Eine weitere wichtige Verknüpfung zwischen Mengen ist die Vereinigung. Die Vereinigung zweier Mengen ist diejenige Menge, die alle Elemente beider Mengen enthält. Ein Element
ist also genau dann in der Vereinigung von
und
, wenn
in
und/oder
in
ist. Die Vereinigung wird durch
gekennzeichnet (ausgesprochen: „
vereinigt
“). Im Mengendiagramm ist die Vereinigung der gesamte Flächeninhalt beider Mengen:
Auch hier ist die Ähnlichkeit von
mit der Disjunkten
, also dem logischen „oder“ beabsichtigt. Es ist nämlich
Mit Erklärungen:
Insgesamt ergibt sich folgende Definition der Vereinigung:
Verständnisfrage: Impliziert
die Gleichheit der Mengen B und C?
Vereinigung zweier Polygonmengen
Beispiel (Vereingung)




Erklärungen:
- Beispiel 1 und 2: Die Vereinigungsmenge umfasst alle Elemente der beiden Mengen zusammengefasst.
- Beispiel 3: Jede rationale Zahl ungleich null ist entweder positiv oder negativ. Null ist die einzige rationale Zahl, die weder positiv noch negativ ist.
- Beispiel 4: Jede natürliche Zahl ist entweder gerade oder ungerade.
Eigenschaften der Vereinigungsmenge[Bearbeiten]
Hier die wichtigsten Eigenschaften der Vereinigung:
Dieses Eigenschaften lassen sich leicht auf die Definition und die entsprechenden Gesetze der Logik zurückführen.
Beweis (Eigenschaften der Vereinigungsmenge)
-
Es ist
-
Es ist
-
Es ist
-
Es ist
-
Es ist
Verständnisfrage: Warum gilt:
und 
Hinweis: Nutze die Definition von
und das Abstraktionsprinzip von Mengen.
Es gilt
. Wie in der vorangehenden Frage gezeigt, gilt nämlich
.
Disjunkte Vereinigung[Bearbeiten]
Beispiel einer disjunkten Vereinigung
Möchte ein Autor deutlich machen, dass die vereinigten Mengen keine gemeinsamen Elemente haben, so schreibt er in der Regel
(ausgesprochen: „
disjunkt vereinigt mit
“). Mengen ohne gemeinsame Elemente nennt man im Übrigen „disjunkte Mengen“. Der Operator
wird disjunkte Vereinigung genannt.
ist also nichts anderes als die normale Vereinigung
, mit dem einzigen Unterschied, dass bei der Schreibweise
der Durchschnitt der Mengen
und
leer ist.
Wozu braucht man die disjunkte Vereinigung? Manchmal ist es notwendig zu wissen, dass eine Menge die Vereinigung bestimmter disjunkter Mengen ist. Mit der disjunkten Vereinigung kann man dies kurz und knapp ausdrücken.
Schauen wir uns das ganz an einem Beispiel an. Folgende Formel könnte dir im ersten Semester begegnen (man benutzt sie, um die Ordnung der reellen Zahlen zu beschreiben):
Mit Erklärung:
Ohne die disjunkte Vereinigung könnte man auch schreiben:
Obige Formel mit der disjunkten Vereinigung ist kürzer und deswegen wird sie auch in der Mathematik verwendet.
Definition (disjunkte Vereinigung)
Die Schreibweise
ist eine Abkürzung für
wird dabei disjunkte Vereinigung genannt.
So wie wir einen großen Durchschnitt definiert haben, so definieren wir nun eine große Vereinigung. Dazu betrachten wir eine Menge
, deren Elemente genau die Mengen sind, über die wir die Vereinigung bilden wollen. Wir sammeln also alle die Objekte ein, die in (wenigstens) einem Element von
enthalten sind.
Beispiel (Vereinigung über
)
Sei
mit
Dann ist die Vereinigung über
gleich die Menge
.
Besteht
aus den zwei Mengen
und
, so liegen in der Vereinigung über M alle Objekte, die in A oder in B liegen. Und das ist gerade
. Die "kleine" Vereinigung
ist also ein Spezialfall der großen Vereinigung
.
Definition (Große Vereinigung)
Die Vereinigung über der Menge
ist die Menge aller Objekte, die Element in einem Element von
sind:
Antwort:
. Wir halten uns an die Definition von
und erhalten:
. Der linke Teil
der Konjunktion ist immer falsch, die Konjunktion selbst also auch und damit auch die Existenzaussage. Deswegen können wir die Existenzaussage durch
ersetzen und die Gleichungskette fortsetzen:
.
- Da wir ja bisher nicht festgelegt haben, welche Objekte zur Allklasse gehören sollen, wissen wir nicht genau, welche Mengen zu
gehören. Deren Elemente sollen wir ja für die Vereinigung einsammeln. Mehr dazu gibt es im Kapitel Axiomatische Mengenlehre.
In der Mathematik ist noch eine andere Schreibweise für die großen Vereinigung üblich.

ist genau dasselbe wie

.
ist eine Variable und steht für die Elemente von
. Sie kann beliebig umbenannt werden, z. B. in
:
. Entscheidend ist die Menge
, mit deren Elementen wird die Vereinigung gebildet. Wenn die Elemente der Menge
indiziert sind, also
, mit
, ist auch die folgende Schreibweise üblich:
.