Aussageform und Substitution – Mathe für Nicht-Freaks

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Du hast dich vielleicht schon darüber gewundert, dass wir manchmal den Begriff „Aussage“ und manchmal den Begriff „Aussageform“ benutzen. Diese Begriffe müssen streng auseinandergehalten werden. Der Unterschied liegt darin, dass Aussageformen freie Variablen besitzen, während in Aussagen keine freien Variablen vorkommen. Doch was sind freie Variablen?

Freie und gebundene Variablen [Bearbeiten]

Variablen sind Leerstellen / Platzhalter in einem sprachlichen Ausdruck, die für Elemente der Grundmenge stehen. Sie können durch Quantoren oder andere Operatoren gebunden werden. Die Bedeutung der gebundenen Variablen ist an den Operator gekoppelt, in dessen Wirkungsbereich sie liegen. So besagt , dass die Aussage zutrifft, egal welches Element aus dem Grundbereich für x genommen wird. dagegen heisst nur, dass es wenigstens ein Element aus dem Grundbereich gibt, für das zutrifft. Eine Variable, die nicht gebunden ist, heisst frei.

So ist die Variable im Ausdruck frei und im Ausdruck durch den Allquantor gebunden. Aber nicht nur Quantoren können Variablen binden. Auch durch Mengenausdrücke der Form oder durch Summen können Variablen gebunden werden. Solltest du Summen oder Mengen noch nicht kennen: Kein Problem. Diese werde wir später im Buch behandeln. Generell gilt:

Definition (Freie und gebundene Variablen)

Eine Variable ist gebunden, wenn sie durch einen mathematischen Operator (z.B. einen Quantor) eingeführt wurde und im Wirkungsbereichs dieses Operators liegt. Ansonsten ist eine Variable eine freie Variable.

Hier noch einige Beispiele:

Beispiel (freie und gebundene Variablen)

Verständnisfrage: Welche der Variablen in den folgenden Ausdrücken sind frei und welche sind gebunden?

Antwort:

Terme[Bearbeiten]

Variable sind Platzhalter für Elemente aus einem Grundbereich. Grundbereiche in der Mathematik sind häufig die Zahlbereiche , , , oder . Es können aber auch ganz andere Mengen der Grundbereich sein, beispielsweise die Menge aller Menschen, Autos oder Musikinstumente. Ausdrücke, die Elemente aus dem Grundbereich bezeichnen, werden Terme genannt. Mit Hilfe von Operationssymbolen (auch Verknüpfungen genannt) wie , und werden aus Termen weitere Terme gebildet. Zu einem Operationssymbol gehört eine natürliche Zahl als Stellenzahl, die angibt, wieviele Terme zu einem neuen Term verknüpft werden. Die Terme, die verknüpft werden, heißen Argumente, das Ergebnis der Verknüpfung Resultat.

Beispiel (Operationssymbole)

  • Das Pluszeichen "" ist 2-stellig und macht aus zwei Zahlen eine dritte, die Summe:
  • Das Vorzeichen "" ist 1-stellig: . Das Subtraktionszeichen "" dagegen ist 2-stellig: .
  • Beim größten gemeinsamen Teiler "" und beim kleinsten gemeinsamen Vielfachen "" werden die Argumente in der Regel dahinter notiert: und .
  • Die Potenz ist 2-stellig, aber das Operationssymbol wird gar nicht notiert. Stattdessen wird die Verknüpfung durch das Hochstellen widergegeben: .
  • Der Durchschnitt "" und die Vereinigung "" von Mengen sind 2-stellige Verknüpfungen: und .
  • Das Komplement einer Menge "" ist 1-stellig und wird häufig hochgestellt hinter dem Argument notiert: .
  • Bei mehrstelligen Verknüpfungen stehen die Argumente in Klammern hinter dem Symbol:

Bei 2-stelligen Operationssymbolen werden die Klammern weggelassen, wenn sie nicht erforderlich sind.

Definition (Term)

Terme sind sprachliche Ausdrücke, die eine Zahl oder ein anderes Objekt bezeichnen. Insbesondere sind Variable Terme. Mit Hilfe von Verknüpfungen können aus Termen weitere Terme gebildet werden.

Terme treten oftmals als Teile von Aussagen auf.

Beispiel (Terme)

Einige Terme aus diesen Beispielen enthalten weitere Terme: die Terme und und die Terme und .

Prädikate[Bearbeiten]

Von Verknüpfungen sind Prädikate (auch Relationssymbole genannt) zu unterscheiden. Prädikate haben wie Verknüpfungen eine Stellenzahl. Die Argumente von Prädikaten sind ebenfalls Terme, aber das Resultat ist eine Aussage oder eine Aussageform. Beispiele für Prädikate sind Grösser-gleich "" oder die Teilmengenbeziehung "".

Definition (Prädikat)

Prädikate verbinden Terme zu Aussagen bzw. Aussageformen. Sie haben eine Stellenzahl. Ist ein n-stelliges Prädikat, so heißt , dass auf zutrifft. 2-stellige Prädikate werden meist zwischen die Argumente geschrieben.

Hinweis

Die Schreibweise von Prädikaten ist genau dieselbe wie bei Verknüpfungen! Es muss also aus dem Zusammenhang erschlossen werden, was von beiden gemeint ist.

Beispiel (Prädikat)

Aussageformen, Formeln[Bearbeiten]

Nachdem du gelernt hast, was freie und gebundene Variablen sind, kann ich dir nun erklären, was Aussageformen sind:

Definition (Aussageform, Formeln)

Aussageformen sind sprachliche Ausdrücke mit freien Variablen, die durch Belegung dieser Variablen mit konkreten Werten in eine Aussage übergehen. Als Oberbegriff von Aussagen und Aussageformen ist die Bezeichnung Formel üblich.

Eine Formel kann also eine Aussage oder eine Aussageform sein.

Verständnisfrage: Welche der folgenden formalen Ausdrücke sind Aussagen und welche sind Aussageformen?

Antwort:

  1. Aussageform ( und kommen frei im Ausdruck vor)
  2. Aussageform ( kommt frei im Ausdruck vor)
  3. Aussage (keine freien Variablen)
  4. Aussageform ( kommt frei im Ausdruck vor)
  5. Aussage (keine freien Variablen)

Der Wahrheitsgehalt der Aussagen hängt jeweils von der gewählten oder vorgegebenen Grundmenge ab.

Substitution von Termen für Variablen[Bearbeiten]

Jetzt möchte ich dir zeigen, wie du Variablen durch andere aussagenlogische Ausdrücke ersetzen kannst. Du musst darauf achten, dass du nur und wirklich nur freie Variablen durch den entsprechenden Term ersetzt. Gebundene und quantifizierte Variablen müssen unangetastet bleiben. Beispiel:

Beachte, dass die gebundene Variable nicht verändert wurde. Wenn im Substitutionsterm freie Variablen vorkommen, die in der Aussageform bereits gebunden sind, dann müssen diese gebundenen Variablen umbenannt werden. Es dürfen nämlich durch die Substitution keine Variablen gebunden werden, die vorher frei waren:

In obigen Beispiel wird durch die Substitution die freie Variable neu eingeführt. Jedoch ist in der ursprünglichen Aussageform bereits durch den Existenzquantor gebunden. Deswegen muss die gebundene Variable umbenannt werden (hier in die Variable ). Würde man dies nicht tun, dann würde die freie Variable ebenfalls gebunden werden, was bei einer Substitution nicht erlaubt ist.

Verständnisfrage: Wie lauten folgende Aussageformen beziehungsweise Aussagen nach der Substitution?

  1. für die Substitution
  2. für die Substitution
  3. für die Substitution
  4. für die Substitution

Antwort:

  1. . In der Aussage ist keine freie Variable und kann daher nicht ersetzt werden.

Verständnisfrage: Wieso können sich Aussagen durch eine Substitution nicht ändern?

Weil Aussagen per Definition keine freie Variablen besitzen und nur freie Variable substituiert werden, bleiben Aussagen bei einer Substitution unverändert.