Abbildung, Funktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Abbildung, Funktion[Bearbeiten]

Einführung des Begriffs der Funktion. (YouTube-Video vom Kanal Quatematik)

Ein zentrales Konzept der Mathematik ist die Abbildung, die auch Funktion genannt wird. Abbildungen sind eindeutige Zuordnungen zwischen zwei Mengen und . Dies bedeutet, dass den Elementen durch die Abbildung genau ein Element zugeordnet wird. Ein Beispiel hierfür ist die Quadratfunktion von der Menge in die Menge , die jeder reellen Zahl ihre Quadratzahl zuordnet. Die Schreibweise für Abbildungen von nach ist:

Ausgesprochen wird dieser Ausdruck so:

Die Elemente aus , denen die Abbildung ein Element aus zuordnet, bilden den Definitionsbereich von . In der Regel ist das die gesamte Menge , so dass allen Elementen aus ein Element aus zuordnet. ist die Quellmenge und ist die Zielmenge der Abbildung. Die Elemente aus dem Definitionsbereich von werden Argument und jedes durch die Abbildung getroffene Element wird Funktionswert zum Argument genannt.

Wenn nicht allen Elementen aus einen Wert zuordnet, heißt die Abbildung partiell und ist eine Abbildung aus in (und nicht von in ). In der Zielmenge müssen nicht alle Elemente Funktionswerte sein.

Hinweis

Die Begriffe "Abbildung" und "Funktion" sind beide in der Mathematik üblich und bedeuten genau dasselbe.

Beispiel (Rest bei Division mit 2)

Abbildung "Rest bei Division von x mit 2" mit Beschriftungen.svg

Hier besteht die Quellmenge aus vier Elementen. Allen Elementen wird ein Funktionswert zugeordnet, also sind alle Elemente aus Argumente und der Definitionsbereich umfasst den gesamten Quellbereich. Die Zielmenge ist . und sind Funktionswerte, die Zahl dagegen nicht, denn keine Zahl ergibt bei Division durch den Rest . Der Wertebereich ist daher eine echte Teilmenge des Zielberechs.

Die Pfeile geben die Zuordnung wider: sie gehen vom Argument zum Funktionswert und verbinden so ein Paar. Wir können daher die Zuordnung als eine Menge von Paaren aus Argument und Funktionswert beschreiben: . Mengen von Paaren haben wir bereits im Kapitel Relation kennengelernt. Abbildungen sind also Relationen! Aber nicht jede Relation ist eine Abbildung. Wie wir eingangs gesagt haben, muss die Zuordnung eindeutig sein, das heißt, von jedem Argument darf nur ein Pfeil ausgehen! Nur dann ist ein Funktionswert eindeutig bestimmt.

Fassen wir noch einmalmal zusammen, was eine Funktion ausmacht: Die Paare bilden eine Relation . Diese Relation hat eine spezielle Eigenschaft, sie ist rechtseindeutig: die linke Komponente eines Paares bestimmt eindeutig eine rechte Komponente. Anders ausgedrückt, zu jedem Element gibt es höchstens ein Element mit . Im Pfeildiagramm erkennst du die Rechtseindeutigkeit daran, dass von einem Element höchstens ein Pfeil ausgeht. Im Koordinatensystem darf es zu jedem -Wert nur einen -Wert geben.

Funktion

Wir definieren daher Abbildungen als rechtseindeutige Relationen:

Definition (Abbildung, Funktion)

Eine Abbildung oder Funktion aus der Menge in die Menge ist eine rechtseindeutige Relation . Die Relation hat also folgende Eigenschaft:

  • zu einem Element gibt es höchstens ein Element mit .

Dieses eindeutige Element wird mit bezeichnet und Funktionswert von genannt. ist der Quellbereich, ist der Zielbereich der Funktion. Die Zuordnung kann zusätzlich angegeben werden: oder auch so .

Beispiel (Quadratfunktion)

Jeder reellen Zahl wird ihr Quadrat zugeordnet:

Funktionen werden häufig im Koordinatensystem veranschaulicht, wie in der Darstellung der Funktion rechts. Dabei werden die Paare als Koordinaten aufgefasst. Diese Punktemenge wird dann als Graph der Funktion bezeichnet.

Verständnisfrage: Warum ist keine Funktion?

Antwort: Jedem positiven werden zwei verschiedene Werte zugeordnet: und

Verständnisfrage: Welche der folgenden Pfeildiagramme stellen Abbildungen aus der Menge in die Menge dar?

Antwort:

  • Pfeildiagramm 1: Abbildung
  • Pfeildiagramm 2: partielle Abbildung (dem Objekt wird kein Element aus zugeordnet)
  • Pfeildiagramm 3: keine Abbildung (dem Element werden mehrere Elemente aus zugeordnet)
  • Pfeildiagramm 4: Abbildung

Definitions- und Wertebereich [Bearbeiten]

Der Definitionsbereich einer Funktion ist unabhängig vom Quellbereich wie folgt definiert:

Definition (Definitionsbereich einer Funktion)

sei eine Funktion. Dann ist der Definitionsbereich von die Menge aller Elemente für die es einen Funktionswert gibt, formalisiert:

Ist eine Funktion von in , so gilt . Ist dagegen eine (partielle) Funktion aus in gilt .

Entsprechend zum Definitionsbereich ist der Wertebereich einer Funktion als die Menge der Funktionswerte definiert:

Definition (Wertebereich einer Funktion)

sei eine Funktion. Dann ist der Wertebereich von die Menge aller Elemente für die es einen Argument gibt, formalisiert:

Ist eine Funktion von oder aus in , so gilt: . Eine Funktion bildet immer ihren Definitionsbereich in ihren Wertebereich ab: .

Einschränkung einer Funktion[Bearbeiten]

Definition (Einschränkung einer Funktion)

Sei eine Funktion und eine Teilmenge von . Dann ist die Einschränkung von auf die Funktion, die auf mit übereinstimmt:

Für die eingeschränkte Funktion gilt: .

Verständnisaufgabe: Zeige für eine Funktion und Mengen gilt:

  1. Es ist:

  2. Es ist:

Gleichheit von Abbildungen[Bearbeiten]

Wann sind zwei Abbildungen identisch? So wie wir die Abbildung definiert haben, nämlich als Menge von Paaren, ist die Antwort einfach: zwei Abbildungen sind gleich, wenn dieselben Paare zu den Abbildungen gehören:

Dabei kommt es nicht darauf an, ob die Zuordnungsvorschriften und gleich formuliert sind! Sind zwei Funktionen gleich, so sind natürlich auch die Definitionsbereiche und die Wertebereiche gleich.

Beispiel

Beide Funktionen sind gleich:

Warnung

Oft werden Funktionen immer zusammen mit dem Quell- und dem Zielbereich betrachtet. Bei dieser Auffassung sind zwei Funktionen nur dann gleich, wenn auch die Quellbereiche und die Zielbereiche übereinstimmen!

Bild und Urbild [Bearbeiten]

Bild und Urbild

Zwei wesentliche Begriffe im Zusammenhang mit Abbildungen ist der Begriff des Bildes und der Begriff des Urbilds:

Definition (Bild)

Das Bild einer Abbildung und einer Menge ist die Menge aller Funktionswerte mit :

Notation: Es ist üblich, sowohl für den Funktionswert eines Elementes , als auch für das Bild einer Teilmenge die gleiche Schreibweise zu verwenden, nämlich mit runden Klammern. Aus dem Zusammenhang muss dann klar werden, was jeweils gemeint ist. Einige Autoren verwenden daher für das Bild einer Teilmenge eckige Klammern: .

Beispiel (Bild)

Sei . Es ist

Definition (Urbild)

Das Urbild einer Abbildung und einer Menge ist die Menge aller Argumente , die durch in die Menge abgebildet werden:

Beachte, dass auch Elemente enthalten kann, die durch nicht getroffen werden. Betrachte dazu die Abbildung auf der rechten Skizze. Die Zahl 3 wird nicht getroffen und die Zahl 4 besitzt als Funktionswert nur das Argument 6. Dementsprechend ist das Urbild von gleich der einelementigen Menge .

Beispiel (Urbild)

Sei . Es ist

Warnung

Es besteht Verwechslungsgefahr zwischen dem Urbild , der Umkehrfunktion und dem multiplikativen Inversen .

Verständnisfrage: Sei

Bestimme folgende Bilder und Urbilder (beachte die unterschiedlichen Definitions- und Zielmengen der Abbildungen!):

Antwort:

  1. – Hier müssen alle Funktionswerte bestimmt werden, die durch getroffen werden. Generell ist das Ergebnis der (reellwertigen) Quadratfunktion stets nicht negativ. Also ist das Bild eine Teilmenge von . Nun kann man auch zeigen, dass alle nicht negativen Zahlen durch getroffen werden. Sei hierfür eine nicht negative. Es ist dann stets im Definitionsbereich von enthalten. Da ist, gibt es ein Argument, welches von auf abgebildet wird.
  2. – Die Funktion hat nur die Argument und . Es ist und . Damit wird nur getroffen und das gesuchte Bild ist die einelementige Menge .
  3. – Wenn man alle Beträge der ganzen Zahlen bildet, erhält man die die Menge der natürlichen Zahlen zusammen mit der Null.
  4. – Das Bild der leeren Menge ist stets die leere Menge.
  5. – Bei der Quadratfunktion wird sowohl als auch auf abgebildet. Es ist nämlich sowohl sowie . Da beide Zahlen im Defintionsbereich von sind, sind beide Zahlen im Urbild enthalten. Durch wird nur die auf abgebildet (beachte, dass nicht im Definitionsbereich von enthalten ist). Damit ist das gesuchte Urbild.
  6. – Der Definitionsbereich von besteht nur aus der Menge . Diese Zahlen werden durch den Betrag auf die Menge abgebildet. Da die Menge in enthalten, ist der komplette Definitionsbereich das gesuchte Urbild.
  7. – Bei der Betragsfunktion wird für ein beliebiges sowohl als auch auf abgebildet. Damit ist das Urbild von gleich .
  8. – Das Urbild der leeren Menge ist stets die leere Menge.

Eigenschaften von Abbildungen [Bearbeiten]

sei eine Funktion von der Menge in die Menge . Es gelte also: .

Injektiv [Bearbeiten]

Beispiel Injektivität
Erklärung von Injektivität bei Funktionen. (YouTube-Video vom Kanal Quatematik)
Bildung der Umkehrfunktion

Wenn eine Funktion verschiedene Argumente auf verschiedene Funktionswerte abbildet, wird sie injektiv genannt. Im Pfeildiagramm injektiver Funktionen treffen niemals zwei Pfeilspitzen auf denselben Funktionswert.

Definition (Injektiv)

Eine Funktion ist injektiv, wenn sie verschiedene Argumente auf verschiedene Werte abbildet:

Zum Nachweis der Injektivität wird häufig die Kontraposition verwendet: .

Beispiel (Injektiv)

  • ist nicht Injektiv, denn alle Werte bis auf werden zweimal getroffen. Es gilt ja beispielsweise .
  • ist Injektiv, denn aus folgt .

Da ja Funktionen spezielle Relationen sind, also eine Menge von Paaren, lassen sie sich umkehren. Dazu werden alle Paare umgedreht:

Definition (Inverse Funktion)

Die inverse Funktion zu wird mit bezeichnet und ist wie folgt definiert:

Warnung

Die inverse Funktion ist im allgemeinen keine Funktion, sondern nur eine Relation.

Beispiel (Inverse Funktion)

Die inverse Funktion zur Quadratfunktion ist die Relation

Diese Relation ist nicht rechtseindeutig, denn beispielsweise gilt und aber .

Bei injektiven Funktionen dagegen ist die inverse Funktion wieder eine Funktion:

Satz (Umkehrfunktion)

Ist die Funktion injektiv, so ist auch die Umkehrung eine Funktion.

Das folgt direkt aus der Definition der Injektivität!

Beweis (Umkehrfunktion)

Sei Injektiv. Wir betrachten die Umkehrung und müssen für ein beliebiges zeigen: . Aus folgt aber und ist nichts anderes als . Das heisst aber und mit der Injektivität von folgt daraus . ✔

Surjektiv [Bearbeiten]

Beispiel Surjektivität

Eine Funktion ist surjektiv auf einer Menge , wenn alle Elemente von von der Funktion getroffen werden. Anders ausgedrückt: zu jedem Element von gibt es ein Argument , mit .

Definition (Surjektiv)

Eine Funktion ist surjektiv auf einer Menge Y, wenn alle Elemente von Y getroffen werden:

Hinweis

Die Surjektivität ist eine Eigenschaft einer Funktion und einer Menge!

Erklärung von Surjektivität bei Funktionen. (YouTube-Video vom Kanal Quatematik)

Beispiel (Surjektiv)

  • ist surjektiv auf , denn für ein beliebiges ist .
  • ist nicht surjktiv auf , denn die Quadratfunktion wird niemals negativ.

Verständnisaufgabe: Ist surjektiv auf oder auf ?

Nein, weder auf noch auf . nimmt keine negativen Werte an. Betrachten wir aber und , so ist f auf beiden Mengen surjektiv.

Satz (Surjektivität)

.

Beweis (Surjektivität)

Die Behauptung folgt mit der Definition des Wertebereichs: der umfasst alle Werte, die getroffen werden.

Bijektiv [Bearbeiten]

Beispiel Bijektivität

Eine Funktion kann sowohl injektiv als auch surjektiv auf sein. Man nennt diese Eigenschaft bijektiv. Im Pfeildiagramm ist dann jedes Element von mit genau einem Element von verbunden. Mit Hilfe von bijektiven Funktionen können Mengen hinsichtlich ihre Größe verglichen werden: gibt es eine Bijektion von auf , so haben die beiden Mengen und gleichviele Elemente. Wir werden den Größenvergleich zwischen Mengen im Kapitel Mächtigkeit von Mengen ausführlich behandeln.

Definition (Bijektiv)

Eine Funktion ist bijektiv von auf , wenn sie injektiv und surjektiv auf ist. Das heißt, jedem Element von wird genau ein Element von zugeordnet:

Erklärung von Bijektivität bei Funktionen. (YouTube-Video vom Kanal Quatematik)

Beispiel (Bijektiv)

  1. ist bijektiv.
  2. ist bijektiv
  3. ist nicht bijektiv

Erklärungen:

  1. Im Koordinatenkreuz ist diese Funktion eine Gerade mit Steigung und um eine Einheit nach oben verschoben. Wir zeigen die Injektivität: aus folgt und daraus . Für die Surjektivität sei eine beliebige reelle Zahl gegeben. Dann definieren wir das Argument und rechnen nach: . Also werden alle reellen Zahlen getroffen.
  2. In gleicher Weise zeigt man die Bijektivität von , das ist eine Parabel 3. Grades. Die Umkehrfunktion ist .
  3. Der Graph von ist die Sinuskurve. Die nimmt bekanntlich alle Werte zwischen und an. Also ist surjektiv auf dem Intervall . ist aber nicht injektiv, denn ist periodisch, das heißt, diese Werte werden immer wieder angenommen.

Funktionskomposition [Bearbeiten]

Die Funktionskomposition

Seien zwei Abbildungen und gegeben. Dann können wir die beiden Funktionen nacheinander ausführen. Wir bilden zunächst ein mit ab und erhalten . Wenn y im Definitionsbereich von liegt, können wir darauf anwenden und erhalten . Insgesamt ergibt sich . Entscheidend dabei ist, dass es ein gibt, das einerseits im Wertebereich von und andererseits im Definitionsbereich von liegt. Diese Eigenschaft benutzen wir, um die Komposition zweier Funktionen zu definieren:

Definition (Komposition von Abbildungen)

Die Komposition zweier Abbildungen und wird mit bezeichnet und ist die Menge der Paare für die es ein gibt, mit und . Formalisiert:

Gelesen wird so: erst , dann oder auch: nach .

Hinweis

Beachte dass in der Schreibweise für die Funktionskomposition diejenige Funktion, die zuerst angewandt wird, rechts steht (Hier musst du also „von rechts nach links“ lesen). Die Schreibweise meint also, dass auf erst und danach angewandt wird. Es ist also .

Satz (Komposition von Abbildungen)

Sind und Abbildungen, so ist auch die Komposition eine Abbildung und es gilt:

Zunächst müssen wir nachweisen, dass die Relation eine Abbildung, also rechtseindeutig ist.

Beweis (Komposition von Abbildungen)

Somit ist eine Abbildung.

Wenn so ist für definiert und es gibt mit . Das heisst aber . Ist umgekehrt so ist aus dem Wertebereich von und dem Definitionsbereich von . Also gibt es ein (nämlich ), für das gilt. Somit ist auch . ✔

Beachte den Unterschied in der Bedeutung der beiden Ausdrücke und . Im Ausdruck wird zunächst die Abbildung mit der Abbildung verknüpft. Es entsteht eine neue Abbildung . Diese Abbildung wird dann beim Argument ausgewertet und man erhält den Funktionswert .

Beim Ausdruck wird zunächst die Funktion an der Stelle ausgewertet und man erhält den Funktionswert . Dieser Funktionswert wird dann als Argument in der Abbildung verwendet und man erhält den Funktionswert .

Die Gleichung des obigen Satzes (zusammen mit geeigneten Quell- und Zielbereichen) in kommentierter Version lautet dann:

Verständnisfrage: Sei und . Berechne

Antwort:

Verständnisfrage: Seien und zwei Abbildungen von nach . Gilt dann ? Wieso?

Nein, dies ist nicht der Fall. Sei zum Beispiel und . Dann ist nämlich

und

Hier sieht man, dass ist. Beispielsweise ist .

Verständnisfrage: Sei bijektiv. Was ist ?

Die Identitätsfunktion auf den reellen Zahlen: .