Quantor – Mathe für Nicht-Freaks

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Was sind Quantoren?[Bearbeiten]

Neben den Junktoren gibt es noch eine zweite wichtige Gruppe von Symbolen, die Quantoren, mit denen sich die Aussagenlogik zur sogenannten Prädikatenlogik erweitern lässt. Während Junktoren Aussagen miteinander verknüpfen, legen Quantoren fest, für welche Objekte einer Grundmenge eine Aussageform gilt. Eine Aussageform (auch Prädikat genannt) ist dabei ein sprachlich sinnvoller Ausdruck, in der die Variable vorkommt und die durch Belegung dieser Variablen mit einem konkreten Wert in eine Aussage übergeht. So sind die Ausdrücke

ist eine gerade Zahl

und

ist ein Mensch

Beispiele für solche Aussageformen , die von der Variablen abhängen.

Ich möchte dir den Begriff der Quantoren an einem Beispiel erklären. Stelle dir dazu vor, wir verwenden gerade die Menge der reellen Zahlen. Dies bedeutet, dass alle Variablen, die wir benutzen, nur mit reellen Zahlen belegt werden sollen. Betrachte nun folgende Aussage:

Für alle gilt, dass ist.

In diesem Beispiel ist „für alle“ ein Quantor, der Allquantor. Er behauptet, dass die Aussageform für alle Belegungen der Variablen wie zum Beispiel , oder gültig sein soll. Wir können also folgende Struktur der obigen Aussage erkennen:

Wie auch bei Junktoren, werden für Quantoren bestimmte Symbole verwendet. Für den Allquantor ist das Symbol am geläufigsten. So kann die obige Aussage „Für alle gilt, dass ist.“ auch so geschrieben werden:

Wir können aber auch andere Quantoren zur Bindung der Variablen in der Aussageform verwenden. Anstatt auszudrücken, dass die Aussageform für alle Belegungen von gültig ist, können wir auch sagen, dass diese Aussageform für mindestens eine reelle Zahl wahr ist. Dieser Quantor „es gibt mindestens ein“ wird Existenzquantor genannt und hat das Symbol . So besitzt die Aussage „Es gibt mindestens ein mit “ folgende Struktur:

Formal aufgeschrieben wird daraus:

Verständnisfrage: Sind obige Aussagen und für reelle Zahlen wahr oder falsch?

  • Die Aussage ist falsch, da sie für die erlaubte Belegung nicht stimmt. Es ist nämlich .
  • Die Aussage ist wahr. Die Zahl ist nämlich eine reelle Zahl mit . Damit existiert (mindestens) eine reelle Zahl, welche die Aussageform erfüllt.

Arten von Quantoren[Bearbeiten]

Allquantor [Bearbeiten]

Allquantor
Symbol:
Bedeutung: „für alle“ oder „für jede(s)“
Schreibweise:

Im vorherigen Abschnitt hast du den Allquantor bereits kennen gelernt. Sein Symbol ist (ein umgedrehtes A – „für Alle“). Die Schreibweise des Allquantors ist . Dies bedeutet „Für alle gilt .“ oder „Für jedes gilt .“. Dabei ist eine beliebige Aussageform, in der die Variable vorkommt. In der Literatur ist auch die Schreibweise zu finden, die wir aber in diesem Projekt nicht verwenden werden.

Die Menge der Objekte, auf die sich der Quantor bezieht, muss eindeutig bestimmt sein (und kann sich zum Beispiel aus dem Kontext ergeben). Wenn du eben natürliche Zahlen behandelst, so behauptet eine Aussage , dass die Aussageform für alle Belegungen von aus den natürlichen Zahlen zu einer wahren Aussage wird. Untersuchst du reelle Zahlen, so behauptet , dass die Aussageform für alle reellen Zahlen zu einer wahren Aussage wird.

Wenn du die Bezugsmenge des Allquantors explizit angeben möchtest oder musst, kannst du die deutlichere Schreibweise verwenden. Diese bedeutet: „Für alle aus der Menge gilt die Aussage .“

Aufgabe: Überlege dir einige (mathematische) Aussagen, in denen du den Allquantor verwenden kannst und schreib diese auf.

Folgende Beispiele können mit dem Allquantor aufgeschrieben werden:

  1. Für jedes Auto gilt: Es fährt oder es steht.
  2. Für alle reellen Zahlen und alle natürlichen Zahlen ist .
  3. Alle Schwäne sind weiß.

Frage: Wie lauten die obigen Aussagen in Quantorenschreibweise?

Existenzquantor [Bearbeiten]

Existenzquantor
Symbol:
Bedeutung: es existiert mindestens ein
Schreibweise:

Dieser Quantor wird für Aussagen folgender Form verwendet: „Es gibt mindestens ein , so dass gilt“. Dieser Quantor heißt Existenzquantor. Sein Symbol ist ein horizontal gespiegeltes E, welches für „es Existiert mindestens ein“ steht. Analog zum Allquantor haben Existenzaussagen die Form . Diese Schreibweise steht für „Es gibt mindestens ein , so dass gilt.“ oder „Es existiert mindestens ein , für welches gilt“. Auch hier ist eine Variable und eine Aussageform, die von abhängt. In der Literatur kannst du auch die Schreibweise finden.

Wie auch beim Allquantor muss die Bezugsmenge des Quantors klar sein (z. B. aus dem Kontext). Muss die Bezugsmenge explizit angegeben werden, so kannst du die Schreibweise verwenden. Sie bedeutet: „Es gibt mindestens ein aus der Menge , für welches die Aussage wahr ist“.

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Hinweis

In der Mathematik gibt es folgende Konvention: Eine Aussage der Form „Es gibt ein …“ ist immer als Aussage der Form „Es gibt mindestens ein …“ zu verstehen.

Verständnisfrage: Übersetze folgende Aussagen in die formelle Schreibweise mit dem Existenzquantor:

  1. Es gibt eine Zahl , so dass ist.
  2. Es gibt schöne Männer.
  3. Jeder Mensch besitzt einen Seelenverwandten.

Antwort:

Eindeutiger Existenzquantor [Bearbeiten]

Eindeutiger Existenzquantor
Symbol: oder
Bedeutung: es existiert genau ein
Schreibweise:

Den letzten Quantor, den ich dir vorstellen möchte, ist der eindeutige Existenzquantor . Die Schreibweise zu diesem Quantor (der auch Eindeutigkeitsquantor genannt wird) ist . Dies bedeutet soviel wie „Es gibt genau ein , so dass die Aussageform für dieses eine wahre Aussage ist.“. Beachte den Unterschied zwischen dem Existenzquantor und dem eindeutigen Existenzquantor: Während beim Existenzquantor die Aussageform für mindestens eine Belegung von gilt, gilt beim eindeutigen Existenzquantor die Aussageform für genau eine Belegung von aus der Grundmenge.

Auch bei diesem Quantor muss sich die Bezugsmenge durch den Kontext ergeben. Wenn du sie explizit angeben möchtest, kannst du die Schreibweise verwenden. Sie ist eine Kurzschreibweise für . Eine alternative und in der Literatur auch verbreitete Schreibweise für den eindeutigen Existenzquantor ist .

Verständnisfrage: Überlege dir, ob folgende Aussagen wahr sind:

Antwort:

  1. Wahr. Da und ist, gibt es mit mindestens eine reelle Zahl, deren Quadrat gleich 4 ist.
  2. Falsch. Es ist und . Somit gibt es kein eindeutiges Element mit .
  3. Wahr. ist nämlich die einzige natürliche Zahl, deren Quadrat gleich ist. Beachte hier, dass keine natürliche Zahl ist.

Notation[Bearbeiten]

Für Ausdrücke mit Quantoren werden in der Literatur verschiedene Schreibweisen verwendet[1]. So findet man anstelle vom Ausdruck auch die Notationen:

Wir werden in diesem Projekt aber die Schreibweise verwenden. Auch kann man aufeinander folgende Quantoren von selbem Typ zusammenfassen, indem man die verschiedenen eingeführten Variablen durch Kommata trennt. So kannst du anstelle von

auch folgende Schreibweise benutzen: