Disjunkte Mengen und paarweise disjunkte Mengensysteme – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Aus Wikibooks
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Disjunkte Mengen[Bearbeiten]

Erklärung und Beispiele[Bearbeiten]

Disjunkte Mengen – Erklärung und Definition (Video vom Podcast The Wicked Mu)

Zwei Mengen und , die keine gemeinsamen Elemente besitzen, nennt man disjunkt. Für disjunkte Mengen gibt es auch die Bezeichnungen elementfremd oder durchschnittsfremd. Das Wort „disjunkt“ leitet sich dabei vom lateinischen Wort „disiunctum“ ab, was soviel wie „getrennt“ bedeutet. Nehme als Beispiel die folgenden zwei Mengen

Diese beiden Mengen sind nicht disjunkt, weil sie das „Klavier“ als gemeinsames Objekt besitzen. Demgegenüber sind aber die folgenden beiden Mengen disjunkt, weil sie keine gemeinsamen Elemente besitzen:

Weitere Beispiele:

Definition[Bearbeiten]

Der Schnitt ist die Menge aller gemeinsamen Elemente von und . Zwei Mengen sind also genau dann disjunkt, wenn die Menge kein Element besitzt. Eine solche Menge ohne Elemente nennt man „leere Menge“, welche als notiert wird. Es ist also:

Definition (disjunkte Menge)

Zwei Mengen nennt man disjunkt, wenn sie keine gemeinsamen Elemente besitzen:

Verständnisfragen[Bearbeiten]

Verständnisfrage: Welche der folgenden Paare von Mengen sind disjunkt?

  1. und
  2. und
  3. und
  4. und
  5. und

Antwort:

  1. und sind nicht disjunkt, weil sie beide als Element besitzen.
  2. und sind disjunkt, weil sie keine gemeinsamen Elemente besitzen.
  3. und sind nicht disjunkt, weil sie zum Beispiel die Zahl als gemeinsames Element besitzen.
  4. und sind disjunkt, weil ist.
  5. und sind nicht disjunkt, weil sie als gemeinsames Element besitzen.

Folgende Fragen setzen voraus, dass du den Begriff der Schnittmenge und der leeren Menge schon kennst (siehe die nächsten Kapitel). Du kannst diese Fragen also gerne überspringen, wenn du diese Begriffe noch nicht kennen solltest.

Verständnisfrage: Mit welchen Mengen ist disjunkt?

ist mit jeder Menge disjunkt, weil ist.

Verständnisfrage: Wann ist eine Menge zu sich selbst disjunkt?

Eine Menge ist genau dann zu sich selbst disjunkt, wenn ist. Wegen ist dies genau dann der Fall, wenn ist:

Verständnisfrage: Nehme die zwei Mengen und . Unter welchen Umständen sind diese beiden Mengen disjunkt?

Diese beiden Mengen sind genau dann disjunkt, wenn ist.

Paarweise disjunkte Mengensysteme[Bearbeiten]

Paarweise disjunkte Mengensysteme (Video vom Podcast The Wicked Mu)
Beispiel eines paarweise disjunkten Mengensystems mit drei Mengen

Ein Mengensystem , also eine Menge von Mengen, nennt man paarweise disjunkt, wenn jeweils zwei verschiedene Mengen disjunkt sind. Egal welche zwei unterschiedlichen Mengen und aus ausgewählt werden, diese beiden Mengen besitzen keine gemeinsamen Elemente. Zum Beispiel ist folgendes Mengensystem paarweise disjunkt:

Beispiel eines paarweise disjunkten Mengensystems

Demgegenüber ist das folgende Mengensystem nicht paarweise disjunkt, weil sich die Mengen und überschneiden:

Beispiel eines paarweise disjunkten Mengensystems

Wir fassen zusammen:

Definition (paarweise disjunktes Mengensystem)

Ein Mengensystem ist paarweise disjunkt, wenn alle verschiedenen Mengen disjunkt sind. Es gilt also:

Verständnisfrage: Sei ein Mengensystem besteht aus nur einer Menge . Ist paarweise disjunkt?

Ja, jedes Mengensystem bestehend aus nur einem Element ist paarweise disjunkt. Es gibt keine zwei verschiedenen Mengen und damit muss für keine Mengenpaare geprüft werden, ob sie disjunkt sind, oder nicht.

Verständnisfrage: Sei das leere Mengensystem. Ist paarweise disjunkt?

Ja, auch das leere Mengensystem ist paarweise disjunkt. Die zu prüfende Aussage ist eine All-Aussage über die leere Menge und damit wahr.

Verständnisfrage: Sei ein paarweise disjunktes Mengensystem. Ist dann immer ?

Nein. Wir haben eben erfahren, dass jedes einelementige Mengensystem paarweise disjunkt ist. Es ist also für jede Menge paarweise disjunkt. Sei nun eine nicht leere Menge und . Es ist

Es gibt also paarweise disjunkte Mengensysteme, deren Schnitt nicht leer ist.