Aufzählende und beschreibende Mengenschreibweise – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Es gibt zwei mögliche Schreibweisen, um Mengen zu definieren: die aufzählende Mengenschreibweise und die beschreibende Mengenschreibweise.

Aufzählende Mengenschreibweise

Grundlegende Erklärung

Die aufzählende Mengenschreibweise (Video vom Podcast The Wicked Mu)

Beispiel einer aufzählenden Mengenschreibweise

Bei der aufzählenden Mengenschreibweise werden alle Objekte aufgeschrieben, die zu einer Menge zusammengefasst werden sollen. Dabei werden diese Objekte in geschweifte Klammern $\{\,\}$ gesetzt und durch Kommata , oder Semikolons ; getrennt. Semikolons bieten sich besonders dann an, wenn in der Menge Kommazahlen als Elemente vorkommen. Die obige Beispielmenge $B$ bestehend aus der Trommel, der Spielkarte, der Digitalkamera und der Gitarre können wir zum Beispiel so schreiben:

$B=\{{\text{Trommel, Spielkarte, Digitalkamera, Gitarre}}\}$

Weitere Beispiele der aufzählenden Mengenschreibweise sind:

Beispiel (Beispiele für die aufzählende Mengenschreibweise)

$C=\{1,\,2,\,3,\,4\}$	– Menge der Zahlen $1$, $2$, $3$ und $4$
$D=\{25,\,-16,\,9,\,\pi \}$	– Menge der Zahlen $25$, $-16$, $9$ und $\pi$
$E=\{0;\,0{,}5;\,0{,}75\}$	– Menge der Zahlen $0$ sowie $0{,}5$ und $0{,}75$

Besonderheiten der aufzählenden Mengenschreibweise

Bei der aufzählenden Mengenschreibweise spielt die Reihenfolge, in der die Elemente der Menge aufgezählt werden, keine Rolle. Auch ist es unerheblich, wie oft ein Objekt aufgeschrieben wird. Das mehrfache Aufschreiben eines Objekts ist nämlich gleichbedeutend mit einer einfachen Nennung:

$\{1,\,2,\,5\}=\{5,\,1,\,2\}=\{1,\,2,\,2,\,5,\,2,\,1\}$

Diese Tatsachen sind keine Konventionen, sondern folgen bereits zwingend aus Prinzipien, die wir bereits über Mengen kennen gelernt haben. Hierzu ein paar Verständnisfragen, die zugegebenermaßen nicht leicht zu beantworten sind:

Verständnisfrage: Warum spielt die Reihenfolge der aufgeschriebenen Objekte bei der aufzählenden Mengenschreibweise keine Rolle?

Hinweis: Man kann es mit Hilfe der Extensionalität von Mengen erklären.

Dies folgt aus der Extensionalität der Menge. Die Reihenfolge, mit der die Elemente einer Menge notiert werden, beeinflusst nämlich nicht, welche Objekte am Ende Teil einer Menge sind. So besitzen beispielsweise die Mengen $\{1,\,2,\,5\}$ und $\{5,\,1,\,2\}$ dieselben Elemente und müssen demnach identisch sein, unabhängig davon, dass sie auf unterschiedliche Weise definiert wurden.

Verständnisfrage: Warum spielt es bei der aufzählenden Mengenschreibweise keine Rolle, wie oft ein Element aufgeschrieben wird?

Hinweis: Diese Frage kann mit der Extensionalität von Mengen beantwortet werden.

Auch diese Tatsache folgt aus der Extensionalität von Mengen. Sobald ein Objekt mindestens einmal notiert wurde, ist es ein Element der definierten Menge. Dies ändert sich nicht, wenn man dasselbe Objekt mehrfach notiert.

Verständnisfrage: Es sei $\{a,\,b\}=\{a\}$. Was folgt dann für $a$ und $b$?

Wegen $b\in \{a,\,b\}$ und $\{a,\,b\}=\{a\}$ ist auch $b\in \{a\}$ (folgt aus dem Extensionalitätsprinzip). Nun ist letzte Aussage dann und nur dann wahr, wenn $a=b$ ist. Also sind beide Objekte $a$ und $b$ identisch.

Verständnisfrage: Es sei $\{a,\,b,\,c,\,d\}=\{a,\,b\}$. Was kannst du dann für die Objekte $a$, $b$, $c$ und $d$ sagen?

Wegen $\{a,\,b,\,c,\,d\}=\{a,\,b\}$ ist $c=a$ oder $c=b$. Analog ist $d=a$ oder $d=b$. Damit gibt es vier verschiedene Möglichkeiten, von denen eine zutreffen muss:

1. $a=c=d$
2. $a=c\land b=d$
3. $b=c=d$
4. $a=d\land b=c$

Es ist auch $a=b=c=d$ möglich, wobei dies alle der vier Möglichkeiten impliziert und damit bereits durch die obigen Möglichkeiten abgedeckt ist.

Aufzählende Mengenschreibweise bei unendlichen Mengen

Die aufzählende Mengenschreibweise bei unendlichen Mengen (Video vom Podcast The Wicked Mu)

Der Nachteil der aufzählenden Mengenschreibweise ist, dass mit ihr nur Mengen mit einer endlichen Anzahl an Elementen eindeutig definiert werden können. Möchte man mit der aufzählenden Mengenschreibweise eine unendliche Menge definieren, so muss man zwangsläufig Elemente auslassen. Der Leser wird dann dazu aufgefordert, die Aufzählung der Elemente in Gedanken fortzuführen. So könnte man für die Menge $\mathbb {Z}$ der ganzen Zahlen schreiben:

$\mathbb {Z} =\{\ldots ,\,-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,\ldots \}$

Jedoch ist die aufzählende Schreibweise für unendliche Mengen nicht eindeutig. Insbesondere ist dann die aufzählende Mengenschreibweise problematisch, wenn zu wenig Elemente angegeben sind, als dass alle Leser intuitiv auf dieselbe Menge schließen. Dies illustriert folgendes Beispiel:

Frage: Welche Menge ist mit dem Ausdruck $\{2,\,4,\,6,\,8,\,\ldots \}$ gemeint?

Am plausibelsten ist die Menge der positiven geraden Zahlen:

$\{2,\,4,\,6,\,8,\,\ldots \}=\{2,\,4,\,6,\,8,\,10,\,12,\,14,\,\ldots \}$

Möglich ist aber auch die Menge der palindromischen natürlichen Zahlen:

$\{2,\,4,\,6,\,8,\,\ldots \}=\{2,\,4,\,6,\,8,\,22,\,44,\,66,\,88,\,\ldots \}$

oder die Menge der positiven Zahlen, die nur aus geraden Ziffern bestehen:

$\{2,\,4,\,6,\,8,\,\ldots \}=\{2,\,4,\,6,\,8,\,20,\,22,\,24,\,26,\,28,\,40,\,\ldots \}$

Durch den Ausdruck $\{2,\,4,\,6,\,8,\,\ldots \}$ kann also die vom Autor gemeinte Menge nicht eindeutig beschrieben werden, denn es wurde nirgends definiert, wie die Aufzählung der Elemente fortgesetzt werden sollte. Außerdem kann nicht objektiv festgelegt werden, was eine sinnvolle Fortsetzung einer Folge ist. Dementsprechend solltest du die beschreibende der aufzählenden Mengenschreibweise bei unendlichen Mengen vorziehen, weil diese nicht das Problem der Uneindeutigkeit hat.

Warnung

Es kommt manchmal zu Missverständnissen bei einelementigen Mengen. So ist $\{\mathbb {N} \}\neq \mathbb {N}$, denn $\{\mathbb {N} \}$ ist die einelementige Menge, die die Menge der natürlichen Zahlen enthält, und $\mathbb {N}$ ist die unendliche Menge der natürlichen Zahlen.

Verständnisfragen zur aufzählenden Mengenschreibweise

Verständnisfrage: Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

1. $\{1\}\in \{1,\,2,\,3\}$
2. $\{1\}\in \{1,\,\{2,\,\{3\}\}\}$
3. $\{1\}\in \{\{1\},\,\{2\},\,\{3\}\}$

Man kann die Frage beantworten, wenn man sieht, welche Elemente in den einzelnen Mengen enthalten sind (jeweils unterschiedlich farblich markiert):

1. $\{{\color {OliveGreen}1},\,{\color {Blue}2},\,{\color {Red}3}\}$ – Die Elemente der Menge sind die Zahlen $1$, $2$ und $3$.
2. $\{{\color {OliveGreen}1},\,{\color {Blue}\{2,\,\{3\}\}}\}$ – Die Menge besteht aus der Zahl $1$ und der Menge $\{2,\,\{3\}\}$.
3. $\{{\color {OliveGreen}\{1\}},\,{\color {Blue}\{2\}},\,{\color {Red}\{3\}}\}$ – Die Elemente der Menge sind die Mengen $\{1\}$, $\{2\}$ und $\{3\}$.

Dementsprechend lauten die Antworten:

1. falsche Aussage
2. falsche Aussage
3. wahre Aussage

Verständnisfrage: Wie viele Elemente besitzen folgende Mengen?

1. $\{1,\,2,\,3\}$
2. $\{1,\,\{2,\,\{3\}\}\}$
3. $\{\{1\},\,\{2\},\,\{3\}\}$
4. $\{\{1,\,2,\,3\}\}$

Auch hier hilft die farbliche Markierung der einzelnen Elemente:

1. $\{{\color {OliveGreen}1},\,{\color {Blue}2},\,{\color {Red}3}\}$ – Die Elemente der Menge sind die Zahlen $1$, $2$ und $3$.
2. $\{{\color {OliveGreen}1},\,{\color {Blue}\{2,\,\{3\}\}}\}$ – Die Menge besteht aus der Zahl $1$ und der Menge $\{2,\,\{3\}\}$.
3. $\{{\color {OliveGreen}\{1\}},\,{\color {Blue}\{2\}},\,{\color {Red}\{3\}}\}$ – Die Elemente der Menge sind die Mengen $\{1\}$, $\{2\}$ und $\{3\}$.
4. $\{{\color {OliveGreen}\{1,\,2,\,3\}}\}$ – Die Menge besteht aus der Menge $\{1,\,2,\,3\}$.

Entsprechend dazu sind die Antworten:

1. drei Elemente und zwar $1$, $2$ und $3$
2. zwei Elemente und zwar $1$ und $\{2,\,\{3\}\}$
3. drei Elemente und zwar $\{1\}$, $\{2\}$ und $\{3\}$
4. ein Element und zwar die Menge $\{1,\,2,\,3\}$

Verständnisfrage: Welche der folgenden Gleichungen stimmen?

1. $\{1,\,2,\,1\}=\{2,\,2,\,1\}$
2. $\{1,\,2,\,1\}=\{1\}$
3. $\left\{{\sqrt {4}},\,0,\,0,\,{\tfrac {4}{2}}\right\}=\{0,\,2,\,-2\}$
4. $\left\{2^{0},\,\sin(\pi ),\,{\tfrac {6}{3}}\right\}=\{0,\,1,\,2\}$

Antwort:

1. stimmt: Beide Mengen sind identisch, weil sie dieselben Elemente enthalten.
2. stimmt nicht: Die linke Menge enthält die Zahl $2$, welche kein Element der rechten Menge ist.
3. stimmt nicht: Die rechte Seite enthält die Zahl $-2$, die nicht Teil der linken Menge ist. Beachte, dass ${\sqrt {\cdot }}$ als die nicht-negative Wurzel einer Zahl definiert ist. Es ist also ${\sqrt {4}}=2$.
4. stimmt: Beide Mengen sind identisch, weil sie dieselben Elemente enthalten.

Verständnisfrage: Wie viele Elemente besitzt die Menge $\{a,\,b\}$?

Viele werden hier im ersten Moment „zwei“ als Antwort geben. Doch wenn $a=b$ ist, dann ist die Menge $\{a,\,b\}$ einelementig. Nimm zum Beispiel $a=b=2$. Es ist dann

$\{a,\,b\}=\{2,\,2\}=\{2\}$

Die richtige Antwort lautet also:

„Wenn $a\neq b$ ist, besitzt $\{a,\,b\}$ zwei Elemente. Ist $a=b$, dann ist $\{a,\,b\}$ einelementig.“

Diese Aufgabe zeigt deutlich, warum wir uns in der Mathematik nicht auf unsere Intuition verlassen können und jeden unserer Gedanken kritisch hinterfragen müssen.

Beschreibende Mengenschreibweise

Erklärung und Beispiele

Die beschreibende Mengenschreibweise (Video vom Podcast The Wicked Mu)

Durch die beschreibende Mengenschreibweise wird eine Menge aller Objekte definiert, die eine bestimmte Eigenschaft $A(x)$ besitzen. Dabei ist $A(x)$ eine Aussageform mit einer freien Variablen (in diesem Fall $x$). Man schreibt $M=\{x\,\vert \,A(x)\}$ und meint damit die Menge $M$ aller Objekte $x$, die die Eigenschaft $A(x)$ erfüllen. Es gilt das sogenannte Abstraktionsprinzip:

Definition (Abstraktionsprinzip)

Sei $A(x)$ eine beliebige Aussageform. Die Menge $M=\{x\,\vert \,A(x)\}$ ist die Menge aller Objekte, für die $A(x)$ gilt. Für $\{x\,\vert \,A(x)\}$ gilt das so genannte Abstraktionsprinzip:

$\forall y:\left(y\in \{x\,\vert \,A\left(x\right)\}\iff A\left(y\right)\right)$

Dieses bedeutet: $y$ ist genau dann Element der Menge $\{x\,|A(x)\}$, wenn $A(y)$ wahr ist. $A(x)$ wird dabei die definierende Bedingung der Menge $\{x\,\vert A(x)\}$ genannt.

Anstatt eines senkrechten Striches wird oft auch ein Doppelpunkt verwendet. So kann auch $\{x:A(x)\}$ für die Menge $M$ geschrieben werden. Die Aussprache von $\{x\,\vert A(x)\}$ lautet: „Menge aller $x$ mit $A(x)$“. Es folgen einige Beispiele:

Menge	Formel	Formel mit Aussprache
Die Menge aller reellen Zahlen zwischen $-3$ und $5$	$M=\{x\,\vert \,x\in \mathbb {R} \land -3<x<5\}$	$\underbrace {M{\underset {}{}}} _{\text{M}}\underbrace {={\underset {}{}}} _{\text{ist}}\underbrace {\{{\underset {}{}}} _{\text{die Menge}}\underbrace {x{\underset {}{}}} _{{\text{der }}x}\underbrace {|{\underset {}{}}} _{\text{ für die gilt: }}\underbrace {x\in \mathbb {R} _{}{\underset {}{}}} _{x{\text{ ist in }}\mathbb {R} }\underbrace {\land {\underset {}{}}} _{\text{ und }}\underbrace {-3<x<5{\underset {}{}}} _{x{\text{ ist grösser als -3 und kleiner als 5. }}}\}$
Die Menge aller ungeraden natürlichen Zahlen	$F=\{y\,|\,\exists k\in \mathbb {N} :y=2k-1\}$	$\underbrace {F=\{} _{\text{F ist die Menge }}\underbrace {y\,|} _{{\text{aller }}y{\text{ }}}\underbrace {\exists k\in \mathbb {N} :y=2k-1\}} _{{\text{für die es ein }}k\in \mathbb {N} {\text{ gibt, sodass }}y{\text{ gleich }}2k-1{\text{ ist.}}}$
Die Menge aller Quadratzahlen	$G=\{x\,|\,\exists y\in \mathbb {Z} :x=y^{2}\}$	$\underbrace {G=\{} _{\text{G ist die Menge }}\underbrace {x\,|} _{{\text{aller }}x}\underbrace {\exists y\in \mathbb {Z} :x=y^{2}\}} _{{\text{für die es eine ganze Zahl }}y{\text{ gibt, sodass }}x{\text{ ist gleich }}y^{2}.}$
Die Menge aller irrationalen Zahlen	$H=\{z\,|\,z\in \mathbb {R} \land z\notin \mathbb {Q} \}$	$\underbrace {H=\{{\underset {}{}}} _{\text{H ist die Menge }}\underbrace {z\,|{\underset {}{}}} _{{\text{aller }}z{\text{ mit }}}\underbrace {z\in \mathbb {R} _{}{\underset {}{}}} _{z{\text{ in }}\mathbb {R} }\underbrace {\land {\underset {}{}}} _{\text{ und }}\underbrace {z\notin \mathbb {Q} \}{\underset {}{}}} _{z{\text{ nicht in }}\mathbb {Q} .}$

Varianten der beschreibenden Mengenschreibweise

Sollen mehrere Bedingungen an die Elemente einer Menge gestellt werden, so ist es üblich diese Bedingungen mit Kommata zu trennen anstatt sie mit der Konjunktion $\land$ zu verknüpfen (zur Erinnerung: Die Konjunktion ist das logische „und“). Möchtest du also die Menge $M$ aller Objekte $x$ mit den Eigenschaften $A_{1}(x)$, $A_{2}(x)$ bis $A_{n}(x)$ notieren, so kannst du $M=\{x\,|\,A_{1}(x),\,A_{2}(x),\,\ldots ,\,A_{n}(x)\}$ aufschreiben. Diese Schreibweise ist gleichbedeutend mit $M=\{x\,|\,A_{1}(x)\land A_{2}(x)\land \ldots \land A_{n}(x)\}$.

Möchtest du eine Grundmenge explizit angeben, aus der die Elemente der Menge stammen sollen, so kannst du die Schreibweise $M=\{x\in G\,|\,A(x)\}$ verwenden. Durch diese Schreibweise wird die Menge aller Objekte $x$ der Menge $G$ definiert, die die Eigenschaft $A(x)$ erfüllen. Diese Schreibweise ist eine Kurzschreibweise für $M=\{x\,|\,x\in G\land A(x)\}$. Beispielsweise kann die obige Menge $H=\{x|x\in \mathbb {R} \land x\notin \mathbb {Q} \}$ der Menge der irrationalen Zahlen auch durch die Schreibweise $H=\{x\in \mathbb {R} \,|\,x\notin \mathbb {Q} \}$ beschrieben werden.

Anders als bei der aufzählenden Mengenschreibweise, ist diese Mengenschreibweise auch für unendliche Mengen eindeutig. Deshalb sollte man für unendliche Mengen vor allem diese Mengenschreibweise verwenden.

Verständnisfragen zur beschreibenden Mengenschreibweise

Verständnisfrage: Wie lautet die Mengenschreibweise für folgende Mengen (sowohl beschreibend als auch aufzählend als Antwort möglich)?

1. Menge aller natürlichen Zahlen größer als $42$.
2. Menge aller Funktionswerte des Sinus.
3. Menge aller reellen Lösungen der Gleichung $x^{2}=1$.

1. $\{n\in \mathbb {N} \,|\,n>42\}$
2. $\{y\in \mathbb {R} \,|\,\exists x\in \mathbb {R} :y=\sin(x)\}$ oder $\{y\in \mathbb {R} \,|\,-1\leq y\leq 1\}$ (Wegen der Extensionalität von Mengen sind beide Mengen identisch)
3. $\{x\in \mathbb {R} \,|\,x^{2}=1\}$ oder $\{-1,1\}$ (Wegen der Extensionalität von Mengen sind beide Mengen identisch)

Verständnisfrage: Es sei $\{x\,|\,A(x)\}=\{x\,|\,B(x)\}$. Welchen Zusammenhang kannst du dann für die Eigenschaften $A(x)$ und $B(x)$ folgern?

Wegen $\{x\,|\,A(x)\}=\{x\,|\,B(x)\}$ muss nach dem Extensionalitätsprinzip für alle Objekte $y$ gelten:

$y\in \{x\,|\,A(x)\}\iff y\in \{x\,|\,B(x)\}$

$y$ ist also genau dann ein Element von $\{x\,|\,A(x)\}$, wenn es ein Element von $\{x\,|\,B(x)\}$ ist. Nun ist ja $y$ genau dann ein Element von $\{x\,|\,A(x)\}$, wenn $A(y)$ wahr ist. Analog gilt $y\in \{x\,|\,B(x)\}\iff B(y)$. Es muss also für alle $y$ gelten:

$A(y)\iff B(y)$

Dies bedeutet, dass genau dann $A(y)$ wahr ist, wenn auch $B(y)$ wahr ist (und umgekehrt).

Verständnisaufgabe: Finde eine Möglichkeit, um die Menge $\{1,\,23,\,42\}$ in der beschreibenden Mengenschreibweise aufzuschreiben.

Eine Möglichkeit ist

$\{1,\,23,\,42\}=\{x\,|\,x=1\lor x=23\lor x=42\}$

Durch die Aussageform $x=1\lor x=23\lor x=42$ kann ein Element aus der Menge $\{1,\,23,\,42\}$ beschrieben werden. Durch eine ähnliche Vorgehensweise kannst du jede endliche Menge in der beschreibenden Mengenschreibweise notieren.

Verständnisfrage: Es gilt: $M=\{x\,|\,x\in M\}$ Warum?

Hinweis: Nutze das Extensionalitäts- und das Abstraktionsprinzip von Mengen.

Wegen des Extensionalitätsprinzip folgt die Gleichheit aus $\forall y:(y\in M\iff y\in \{x\,|\,x\in M\})$. Das aber ist das Abstraktionsprinzip mit $A(x):=x\in M$ als definierender Bedingung für $M$. Die Gleichheit $M=\{x\,|\,x\in M\}$ macht deutlich, dass es bei Mengen nur auf die Elemente ankommt!