Beweis – Mathe für Nicht-Freaks

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„Mathe für Nicht-Freaks“ ist ein Projekt des Serlo Education e.V.

Was sind Beweise?[Bearbeiten]

Aufbau eines Beweises

Beweise sind fehlerfreie Herleitungen mathematischer Sätze aus Axiomen und bereits bewiesenen Aussagen. Sie bestehen aus endlich vielen Teilschritten, wobei bei jedem Teilschritt streng logisch eine neue Aussage aus den vorhergehenden Aussagen geschlossen wird. Beweise spielen damit eine sehr wichtige Rolle in der Mathematik, denn jeder neue Satz einer Theorie muss durch einen Beweis begründet werden. Sätze zu beweisen ist damit eine der Hauptaufgaben (wenn nicht die Hauptaufgabe) eines Mathematikers.

Wie ist ein Beweis aufgebaut? Am Anfang eines Beweises stehen seine Prämissen. Dies sind Aussagen, die entweder Axiome der Theorie, bereits bewiesene Sätze oder Voraussetzungen des zu beweisenden Satzes sind. Dabei kommt es auf die Art des Satzes an, wie die einzelnen Voraussetzungen des Satzes konkret aussehen. Aus diesen Prämissen werden nun durch logische Schlussfolgerungen weitere Aussagen hergeleitet, aus denen wiederum durch logische Schlussfolgerungen neue Aussagen hergeleitet werden usw. Am Ende dieser Herleitungen steht die zu beweisende Aussage. Durch einen solchen Beweis (der in der rechten Abbildung skizziert ist) hat man nun folgende Aussage bewiesen:

Wie können logische Schlussfolgerungen aussehen? Stelle dir vor, du hast bereits die Implikation „Wenn , dann “ als Satz in deiner Theorie bewiesen oder es ist ein Axiom deiner Theorie oder eine Tautologie. Nimm außerdem an, du hast die Aussage bereits hergeleitet oder sie ist eine Prämisse deines Beweises. Da nun sowohl die Aussage als auch die Aussage „Wenn , dann “ gilt, kannst du dir aus beiden Aussagen die Aussage logisch erschließen und deinem Beweis hinzufügen.

Neben Implikationen können auch Äquivalenzen zur logischen Schlussfolgerung herangezogen werden. Denn wenn eine Äquivalenz gilt, so gilt sowohl die Implikation als auch die Implikation , die für logische Schlussfolgerungen nach dem obigen Prinzip verwendet werden können.

Das Ende eines Beweises wird oft durch „qed“ gekrönt. Dies steht für quod erat demonstrandum und bedeutet soviel wie „was zu beweisen war“. Auch die Symbole □ bzw. ■ sind als Markierungen für ein Beweisende verbreitet.

Beispiel[Bearbeiten]

Stelle dir vor, du möchtest folgenden Satz beweisen:

Dabei sind , und reelle Zahlen. Bei diesem Satz ist Prämisse und die zu beweisende Aussage. Wenn der Satz direkt bewiesen wird, so sieht der Beweis folgendermaßen aus (im nächsten Kapitel wird beschrieben, was ein „direkter Beweis“ ist):

Ich stelle dir nun einen möglichen Beweis für obigen Satz vor. Wundere dich nicht, wenn der Beweis „vom Himmel zu fallen“ scheint. Im nächsten Abschnitt werde ich dir erklären, warum der Beweis so aufgebaut werden musste. Dort erkläre ich dir auch, wie man den Beweis selbst finden kann. Lies dir also erst einmal nur den Beweis durch und versuche, dessen Schlussfolgerungen nachzuvollziehen.

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Beweis

Es ist (Quadratzahlen sind stets nichtnegativ). Diese Ungleichung lässt sich umformen:

Nun ist nach Voraussetzung , also . Wenn wir nun für die Variable einsetzen, erhalten wir die Ungleichung:

Dieser Beweis lässt sich folgendermaßen in einem Diagramm skizzieren:

Aufbau des Beweises in einem Diagramm dargestellt

Wenn Beweise vom Himmel fallen[Bearbeiten]

Vielleicht kennst du dieses Gefühl: Du lernst gerade einen neuen Beweis kennen und fragst dich, wie der Autor sich den Beweis „ausgedacht“ hat. Der Beweis scheint vom Himmel gefallen zu sein oder einem göttlichen Einfall entsprungen.

Bevor du dir das nächste Mal diese Frage stellst, solltest du dir Folgendes vor Augen halten: Der Beweis ist eine fehlerfreie Herleitung der Richtigkeit einer Aussage. Es ist kein Lösungsweg, sondern nur das Endergebnis eines Lösungsweges. Beweise erklären in der Regel nicht, wie man diese gefunden hat oder finden kann. Durch Beweise können zwar mathematische Konzepte und Zusammenhänge erklärt werden, dies ist aber kein wesentliches Ziel eines Beweises.

In den seltensten Fällen kann ein Mathematiker einen Beweis sofort führen (sofern er den Beweis des Satzes nicht bereits kennt). In der Regel muss er sich erst einmal auf einem Schmierblatt Gedanken über den Satz machen. Wenn er irgendwann, irgendwie (und dies kann durchaus sehr, sehr lange dauern) einen Beweis gefunden hat, schreibt er diesen als Endergebnis auf. Auch ist oft der Weg, wie der Beweis geführt wird, ein ganz anderer, als der Mathematiker im Lösungsweg auf den Beweis gekommen ist. Einem Außenstehenden, der nur den Beweis, aber nie den eigentlichen Lösungsweg zu Gesicht bekommen hat, stellt sich da natürlich die Frage, wie „man auf den Beweis kommt“.

Betrachten wir das obige Beispiel: den Beweis des Satzes . Ich habe den Beweis mit der wahren Aussage begonnen. Ein Leser kann sich hier durchaus fragen, wie ich auf diese Ungleichung gekommen bin. Diese Frage löst sich auf, wenn ich dir zeige, was auf meinem Schmierblatt stand (wie mein Lösungsweg aussah):

Mein Schmierblatt (ordentlich aufgeschrieben):

Es fällt einiges auf: Zum einen siehst du, dass mein Lösungsweg auf dem Schmierblatt nicht perfekt ist. So musste ich erst quadratisch ergänzen, bevor ich erkannt habe, dass ist. Einem findigen Mathematiker würde dies sofort auffallen. Zum anderen ist mein Lösungsweg nicht für einen Beweis geeignet: Ich beginne nicht mit der Prämisse des Satzes, sondern mit dem, was ich beweisen möchte. Dies ist problematisch, denn ich kann meinen Beweis schlecht mit dem beginnen, was ich eigentlich zeigen möchte. Am Ende erhalte ich zwar eine wahre Aussage, aber sie ist nicht die Aussage, die ich beweisen möchte. Da ich nicht deutlich gemacht habe bzw. mir überlegt habe, dass meine Termumformungen umkehrbar sind (meine Pfeile zeigen nur „nach unten“), kann ich mit Hilfe des Schmierblattes nicht begründen, dass ich von der unteren wahren Aussage meine zu beweisende Aussage herleiten kann.

Du siehst: Das, was ich auf dem Schmierblatt geschrieben habe, ist für einen Beweis ungeeignet. Deswegen musste ich den Beweis (mit Hilfe dessen, was auf meinem Schmierblatt stand) anders formulieren. Ich habe mit der wahren Aussage begonnen und aus dieser schrittweise meine Zielaussage hergeleitet.

Mein Schmierblatt erklärt nun, wieso ich mit angefangen habe und wie ich auf diese Ungleichung gekommen bin. Leider werden in den seltensten Fällen neben dem Beweis eines Satzes auch der Lösungsweg dargestellt oder die Idee dahinter genannt. Oftmals muss der Leser selbst herausfinden, wie man auf einen bestimmten Beweis selber kommen kann, was sehr schwer sein kann. Ich werde mich in diesem Buch darum bemühen, Beweise so zu formulieren, dass aus ihnen auch die Idee dahinter leicht herausgelesen werden kann.

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