Durchschnitt von Mengen – „Mathe für Nicht-Freaks“

In diesem und im nächsten Kapitel möchten wir dir den Durchschnitt beziehungsweise die Vereinigung von Mengen vorstellen, welche in Würdigung der Arbeiten von George Boole auch Boolsche Operatoren genannt werden.

Definition

Erklärungen zum Durchschnitt und zur Vereinigung. (Youtube-Video der KhanAcademyDeutsch)

Der Durchschnitt zweier Mengen $A$ und $B$ ist die Menge aller Objekte, die sowohl Elemente der Menge $A$ als auch der Menge $B$ sind. Ihr Symbol ist $\cap$. Die Schreibweise für den Schnitt zwischen zwei Mengen $A$ und $B$ ist $A\cap B$ und wird „$A$ geschnitten $B$“ ausgesprochen.

Im Mengendiagramm ist der Durchschnitt zweier Mengen gleich der Schnittfläche, der zu diesen beiden Mengen zugehörigen Flächen (hier die blaue Fläche):

Schnittmenge zweier Mengen

Dir wird vielleicht schon aufgefallen sein, dass das Symbol $\cap$ des Durchschnitts Ähnlichkeiten zur Konjunktion $\land$, also mit der logischen Verknüpfung für „und“ aufweist. Dies ist kein Wunder, denn $A\cap B$ bezeichnet alle Objekte, die Elemente von $A$ und $B$ sind. Die Verknüpfung $\cap$ wird in der Regel auch mit Hilfe der Konjunktion $\land$ definiert. Es ist nämlich

$A\cap B=\{x\,|\,x\in A\land x\in B\}$

Obige Formel mit Erklärungen:

$\underbrace {{\underset {}{}}A\cap B} _{\text{A geschnitten mit B}}\underbrace {{\underset {}{}}=} _{\text{ist}}\underbrace {{\underset {}{}}\{x\,|\,} _{{\text{die Menge aller }}x{\text{ für die gilt:}}}\underbrace {{\underset {}{}}x\in A} _{\text{x ist Element von A}}\underbrace {{\underset {}{}}\land } _{\text{und}}\underbrace {{\underset {}{}}x\in B} _{\text{x ist Element von B}}\}$

Damit können wir nun folgende Definition aufschreiben:

Definition (Durchschnitt)

Der Durchschnitt $A\cap B$ ist die Menge aller Objekte, die sowohl Elemente von $A$ als auch von $B$ sind:

$A\cap B:=\{x\,|\,x\in A\land x\in B\}$

Durchschnitt dreier Mengen

Es ist auch möglich, den Durchschnitt von mehr als zwei Mengen zu bilden. So bezeichnet $A\cap B\cap C$ die Menge aller Objekte, die sowohl in $A$ als auch in $B$ und in $C$ enthalten sind. Diese Menge kann gebildet werden, indem zunächst $A\cap B$ bestimmt wird, welche dann wiederum mit $C$ geschnitten wird. Es ist also

$A\cap B\cap C:=(A\cap B)\cap C$

Analog kann man den Schnitt von mehr als drei Mengen definieren.

Verständnisfrage: Impliziert $A\cap B=A\cap C$ die Gleichheit von B und C?

Nein. Betrachte zum Beispiel $A=\left\{1\right\}$, $B=\left\{1,2\right\}$ und $C=\left\{1,3\right\}$. Es ist $A\cap B=\{1\}=A\cap C$, aber es ist $B\neq C$.

Beispiele

Hier einige Beispiele für den Durchschnitt:

Beispiel (Durchschnitt)

1. $\{2,4,5,9\}\cap \{1,3,5,7,12\}=\{5\}$
2. $\{3,12,18\}\cap \{3,4,12,16,18\}=\{3,12,18\}$
3. $\mathbb {Z} \cap \mathbb {Q} ^{+}=\mathbb {N}$
4. $\{x\,|\,x{\text{ ist gerade}}\}\cap \{x\,|\,x{\text{ ist ungerade}}\}=\emptyset$

Erklärungen:

• Beispiel 1: $5$ ist die einzige Zahl, die Element sowohl der linken als auch der rechten Menge ist.
• Beispiel 2: Die erste Menge ist eine Teilmenge der zweiten Menge. Damit ist die Schnittmenge gleich der ersten Menge.
• Beispiel 3: Eine ganze Zahl, die auch eine positive rationale Zahl ist, muss eine natürliche Zahl sein. Umgekehrt sind alle natürlichen Zahlen sowohl ganze Zahlen als auch positive rationale Zahlen.
• Beispiel 4: Es gibt keine Zahl, die sowohl gerade als auch ungerade ist. Der Schnitt muss also leer sein.

Hier einige Durchschnittsmengen visualisiert durch Mengendiagramme:

• 
  Durchschnitt zweier Polygonmengen
• 
  Der Durchschnitt des griechischen, kyrillischen und lateinischen Alphabets sind die Buchstaben O, T, H, P, M, A, B, X, K, Y und E

Durchschnittsmenge bilden

Schnittmenge von zwei endlichen Mengen

Zunächst schauen wir uns an, wie du die Durchschnittsmenge von endlichen Mengen bilden kannst. Nehmen wir hier als Beispiel die beiden Mengen $A=\{3,6,9\}$ und $B=\{2,3,5,9\}$. Um den Durchschnitt $A\cap B$ zu bilden, gehst du alle Elemente von $A$ durch und überprüfst, ob sie auch Elemente von $B$ sind:

${\begin{aligned}A&=\{{\color {OliveGreen}3},6,{\color {BurntOrange}9}\}\\[0.3em]B&=\{2,{\color {OliveGreen}3},5,{\color {BurntOrange}9}\}\end{aligned}}$

Die gemeinsamen Elemente notierst du dann als Ergebnis von $A\cap B$:

$A\cap B=\{{\color {OliveGreen}3},{\color {BurntOrange}9}\}$

Verständnisaufgabe: Bilde folgende Mengen

• $\{3,-1,0,\pi \}\cap \{\pi ,1,42,3\}$
• $\{1,0,-1\}\cap \{1,0,-1\}$
• $\varnothing \cap \{2,3,4\}$
• $\varnothing \cap \varnothing$

Lösungen:

• $\{3,-1,0,\pi \}\cap \{\pi ,1,42,3\}=\{3,\pi \}$
• $\{1,0,-1\}\cap \{1,0,-1\}=\{1,0,-1\}$
• $\varnothing \cap \{2,3,4\}=\varnothing$
• $\varnothing \cap \varnothing =\varnothing$

Schnittmenge von mehreren endlichen Mengen

Stell dir nun vor, dass zusätzlich $C=\{7,8,9\}$ definiert ist und man $A\cap B\cap C$ bilden möchte. Hierzu bildet man zunächst $A\cap B$, was nach obigen Abschnitt gleich $\{3,9\}$ ist. Dann bildet man den Schnitt zwischen $A\cap B$ und $C$ wie wir es bereits oben gemacht haben:

${\begin{aligned}A\cap B&=\{3,{\color {BurntOrange}9}\}\\[0.3em]C&=\{7,8,{\color {BurntOrange}9}\}\end{aligned}}$

Man erhält das Ergebnis:

$A\cap B\cap C=\{{\color {BurntOrange}9}\}$

Unendliche Schnittmengen

Wenn du allgemein den Schnitt zweier Mengen bestimmen möchtest, dann mache dir klar, wie beide Mengen definiert sind:

• Was ist die charakteristische Eigenschaft für die Elemente der beiden Mengen?
• Welche Objekte sind in beiden Mengen enthalten, erfüllen also beide charakteristischen Eigenschaften?
• Kann es solche Objekte überhaupt geben?
• Ist die Schnittmenge eine bereits bekannte Menge?
• Ist es ein Intervall oder ein bestimmter Zahlenbereich wie $\mathbb {N}$ oder $\mathbb {Q} ^{+}$?

Wenn dir klar ist, wie die Schnittmenge aussieht, dann versuche diese, über eine Mengenschreibweise zu notieren. Mit der Zeit wirst du merken, dass dir die Schnittmengenbildung immer einfacher fallen wird.

Verständnisaufgabe: Bilde folgende Mengen

• $[-1,3]\cap [2,5]$ (Durchschnitt zweier Intervalle aus $\mathbb {R}$)
• $\mathbb {Q} ^{+}\cap \mathbb {Z}$
• $\mathbb {Q} ^{-}\cap \mathbb {N}$

Lösungen:

• $[-1,3]\cap [2,5]=[2,3]$
• $\mathbb {Q} ^{+}\cap \mathbb {Z} =\mathbb {N}$
• $\mathbb {Q} ^{-}\cap \mathbb {N} =\emptyset$

Diskussion: Was ist ${\mathcal {P}}(\mathbb {N} )\cap \mathbb {N}$ ?

Es gibt (mindestens) zwei mögliche Antworten:

• Wenn die natürlichen Zahlen keine Mengen sind, gilt: ${\mathcal {P}}(\mathbb {N} )\cap \mathbb {N} =\varnothing$, denn die Potenzmenge ${\mathcal {P}}(\mathbb {N} )$ enthält nur Mengen.
• Anders dagegen verhält es sich wenn die natürlichen Zahlen nach John von Neumann definiert werden, wie im Kapitel "Axiomatische Mengenlehre" beschrieben. Dann ist jede natürliche Zahl die Menge seiner Vorgänger und es gilt $\mathbb {N} \subseteq {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )$ und daraus folgt: ${\mathcal {P}}(\mathbb {N} )\cap \mathbb {N} =\mathbb {N}$.

Eigenschaften der Schnittmenge

Satz (Eigenschaften der Schnittmenge)

1. $A\cap B=B\cap A$ (Kommutativgesetz)
2. $(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$ (Assoziativgesetz)
3. $A\cap A=A$ (Idempotenz)
4. $A\cap {\mathcal {V}}=A$ (Neutralität der Allklasse)
5. $A\cap \varnothing =\varnothing$

Dieses Eigenschaften lassen sich leicht auf die Definition und die entsprechenden Gesetze der Logik zurückführen.

Beweis (Eigenschaften der Schnittmenge)

1. Es ist
   ${\begin{aligned}&A\cap B\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\cap }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in A\,\land \,x\in B\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Kommutativit{\ddot {a}}t\;von\;\land }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in B\,\land \,x\in A\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\cap }}\right.}\\[0.3em]=\;&B\cap A\end{aligned}}$
2. Es ist
   ${\begin{aligned}&(A\cap B)\cap C\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\cap }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in \{y\,|\,y\in A\,\land \,y\in B\}\land x\in C\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Abstraktionsprinzip\;f{\ddot {u}}r\;}}x\in \{y\,|\,y\in A\,\land \,y\in B\}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,(x\in A\,\land \,x\in B)\land x\in C\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Assoziativit{\ddot {a}}t\;von\;\land }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in A\,\land \,(x\in B\land x\in C)\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Abstraktionsprinzip\;f{\ddot {u}}r\;}}x\in \{y\,|\,y\in B\,\land \,y\in C\}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in A\,\land \,x\in \{y\,|\,y\in B\land y\in C\}\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\cap }}\right.}\\[0.3em]=\;&A\cap (B\cap C)\end{aligned}}$
3. Es ist
   ${\begin{aligned}&A\cap A&\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\cap }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in A\land x\in A\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Idempotenz\;von\;\land }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in A\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Extensionalit{\ddot {a}}tsprinzip}}\right.}\\[0.3em]=\;&A\end{aligned}}$
4. Es ist
   ${\begin{aligned}&A\cap {\mathcal {V}}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\cap }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in A\land x\in {\mathcal {V}}\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;{\mathcal {V}}}}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in A\land x=x\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Eigenschaft\;von\;\land }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in A\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Extensionalit{\ddot {a}}tsprinzip}}\right.}\\[0.3em]=\;&A\end{aligned}}$
5. Es ist
   ${\begin{aligned}&A\cap \varnothing \\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\cap }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in A\land x\in \varnothing \}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\varnothing }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in A\land x\neq x\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Eigenschaft\;von\;\land }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\neq x\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\varnothing }}\right.}\\[0.3em]=\;&\varnothing \end{aligned}}$

Verständnisfrage: Warum gilt: $A\cap B\subseteq A$ und $A\cap B\subseteq B$

Hinweis: Nutze die Definition von $\cap$ und das Abstraktionsprinzip von Mengen.

Sei $x\in A\cap B$ beliebig. Dann gilt $x\in \{y\,|\,y\in A\land y\in B\}$. Mit dem Abstraktionsprinzip folgt $x\in A\land x\in B$, also gelten $x\in A$ und $x\in B$. Das zeigt die Teilmengenbeziehung.

Verständnisfrage: Es gelte: $A\cap B=A$. Was folgt für das Verhältnis zwischen $A$ und $B$?

Es gilt $A\subseteq B$. Wie in der vorangehenden Frage gezeigt, gilt nämlich $A=A\cap B\subseteq B$

Großer Durchschnitt

Bisher haben wir den Durchschnitt von zwei Mengen definiert. Nun wollen wir den Durchschnitt von vielen Mengen bilden. Dazu betrachten wir eine Menge $M$, deren Elemente genau die Mengen sind, über die wir den Durchschnitt bilden wollen. Wir sammeln dann die Objekte ein, die in allen Elementen von $M$ enthalten sind.

Beispiel (Durchschnitt über $M$)

Sei $M:=\,\{A,B,C,D\}$ mit

${\begin{aligned}A&:=\{1,{\color {OliveGreen}2},3,{\color {OliveGreen}4},5\}\\B&:=\{{\color {OliveGreen}2},{\color {OliveGreen}4},7\}\\C&:=\{0,{\color {OliveGreen}2},{\color {OliveGreen}4},7,9\}\\D&:=\{{\color {OliveGreen}2},3,{\color {OliveGreen}4},8\}\end{aligned}}$

Dann ist der Durchschnitt über $M$ die Menge $\{{\color {OliveGreen}2},{\color {OliveGreen}4}\}$.

Besteht $M$ aus den zwei Mengen $A$ und $B$, so liegen im Durchschnitt über M alle Objekte, die sowohl in A als auch in B liegen. Und das ist gerade $A\cap B$. Der "kleine" Durchschnitt $\cap$ ist also ein Spezialfall des großen Durchschnitts $\bigcap$.

Definition (Großer Durchschnitt)

Der Durchschnitt über der Menge $M$ ist die Menge aller Objekte, die Element in allen Elementen von $M$ sind:

$\bigcap M:=\{x\,|\,\forall y\in M:x\in y\}$

Verständnisaufgabe: Beweise für zwei beliebige Mengen $A$ und $B$: $\;\bigcap \{A,B\}=A\cap B$.

${\begin{aligned}&x\in \bigcap \{A,B\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\bigcap \right.}\\[0.3em]\iff &\forall y\in \{A,B\}:x\in y\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \{A,B\}{\text{ hat nur zwei Elemente}}\right.}\\[0.3em]\iff &x\in A\land x\in B\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\cap \right.}\\[0.3em]\iff &x\in A\cap B\end{aligned}}$

Sonderfälle: Zur Erinnerung: $\varnothing :=\{x\,|\,x\neq x\}$ ist die leere Menge, ${\mathcal {V}}:=\{x\,|\,x=x\}$ die Allklasse, vgl. Kapitel "Leere Menge und Allklasse". Was ist

1. $\bigcap \varnothing$
2. $\bigcap {\mathcal {V}}$

Antwort:

1. $\bigcap \varnothing ={\mathcal {V}}$. Wir halten uns genau an die Definition von $\bigcap$ und erhalten: $\bigcap \varnothing =\{x\,|\,\forall y\in \varnothing :x\in y\}=\{x\,|\,\forall y:y\in \varnothing \Rightarrow x\in y\}=\dotsc$. Die Prämisse $y\in \varnothing$ der Implikation ist immer falsch, die Implikation selbst also wahr und damit auch die Allaussage. Deswegen können wir die Allaussage durch $x=x$ ersetzen und die Gleichungskette fortsetzen: $\dotsc =\{x\,|\,x=x\}={\mathcal {V}}$.
2. Das können wir ohne weitere Voraussetzungen nicht beantworten, da wir ja nicht festgelegt haben, welche Objekte zur Allklasse gehören sollen! In der Regel wird aber die leere Menge selbst dazugehören und dann ist der Durchschnitt ebenfalls leer. Auch wenn gar keine Mengen zu ${\mathcal {V}}$ gehören gilt $\bigcap {\mathcal {V}}=\varnothing$.

Notation

In der Mathematik ist noch eine andere Schreibweise für den großen Durchschnitt üblich.

$\bigcap _{A\in M}A$ ist genau dasselbe wie $\bigcap M$.

$A$ ist eine Variable und steht für die Elemente von $M$. Sie kann beliebig umbenannt werden, z. B. in $y$: $\bigcap _{y\in M}y$. Entscheidend ist die Menge $M$, mit deren Elementen wird der Durchschnitt gebildet. Wenn die Elemente der Menge $M$ indiziert sind, also $M=\{A_{1},A_{2},A_{3},\dotsc ,A_{i},\dotsc \}$, mit $i\in I$, ist auch die folgende Schreibweise üblich: $\;\bigcap _{i\in I}A_{i}$.