In diesem und im nächsten Kapitel möchten wir dir den Durchschnitt beziehungsweise die Vereinigung von Mengen vorstellen, welche in Würdigung der Arbeiten von George Boole auch Boolsche Operatoren genannt werden.
Der Durchschnitt zweier Mengen
und
ist die Menge aller Objekte, die sowohl Elemente der Menge
als auch der Menge
sind. Ihr Symbol ist
. Die Schreibweise für den Schnitt zwischen zwei Mengen
und
ist
und wird „
geschnitten
“ ausgesprochen.
Im Mengendiagramm ist der Durchschnitt zweier Mengen gleich der Schnittfläche, der zu diesen beiden Mengen zugehörigen Flächen (hier die blaue Fläche):
Dir wird vielleicht schon aufgefallen sein, dass das Symbol
des Durchschnitts Ähnlichkeiten zur Konjunktion
, also mit der logischen Verknüpfung für „und“ aufweist. Dies ist kein Wunder, denn
bezeichnet alle Objekte, die Elemente von
und
sind. Die Verknüpfung
wird in der Regel auch mit Hilfe der Konjunktion
definiert. Es ist nämlich
Obige Formel mit Erklärungen:
Damit können wir nun folgende Definition aufschreiben:
Durchschnitt dreier Mengen
Es ist auch möglich, den Durchschnitt von mehr als zwei Mengen zu bilden. So bezeichnet
die Menge aller Objekte, die sowohl in
als auch in
und in
enthalten sind. Diese Menge kann gebildet werden, indem zunächst
bestimmt wird, welche dann wiederum mit
geschnitten wird. Es ist also
Analog kann man den Schnitt von mehr als drei Mengen definieren.
Verständnisfrage: Impliziert
die Gleichheit von B und C?
Hier einige Beispiele für den Durchschnitt:
Beispiel (Durchschnitt)




Erklärungen:
- Beispiel 1:
ist die einzige Zahl, die Element sowohl der linken als auch der rechten Menge ist.
- Beispiel 2: Die erste Menge ist eine Teilmenge der zweiten Menge. Damit ist die Schnittmenge gleich der ersten Menge.
- Beispiel 3: Eine ganze Zahl, die auch eine positive rationale Zahl ist, muss eine natürliche Zahl sein. Umgekehrt sind alle natürlichen Zahlen sowohl ganze Zahlen als auch positive rationale Zahlen.
- Beispiel 4: Es gibt keine Zahl, die sowohl gerade als auch ungerade ist. Der Schnitt muss also leer sein.
Hier einige Durchschnittsmengen visualisiert durch Mengendiagramme:
Durchschnitt zweier Polygonmengen
Der Durchschnitt des griechischen, kyrillischen und lateinischen Alphabets sind die Buchstaben O, T, H, P, M, A, B, X, K, Y und E
Durchschnittsmenge bilden[Bearbeiten]
Schnittmenge von zwei endlichen Mengen[Bearbeiten]
Zunächst schauen wir uns an, wie du die Durchschnittsmenge von endlichen Mengen bilden kannst. Nehmen wir hier als Beispiel die beiden Mengen
und
. Um den Durchschnitt
zu bilden, gehst du alle Elemente von
durch und überprüfst, ob sie auch Elemente von
sind:
Die gemeinsamen Elemente notierst du dann als Ergebnis von
:
Verständnisaufgabe: Bilde folgende Mengen




Lösungen:




Schnittmenge von mehreren endlichen Mengen[Bearbeiten]
Stell dir nun vor, dass zusätzlich
definiert ist und man
bilden möchte. Hierzu bildet man zunächst
, was nach obigen Abschnitt gleich
ist. Dann bildet man den Schnitt zwischen
und
wie wir es bereits oben gemacht haben:
Man erhält das Ergebnis:
Unendliche Schnittmengen[Bearbeiten]
Wenn du allgemein den Schnitt zweier Mengen bestimmen möchtest, dann mache dir klar, wie beide Mengen definiert sind:
- Was ist die charakteristische Eigenschaft für die Elemente der beiden Mengen?
- Welche Objekte sind in beiden Mengen enthalten, erfüllen also beide charakteristischen Eigenschaften?
- Kann es solche Objekte überhaupt geben?
- Ist die Schnittmenge eine bereits bekannte Menge?
- Ist es ein Intervall oder ein bestimmter Zahlenbereich wie
oder
?
Wenn dir klar ist, wie die Schnittmenge aussieht, dann versuche diese, über eine Mengenschreibweise zu notieren. Mit der Zeit wirst du merken, dass dir die Schnittmengenbildung immer einfacher fallen wird.
Verständnisaufgabe: Bilde folgende Mengen
Diskussion: Was ist
?
Eigenschaften der Schnittmenge[Bearbeiten]
Dieses Eigenschaften lassen sich leicht auf die Definition und die entsprechenden Gesetze der Logik zurückführen.
Beweis (Eigenschaften der Schnittmenge)
-
Es ist
-
Es ist
-
Es ist
-
Es ist
-
Es ist
Verständnisfrage: Warum gilt:
und 
Hinweis: Nutze die Definition von
und das Abstraktionsprinzip von Mengen.
Es gilt
. Wie in der vorangehenden Frage gezeigt, gilt nämlich
Großer Durchschnitt [Bearbeiten]
Bisher haben wir den Durchschnitt von zwei Mengen definiert. Nun wollen wir den Durchschnitt von vielen Mengen bilden. Dazu betrachten wir eine Menge
, deren Elemente genau die Mengen sind, über die wir den Durchschnitt bilden wollen. Wir sammeln dann die Objekte ein, die in allen Elementen von
enthalten sind.
Beispiel (Durchschnitt über
)
Sei
mit
Dann ist der Durchschnitt über
die Menge
.
Besteht
aus den zwei Mengen
und
, so liegen im Durchschnitt über M alle Objekte, die sowohl in A als auch in B liegen. Und das ist gerade
. Der "kleine" Durchschnitt
ist also ein Spezialfall des großen Durchschnitts
.
Definition (Großer Durchschnitt)
Der Durchschnitt über der Menge
ist die Menge aller Objekte, die Element in allen Elementen von
sind:
In der Mathematik ist noch eine andere Schreibweise für den großen Durchschnitt üblich.

ist genau dasselbe wie

.
ist eine Variable und steht für die Elemente von
. Sie kann beliebig umbenannt werden, z. B. in
:
. Entscheidend ist die Menge
, mit deren Elementen wird der Durchschnitt gebildet. Wenn die Elemente der Menge
indiziert sind, also
, mit
, ist auch die folgende Schreibweise üblich:
.