $0<y-x$ und $0<z-y$. Wegen der Abgeschlossenheit der Positivität bezüglich der Addition ist damit auch

$0<(y-x)+(z-y)=z-x$

Damit ist aber auch $x<z$ nach Definition der Kleiner Relation.

Translationsinvarianz

Translationsinvarianz der Kleiner-Relation.

Satz (Translationsinvarianz der Kleiner-Relation)

Für alle reellen Zahlen $x$, $y$ und $a$ ist

$x<y⟺x+a<y+a$

Beweis (Translationsinvarianz der Kleiner-Relation)

Es ist

$\begin{array}{c}\begin{array}{ccccc}& x& <& y& |x<y⟺0<y-x\\ ⟺& 0& <& y-x& |y-x=y-a+a-x\\ ⟺& 0& <& y-a+a-x& |y+a-a-x=(y+a)-(x+a)\\ ⟺& 0& <& (y+a)-(x+a)& |w<u⟺0<u-w\\ ⟺& x+a& <& y+a\end{array}\end{array}$

Addition / Negatives und Kleiner-Relation

Monotonie der Addition

Satz (Monotonie der Addition)

Aus $x<y$ und $a<b$ folgt $x+a<y+b$.

Beweis (Monotonie der Addition)

Aus $x<y$ folgt wegen der Translationsinvarianz der Kleiner-Relation $x+a<y+a$. Aus $a<b$ folgt analog $y+a<y+b$. Es ist also $x+a<y+a<y+b$. Aus der Transitivität folgt nun $x+a<y+b$.

Alternativer Beweis (Monotonie der Addition)

Aus $x<y$ und $a<b$ folgt aus der Definition der Kleiner-Relation $0<y-x$ und $0<b-a$. Nun sind nach den Anordnungsaxiomen die positiven Zahlen abgeschlossen bezüglich der Addition. Aus $0<y-x$ und $0<b-a$ folgt damit $0<(y-x)+(b-a)=(y+b)-(x+a)$. Nun wenden wir nochmals (allerdings in umgekehrter Richtung) die Definition der Kleiner-Relation an, so dass aus $0<(y+b)-(x+a)$ die Ungleichung $x+a<y+b$ folgt. Damit ist der Satz bewiesen.

Spiegelung bei Bildung des Negativen

Satz (Spiegelung bei Bildung des Negativen)

Es ist genau dann $x<y$, wenn $-y<-x$ ist.

Beweis (Spiegelung bei Bildung des Negativen)

$\begin{array}{c}\begin{array}{ccccc}& x& <& y& |x<y\iff 0<y-x\\ \iff & 0& <& y-x& |y=-(-y)\\ \iff & 0& <& -x-(-y)& |a<b\iff 0<b-a\\ \iff & -y& <& -x\end{array}\end{array}$

Alternativer Beweis (Spiegelung bei Bildung des Negativen)

Sei $a=-x-y$. Es ist

$\begin{array}{c}\begin{array}{ccccc}& x& <& y& |\text{Translationsinvarianz der Kleiner-Relation}\\ \iff & x+a& <& y+a& |\text{a = -x -y}\\ \iff & x+(-x-y)& <& y+(-x-y)& |\text{Kommutativ- und Assoziativgesetz der Addition}\\ \iff & (x+(-x))-y& <& (y+(-y))-x& |\text{Addition einer Zahl mit ihrem Negativen ergibt Null}\\ \iff & 0-y& <& 0-x& |\text{Nulleigenschaft}\\ \iff & -y& <& -x\end{array}\end{array}$

Multiplikation und Kleiner-Relation

Multiplikation mit positiver Zahl

Satz (Multiplikation mit positiver Zahl)

Ist $0<a$ und $x<y$, dann ist auch $ax<ay$.

Die Multiplikation mit einer positiven Zahl erhält also die Ungleichungsrelation.

Beweis (Multiplikation mit positiver Zahl)

Aus der Definition der Kleiner-Relation folgt aus $x<y$ die Ungleichung $0<y-x$. Weil die Mulitplikation bezüglich der Positivität abgeschlossen und $0<a$ ist, ist auch $0<a\cdot (y-x)$. Also $0<ay-ax$. Daraus folgt nach der Definition der Kleiner-Relation $ax<ay$.

Monotonie der Multiplikation mit nicht-negativen Zahlen

Satz (Monotonie der Multiplikation mit nicht-negativen Zahlen)

Aus $0\le x<y$ und $0\le a<b$ folgt $ax<by$.

Beweis (Monotonie der Multiplikation mit nicht-negativen Zahlen)

Fall 1: $x=0$ oder $a=0$

In diesem Fall ist $ax=0$. Es muss also bewiesen werden, dass $0<by$ ist. Jedoch ist nach Voraussetzung $0<y$ und $0<b$. $0<by$ folgt nun aus der Abgeschlossenheit der Positivität bezüglich der Multiplikation, welche in den Anordnungsaxiomen definiert wurde.

Fall 2: $0<x$ und $0<a$

Wegen $0<a$ und $x<y$ ist nach dem vergangenem Satz $ax<ay$. Gleichzeitig folgt aus $0<y$ und $a<b$ analog $ay<by$. Ingesamt haben wir $ax<ay<by$ und damit insgesamt $ax<by$.

Multiplikation mit negativer Zahl

Satz (Multiplikation mit negativer Zahl)

Aus $x<y$ und $a<0$ folgt $ay<ax$.

Beweis (Multiplikation mit negativer Zahl)

Nach dem Satz über die Spiegelung folgt aus $a<0$, dass $0<-a$ ist. Nach dem Satz zur Multiplikation mit positiven Zahlen ist dann $-a\cdot x<-a\cdot y$. Nun können wir wieder den Satz zur Spiegelung anwenden und erhalten $-(-a\cdot y)<-(-a\cdot x)$ und damit $ay<ax$, weil $-(-a)=a$ ist.

Produkte mit negativen Faktoren sind positiv

Satz (Produkte mit negativen Faktoren sind positiv)

Aus $x<0$ und $y<0$ folgt $0<xy$.

Beweis (Produkte mit negativen Faktoren sind positiv)

Nach dem Satz „Multiplikation mit negativer Zahl“ folgt aus $x<0$ und $y<0$, dass $0\cdot y<x\cdot y$ ist. Es ist also $0<xy$.

Quadrate von Zahlen ungleich 0 sind positiv

Satz (Quadrate von Zahlen ungleich 0 sind positiv)

Alle Quadrate $x^2$ für Zahlen $x\ne 0$ sind positiv.

Zusammen mit $0^2=0$ folgt aus dem obigen Satz direkt, dass Quadratzahlen nicht negativ sind. Da wir im Kapitel „Folgerungen aus den Körperaxiomen“ bewiesen haben, dass ein Produkt von reellen Zahlen genau dann gleich Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist, gilt zusätzlich die Äquivalenz $x\ne 0⟺x^2\ne 0$. Damit und aus dem obigen Satz folgt die Äquivalenz $x\ne 0⟺0<x^2$.

Außerdem kann mit diesem Satz bewiesen werden, dass $1$ eine positive Zahl ist. Es ist nämlich $1=1\cdot 1$ und damit ist $1$ eine Quadratzahl. Nach den Körperaxiomen ist $1\ne 0$ und damit folgt aus obigem Satz, dass $1$ eine positive Zahl sein muss.

Beweis (Quadrate von Zahlen ungleich 0 sind positiv)

Fall 1: $x>0$

Aus dem Satz zur Multiplikation mit positiven Zahlen folgt aus $x>0$, dass $x\cdot x>x\cdot 0$, also $x^2>0$ ist.

Fall 2: $x<0$

Mit $x<0$ folgt aus dem Satz zur Multiplikation mit negativen Zahlen, dass $x\cdot x>x\cdot 0$ ist und damit $x^2>0$.

Inverses und Kleiner-Relation

Inverse haben gleiches Vorzeichen

Satz (Inverse positiver Zahlen sind positiv)

Es ist genau dann $0<x$, wenn $0<x^{-1}$.

Beweis (Inverse positiver Zahlen sind positiv)

Fall 1: $0<x\Rightarrow 0<x^{-1}$

Wegen $0<x$ ist $x^{-1}\ne 0$ und damit $x^{-2}:=x^{-1}\cdot x^{-1}$ positiv, weil wir bereits gezeigt haben, dass Quadrate von Zahlen ungleich 0 positiv sind. Es folgt damit nach dem Satz zur Multiplikation mit positiver Zahlen, dass $0\cdot x^{-2}<x\cdot x^{-2}$ ist. Nun ist $0\cdot x^{-2}=0$ und $x\cdot x^{-2}=x^{-1}$ und damit $0<x^{-1}$.

Fall 2: $0<x^{-1}\Rightarrow 0<x$

Aus dem ersten Fall folgt aus $0<x^{-1}$, dass $0<{\left(x^{-1}\right)}^{-1}$ ist. Wegen ${\left(x^{-1}\right)}^{-1}=x$ ist somit $0<x$.

Satz (Inverse negativer Zahlen sind negativ)

Es ist genau dann $x<0$, wenn $x^{-1}<0$ ist.

Beweis (Inverse negativer Zahlen sind negativ)

Sei $x$ eine negative Zahl, also $x<0$. Aus der eben bewiesenen Äquivalenz $0<a\iff 0<a^{-1}$ wissen wir, dass $x^{-1}$ nicht positiv sein kann (sonst müsste ja $x$ auch positiv sein). $x^{-1}$ ist aber auch nicht 0, weil sonst $1=x\cdot x^{-1}=x\cdot 0$ wäre. Also muss $x^{-1}$ negativ sein aufgrund der Trichotomie der Kleiner-Relation. Analog kann man von der Negativität von $x^{-1}$ auf die Negativität von $x$ schließen.

Kleiner-Relation und Inversenbildung

Satz (Kleiner-Relation und Inversenbildung)

Für alle $x,y\in ℝ$ gilt:

• $0<x<y⟺y^{-1}<x^{-1}$.
• $x<y<0⟺y^{-1}<x^{-1}$.
• $x<0<y⟺x^{-1}<0<y^{-1}$.

Beweis (Kleiner-Relation und Inversenbildung)

Beweisschritt 1: $0<x<y⟹0<y^{-1}<x^{-1}$

Wegen $0<x<y$ gilt sowohl $0<x$ als auch $0<y$ (Transitivität der Kleiner-Relation). Da sowohl $x$ als auch $y$ positiv sind, ist auch ihr Produkt positiv (Abgeschlossenheit der Positivität bezüglich Multiplikation). Es gilt also: $0<xy$. Somit gilt aber auch:$0<(xy{)}^{-1}=x^{-1}{y}^{-1}$ (Inverse haben gleiches Vorzeichen). Aus dem Satz zur Multiplikation mit einer positiven Zahl folgt nun: $x\cdot \left(x^{-1}{y}^{-1}\right)<y\cdot \left(x^{-1}{y}^{-1}\right)$. Wegen $x\cdot \left(x^{-1}{y}^{-1}\right)=y^{-1}$ und $y\cdot \left(x^{-1}{y}^{-1}\right)=x^{-1}$ ist deshalb $y^{-1}<x^{-1}$. Da außerdem Inverse stets dieselben Vorzeichen haben (Siehe Beweis zum Satz $0<x⟹0<x^{-1}$), ist $0<y^{-1}<x^{-1}$.

Beweisschritt 2: $0<y^{-1}<x^{-1}⟹0<x<y$

Sei $0<y^{-1}<x^{-1}$. Nach dem ersten Beweisschritt ist damit $0<{\left(x^{-1}\right)}^{-1}<{\left(y^{-1}\right)}^{-1}$. Da ${\left(x^{-1}\right)}^{-1}=x$ und ${\left(y^{-1}\right)}^{-1}=y$ ist, ist damit $0<x<y$.

Beweisschritt 3: $x<y<0⟹y^{-1}<x^{-1}<0$

Sei $x<y<0$. Aus der Transitivität der Kleiner-Relation folgt, dass sowohl $y<0$ als auch $x<0$ ist. Aus dem Satz „Produkte mit negativen Faktoren sind positiv“ folgt, dass ihr Produkt positiv ist. Es gilt also: $0<xy$. Somit ist auch: $0<(xy{)}^{-1}=x^{-1}{y}^{-1}$ (Inverse haben gleiches Vorzeichen).

Aus dem Satz zur Multiplikation mit einer positiven Zahl folgt nun aus $x<y$ und $0<x^{-1}{y}^{-1}$, dass $x\cdot \left(x^{-1}{y}^{-1}\right)<y\cdot \left(x^{-1}{y}^{-1}\right)$. Wegen $x\cdot \left(x^{-1}{y}^{-1}\right)=y^{-1}$ und $y\cdot \left(x^{-1}{y}^{-1}\right)=x^{-1}$ ist deshalb $y^{-1}<x^{-1}$. Da $y^{-1}$ und $x^{-1}$ negativ sind (Inverse haben gleiches Vorzeichen), ist damit $y^{-1}<x^{-1}<0$.

Beweisschritt 4: $y^{-1}<x^{-1}<0⟹x<y<0$

Sei $y^{-1}<x^{-1}<0$. Aus dem dritten Beweisschritt folgt ${\left(x^{-1}\right)}^{-1}<{\left(y^{-1}\right)}^{-1}<0$. Mit ${\left(x^{-1}\right)}^{-1}=x$ und ${\left(y^{-1}\right)}^{-1}=y$ folgt $x<y<0$.

Beweisschritt 5: $x<0<y⟹x^{-1}<0<y^{-1}$

In diesem Fall findet hingegen keine Umkehrung der Kleiner-Relation. Der Grund dafür ist, dass $x$ und $y$ ungleiches Vorzeichen haben. $x$ wird nämlich als negativ vorausgesetzt und $y$ als positiv. Da Inverse, wie bereits bewiesen, ihr Vorzeichen beibehalten, gilt $x^{-1}<0$ und $0<y^{-1}$. Aus der Transitivität der Kleiner-Relation folgt somit, dass $x^{-1}<y^{-1}$ ist. Insgesamt folgt also: $x<0<y⟹x^{-1}<0<y^{-1}$

Beweisschritt 6: $x^{-1}<0<y^{-1}⟹x<0<y$

Dies folgt aus dem fünften Beweisschritt. Nach diesem gilt $x^{-1}<0<y^{-1}⟹{\left(x^{-1}\right)}^{-1}<0<{\left(y^{-1}\right)}^{-1}$. Mit ${\left(x^{-1}\right)}^{-1}=x$ und ${\left(y^{-1}\right)}^{-1}=y$ folgt die zu zeigende Aussage.