Aussageform und Substitution – Mathe für Nicht-Freaks

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Du hast dich vielleicht schon darüber gewundert, dass ich manchmal den Begriff „Aussage“ und manchmal den Begriff „Aussageform“ benutze. Diese Begriffe müssen streng auseinandergehalten werden. Der Unterschied liegt darin, dass Aussageformen (auch Prädikate genannt) freie Variablen besitzen, während in Aussagen keine freien Variablen vorkommen. Doch was sind freie Variablen?

Freie und gebundene Variablen [Bearbeiten]

Freie Variablen sind Leerstellen / Platzhalter in einem sprachlichen Ausdruck, die durch Elemente der Grundmenge ersetzt werden können. Im Gegensatz dazu können gebundene Variablen nicht durch Elemente der Grundmenge ersetzt werden. Dies liegt daran, dass sie schon durch Quantoren gebunden sind. So ist die Variable im Ausdruck frei und im Ausdruck durch den Allquantor gebunden. Aber nicht nur Quantoren können Variablen binden. Auch durch Mengenausdrücke der Form oder durch Summen können Variablen gebunden werden. Solltest du Summen oder Mengen noch nicht kennen: Kein Problem. Diese werde ich dir später im Buch vorstellen. Generell gilt:

Eine Variable ist gebunden, wenn sie durch einen mathematischen Operator (wie ein Quantor) eingeführt wurde und im Wirkungsbereichs dieses Operators liegt. Ansonsten ist eine Variable eine freie Variable.

Hier noch einige Beispiele:

Accessories-calculator.svg

Beispiel (freie und gebundene Variablen)

Verständnisfrage: Welche der Variablen in den folgenden Ausdrücken sind frei und welche sind gebunden?

Antwort:

Aussageformen (Prädikate)[Bearbeiten]

Nachdem du gelernt hast, was freie und gebundene Variablen sind, kann ich dir nun erklären, was Aussageformen sind. Aussageformen sind sprachliche Ausdrücke mit freien Variablen, die durch Belegung dieser Variablen mit konkreten Werten aus einer Grundmenge jeweils in eine Aussage übergehen. Vereinfacht könnte man sagen: „Aussageformen sind Ausdrücke mit freien Variablen.“

Dialog-information.svg
Definition (Aussageform)

Aussageformen sind logische Ausdrücke, in denen freie Variablen vorkommen.

Verständnisfrage: Welche der folgenden formalen Ausdrücke sind Aussagen und welche sind Aussageformen?

Antwort:

  1. Aussageform ( und kommen frei im Ausdruck vor)
  2. Aussageform ( kommt frei im Ausdruck vor)
  3. Aussage (keine freien Variablen)
  4. Aussageform ( kommt frei im Ausdruck vor)
  5. Aussage (keine freien Variablen)

Der Wahrheitsgehalt der Aussagen hängt jeweils von der gewählten oder vorgegebenen Grundmenge ab.

Substitution von Termen für Variablen[Bearbeiten]

Jetzt möchte ich dir zeigen, wie du Variablen durch andere aussagenlogische Ausdrücke ersetzen kannst. Du musst darauf achten, dass du nur und wirklich nur freie Variablen durch den entsprechenden Term ersetzt. Gebundene und quantifizierte Variablen müssen unangetastet bleiben. Beispiel:

Beachte, dass die gebundene Variable nicht verändert wurde. Wenn im Substitutionsterm freie Variablen vorkommen, die in der Aussageform bereits gebunden sind, dann müssen diese gebundenen Variablen umbenannt werden. Es dürfen nämlich durch die Substitution keine Variablen gebunden werden, die vorher frei waren:

In obigen Beispiel wird durch die Substitution die freie Variable neu eingeführt. Jedoch ist in der ursprünglichen Aussageform bereits durch den Existenzquantor gebunden. Deswegen muss die gebundene Variable umbenannt werden (hier in die Variable ). Würde man dies nicht tun, dann würde die freie Variable ebenfalls gebunden werden, was bei einer Substitution nicht erlaubt ist.

Verständnisfrage: Wie lauten folgende Aussageformen beziehungsweise Aussagen nach der Substitution?

  1. für die Substitution
  2. für die Substitution
  3. für die Substitution
  4. für die Substitution

Antwort:

  1. . In der Aussage ist keine freie Variable und kann daher nicht ersetzt werden.

Verständnisfrage: Wieso können sich Aussagen durch eine Substitution nicht ändern?

Weil Aussagen per Definition keine freie Variablen besitzen und nur freie Variable substituiert werden, bleiben Aussagen bei einer Substitution unverändert.