Intervall – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Nachdem wir in den vergangenen Kapiteln die Anordnungsaxiome eingeführt haben, können wir jetzt auch den Begriff des Intervalls definieren.

Überblick zu den Intervallen

Begriff	Schreibweise	Definition	Bild
(ab)geschlossenes Intervall oder kompaktes Intervall	$[a,b]$	$\{x\in \mathbb {R} :a\leq x\leq b\}$
offenes Intervall	$(a,b)$ oder $]a,b[$	$\{x\in \mathbb {R} :a<x<b\}$
halboffenes (genauer: rechtsoffenes) Intervall	$[a,b)$ oder $[a,b[$	$\{x\in \mathbb {R} :a\leq x<b\}$
halboffenes (genauer: linksoffenes) Intervall	$(a,b]$ oder $]a,b]$	$\{x\in \mathbb {R} :a<x\leq b\}$

Eine runde Klammer beziehungsweise eine nach außen stehende eckige Klammer zeigt an, dass dieser Randpunkt nicht Element des Intervalls ist. Bei einer nach innen zeigenden eckigen Klammer ist der Randpunkt Teil des Intervalls:

Beispiel (Intervalle)

• ${\color {Red}[}1,2{\color {Red}]}=\{x\in \mathbb {R} :1\,{\color {Red}\leq }\,x\,{\color {Red}\leq }\,2\}$
• ${\color {Red}[}1,2{\color {OliveGreen})}=\{x\in \mathbb {R} :1\,{\color {Red}\leq }\,x\,{\color {OliveGreen}<}\,2\}$
• ${\color {OliveGreen}]}1,2{\color {Red}]}=\{x\in \mathbb {R} :1\,{\color {OliveGreen}<}\,x\,{\color {Red}\leq }\,2\}$
• ${\color {OliveGreen}]}1,2{\color {OliveGreen}[}=\{x\in \mathbb {R} :1\,{\color {OliveGreen}<}\,x\,{\color {OliveGreen}<}\,2\}$

Dir ist dabei freigestellt, welche der beiden Schreibweisen du benutzt. Die Schreibweise $(a,b)$ hat den Nachteil, dass das Intervall mit dem geordneten Paar $(a,b)$ verwechselt werden kann, ist aber weiter verbreitet und die traditionelle Schreibweise des offenen Intervalls (vor allem im englischsprachigen Kulturraum wird diese Schreibweise eingesetzt).

Demgegenüber besteht bei der Notation $]a,b[$ keine Verwechslungsgefahr mit dem geordneten Paar. Diese Notation wurde im Übrigen von Nicolas Bourbaki eingeführt, einem französischen Autorenkollektiv, das Anfang des 20. Jahrhunderts in vier Lehrbüchern das bestehende mathematische Wissen stringent zusammenfasste.

Zur Unterscheidung zwischen offenen und abgeschlossenen Intervallen

Ein offenes Intervall $(a,b)$ und ein abgeschlossenes Intervall $[a,b]$ unterscheiden sich dahingehend, dass bei dem offenen Intervall $(a,b)$ die Randpunkte $a$ und $b$ keine Elemente des Intervalls sind, während dies beim abgeschlossenen Intervall $[a,b]$ schon der Fall ist. Dies ist auch der wesentliche Unterschied zwischen beiden Intervalltypen, der alle weiteren Unterschiede erklärt.

Dieser Unterschied begründet auch die Benennung der einzelnen Intervalle. In der Topologie heißt nämlich eine Menge genau dann offen, wenn keiner ihrer Randpunkte ein Element von der Menge ist. Weiterhin ist eine Menge abgeschlossen, wenn sie alle ihre Randpunkte enthält. Offene und abgeschlossene Mengen werden in der Topologie genauer studiert.

Uneigentliche Intervalle

Es ist auch möglich, dass ein Intervall nur zu einer Seite hin begrenzt ist. Ein solches Intervall wird dann uneigentliches Intervall genannt:

Schreibweise	Definition	Bild
$(-\infty ,a]$ oder $]-\infty ,a]$	$\{x\in \mathbb {R} :x\leq a\}$
$(-\infty ,a)$ oder $]-\infty ,a[$	$\{x\in \mathbb {R} :x<a\}$
$[a,\infty )$ oder $[a,\infty [$	$\{x\in \mathbb {R} :x\geq a\}$
$(a,\infty )$ oder $]a,\infty [$	$\{x\in \mathbb {R} :x>a\}$

Hinweis

Beachte bitte, dass hier das Zeichen $\infty$ in einem ganz genau definierten Kontext steht (keine untere bzw. obere Grenze für $x$). Man kann mit diesem Zeichen nicht wie mit normalen reellen Zahlen rechnen!