Tupel und geordnetes Paar – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Aus Wikibooks
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Geordnetes Paar [Bearbeiten]

Zweidimensionales Koordinatensystem der reellen Zahlen

Geordnete Paare begegnen uns bereits auf der Schule: sie werden benötigt, um Koordinaten anzugeben, zum Beilspiel beim "Schiffe versenken". Um ein Feld auf dem 10 mal 10 großen Spielfeld zu bestimmen, werden zwei Angaben benötigt: die Zeile und die Spalte. Zeilen sind hier mit einem großen Buchstaben benannt, Spalten haben Nummern . Wird vom Gegener das Feld aufgerufen, ist das Dreier-Schiff versenkt:

Spielfeld Schiffe versenken

Ein anderes Beispiel ist das zweidimensionale Koordinatensystem für die reellen Zahlen, in dem die Punkte durch ein Paar reeller Zahlen angegeben werden. Dabei ist die Reihenfolge der Koordinaten wichtig! Der Punkt ist ein anderer als der Punkt . Es dürfen auch beide Koordinaten gleich sein, das ist beispielsweise beim Ursprung des Koordinatensystems der Fall.

Definition (Geordnetes Paar)

bezeichnet das geordnete Paar aus den Objekten und . Dabei ist die erste oder linke Komponente, die zweite oder rechte Komponente. Zwei geordnete Paare sind sind nur dann gleich, wenn beide Komponenten gleich sind:

Für geordnete Paare werden oft auch spitze Klammern oder andere besondere Klammern verwendet.

Warnung

Das geordnete Paar darf nicht mit der Zweiermenge verwechselt werden! Während bei geordneten Paaren die Reihenfolge relevant ist und beispielsweise , spielt die Reihenfolge in der Menge keine Rolle. Hier ist .

Verständnisfrage: Welche Bedingungen müssen für und gelten, damit folgende Paare gleich sind?

  1. und
  2. und
  3. und

Antwort:

  1. Es ist genau dann, wenn und .
  2. Es ist genau dann, wenn .
  3. Es ist, da anderenfalls und gelten müsste.

n-Tupel [Bearbeiten]

Dreidimensionales Koordinatensystem

Der Begriff des geordneten Paares lässt sich verallgemeinern. Werden drei Komponenten betrachtet, erhält man Tripel, mit vier Komponenten Quadrupel, usw. Allgemein kann man zu jeder natürlichen Zahl sogenannte -Tupel betrachten. Sie sollen die folgende Bedingung erfüllen:

Zwei -Tupel sind nur dann gleich, wenn sie komponentenweise gleich sind, formalisiert:

n-Tupel lassen sich mit Hilfe von geordneten Paaren darstellen. Für 3-Tupel setzt man , für 4-Tupel , usw. So kann man schrittweise für alle natürlichen Zahlen n-Tupel erklären. Sind n-Tupel definiert, erzeugt man (n+1)-Tupel durch: . Diese Art der Definition wird rekursiv genannt:

Definition (Rekursive Definition der -Tupel ())

Rekursionsanfang: Für sei das 2-Tupel das geordnete Paar.

Rekursionsschritt: Seien -Tupel bereits definiert. Dann definieren wir -Tupel durch:

Wir müssen nun nachweisen, dass diese Definition tatsächlich das leistet, was wir von -Tupeln erwarten. Nämlich das zwei -Tupel nur dann gleich sind, wenn alle Komponenten des Tupels gleich sind.

Satz

Für zwei -Tupel gilt:

Beweis

Induktion über :

Induktionsanfang: Für folgt die Behauptung aus der Definition des geordneten Paares.

Induktionsschritt: Die Behauptung gelte für . Dann folgt für :

Beweisende ✔

Alternative Definition der Tupel[Bearbeiten]

Die Definition der -Tupels mit Hilfe des geordneten Paares hat zur Folge, dass jedes -Tupel ein geordnetes Paar ist. Für die meisten Zwecke ist das nicht störend und die gesamte elementare Theorie der Relationen und Funktionen können darauf aufgebaut werden. Es gibt aber auch eine schärfere Tupel-Definition, die eine zusätzliche Forderung an die Gleicheit von Tupeln stellt:

Definition (Alternative Definition der Gleicheit von Tupeln)

Zwei Tupel beliebiger Stellenzahl sind dann und nur dann gleich, wenn sie

  1. dieselbe Stellenzahl haben und
  2. komponentenweise gleich sind. Formalisiert: