Abbildung, Funktion – Mathe für Nicht-Freaks

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Definition[Bearbeiten]

Abbildung

Ein zentrales Konzept der Mathematik ist die Abbildung, die auch Funktion genannt wird. Abbildungen sind eindeutige Zuordnungen zwischen zwei Mengen und . Dies bedeutet, dass jedem Element durch die Abbildung genau ein Element zugeordnet wird. Ein Beispiel hierfür ist die Quadratfunktion von der Menge in die Menge , die jeder reellen Zahl ihre Quadratzahl zuordnet.

Die Schreibweise für Abbildungen von nach ist

mit der Sprechweise

Dabei ist die Definitionsmenge und die Zielmenge der Abbildung. Jedes Element der Definitionsmenge wird Argument und jedes durch die Abbildung getroffene Element wird Funktionswert zum Argument genannt:

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Definition (Abbildung)

Eine Abbildung ist eine eindeutige Zuordnung der Definitionsmenge in die Zielmenge . Sie ist also eine Zuordnung, die jedem Argument genau einen Funktionswert zuordnet.

Verständnisfrage: Welche der folgenden Pfeildiagramme stellen Abbildungen von der Menge in die Menge dar?

Antwort:

  • Pfeildiagramm 1: Abbildung
  • Pfeildiagramm 2: keine Abbildung (dem Objekt wird kein Element aus zugeordnet)
  • Pfeildiagramm 3: keine Abbildung (dem Objekt wird kein Element aus zugeordnet; dem Element werden mehrere Elemente aus zugeordnet)
  • Pfeildiagramm 4: Abbildung

Bild und Urbild [Bearbeiten]

Bild und Urbild

Zwei wesentliche Begriffe im Zusammenhang mit Abbildungen ist der Begriff des Bildes und der Begriff des Urbilds:

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Definition (Bild)

Das Bild einer Abbildung und einer Menge ist die Menge aller Funktionswerte mit :

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Beispiel (Bild)

Sei . Es ist

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Definition (Urbild)

Das Urbild einer Abbildung und einer Menge ist die Menge aller Argumente , die durch in die Menge abgebildet werden:

Beachte, dass auch Elemente enthalten kann, die durch nicht getroffen werden. Betrachte dazu die Abbildung auf der rechten Skizze. Die Zahl 3 wird nicht getroffen und die Zahl 4 besitzt als Funktionswert nur das Argument 6. Dementsprechend ist das Urbild von gleich der einelementigen Menge .

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Beispiel (Urbild)

Sei . Es ist

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Warnung

Es besteht Verwechslungsgefahr zwischen dem Urbild , der Umkehrfunktion und dem multiplikativen Inversen .

Verständnisfrage: Sei

Bestimme folgende Bilder und Urbilder (beachte die unterschiedlichen Definitions- und Zielmengen der Abbildungen!):

Antwort:

  1. – Hier müssen alle Funktionswerte bestimmt werde, die durch getroffen werden. Generell ist das Ergebnis der (reellwertigen) Quadratfunktion stets nicht negativ. Also ist das Bild eine Teilmenge von . Nun kann man auch zeigen, dass alle nicht negativen Zahlen durch getroffen werden. Sei hierfür eine nicht negative. Es ist dann stets im Definitionsbereich von enthalten. Da ist, gibt es ein Argument, welches von auf abgebildet wird.
  2. – Die Funktion hat nur die Argument und . Es ist und . Damit wird nur getroffen und das gesuchte Bild ist die einelementige Menge .
  3. – Wenn man alle Beträge der ganzen Zahlen bildet, erhält man die die Menge der natürlichen Zahlen zusammen mit der Null.
  4. – Das Bild der leeren Menge ist stets die leere Menge.
  5. – Bei der Quadratfunktion wird sowohl als auch auf abgebildet. Es ist nämlich sowohl sowie . Da beide Zahlen im Defintionsbereich von sind, sind beide Zahlen im Urbild enthalten. Durch wird nur die auf abgebildet (beachte, dass nicht im Definitionsbereich von enthalten ist). Damit ist das gesuchte Urbild.
  6. – Der Definitionsbereich von besteht nur aus der Menge . Diese Zahlen werden durch den Betrag auf die Menge abgebildet. Da die Menge in enthalten, ist der komplette Definitionsbereich das gesuchte Urbild.
  7. – Bei der Betragsfunktion wird für ein beliebiges sowohl als auch auf abgebildet. Damit ist das Urbild von gleich .
  8. – Das Urbild der leeren Menge ist stets die leere Menge.

Definition durch Relationen[Bearbeiten]

Eine Abbildung kann auch als Relation zwischen der Definitionsmenge und der Zielmenge aufgefasst werden. Dabei fasst man eine Zuordnung zwischen einem Argument und dem dazugehörigen Funktionswert als Relation zwischen und auf. Nach der Definition der Relation ist dann eine Teilmenge des kartesischen Produkts .

Jedoch erfüllt nicht jede Relation zwischen und die Eigenschaft der Abbildung, dass jedem Argument genau ein Funktionswert zugeordnet wird. Dementsprechend muss eine Relation folgende zusätzliche Eigenschaften erfüllen, um eine Abbildung zu sein:

  1. Jedes Element des Definitionsbereichs muss in mindestens einer Relation zu einem Element der Zielmenge stehen.
  2. Für jedes Element des Definitionsbereiches gibt es höchstens ein Element der Zielmenge, mit dem in Relation steht.

Frage: Wie lauten die obigen Aussagen in formaler, aussagenlogischer Schreibweise?

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Definition (Definition von Abbildungen durch Relationen)

Eine Abbildung ist eine Relation zwischen den Mengen und , welche folgende Eigenschaften erfüllt:

  1. Jedes Element des Definitionsbereichs muss in mindestens einer Relation zu einem Element der Zielmenge stehen.
  2. Für jedes Element des Definitionsbereiches gibt es höchstens ein Element der Zielmenge, mit dem in Relation steht.

Eigenschaften von Abbildungen [Bearbeiten]

Eigenschaft Definition Definition in formaler Schreibweise Beispiel
injektiv
  • Verschiedene Argumente werden auf verschiedene Funktionswerte abgebildet.
  • Jeder Funktionswert besitzt höchstens ein Urbild.
  • Ist , dann ist

oder äquivalent:

Beispiel Injektivität
surjektiv
  • Jeder Funktionswert wird mindestens einmal durch die Abbildung getroffen.
  • Jeder Funktionswert besitzt mindestens ein Urbild.

Beispiel Surjektivität
bijektiv bzw. umkehrbar
  • Die Abbildung ist surjektiv und injektiv.
  • Jeder Funktionswert besitzt genau ein Urbild.
  • Es gibt für die Funktion eine Umkehrfunktion.

Beispiel Bijektivität

Wieso sind Abbildungen mit obigen Eigenschaften cool?[Bearbeiten]

Bildung der Umkehrfunktion

injektiv: Injektive Abbildungen haben die schöne Eigenschaft, dass aus der Gleichung automatisch folgt. Dies ist insbesondere bei der Umformung von Gleichungen hilfreich.

bijektiv: Bijektive Abbildungen sind umkehrbar. Dies bedeutet, dass man eine neue Abbildung von der ursprünglichen Zielmenge in die ursprüngliche Definitionsmenge definieren kann, so dass für alle ist.

surjektiv: Surjektive Abbildungen erlauben es dir für jedes Element ein (im Allgemeinen nicht eindeutiges) Element zu finden, sodass gilt. Vielleicht findest du surjektive Funktionen auf den ersten Blick langweilig, da jede Funktion in ihr Bild surjektiv ist. Dennoch ist es oftmals die Eigenschaft, die am schwierigsten nachzuprüfen ist. Beispielsweise ist es einfach, eine injektive Funktion zu finden. Wenn wir nun zeigen könnten, dass diese Funktion surjektiv ist, so besitzen die beiden Mengen und die gleiche Mächtigkeit, sind also gleich groß. In der Tat ist dies mit Hilfe von Cantors erstem Diagonalargument möglich, woraus das bemerkenswerte Resultat folgt, dass die beiden Mengen und gleich mächtig sind. Dieses Beispiel, welches im Kapitel Mächtigkeit von Mengen vertieft wird, soll dir zeigen, dass der 'Coolness-Faktor' der Surjektivität durch interessante und kontraintuitive Zielmengen ins Spiel kommt.

Gleichheit von Abbildungen[Bearbeiten]

Wann sind zwei Abbildungen identisch? Intuitiv könnte man antworten, dass zwei Abbildungen genau dann identisch sind, wenn sie dieselbe Zuordnungsvorschrift besitzen. Die Gleichheit der Zuordnungsvorschrift ist aber nicht ausreichend. Dies werde ich dir an folgendem Beispiel zeigen:

Frage: Welche der folgenden Funktionen sind injektiv und welche sind surjektiv?

Antwort:

  1. weder injektiv noch surjektiv
  2. injektiv aber nicht surjektiv
  3. nicht injektiv aber surjektiv
  4. injektiv und surjektiv

Am obigen Beispiel erkennst du, dass die Abbildungen bis zwar dieselbe Zuordnungsvorschrift , aber dennoch unterschiedliche Eigenschaften besitzen, da sie unterschiedliche Definitions- und Zielmengen haben. Dementsprechend können bis nicht identisch sein, da identische Abbildungen auch identische Eigenschaften haben sollten.

Die Zuordnungsvorschrift ist für die Gleichheit zweier Abbildungen ein zu schwaches Kriterium. Es zeigt sich, dass für die Gleichheit zweier Abbildungen neben der Zuordnungsvorschrift auch die Definitions- und die Zielmenge beider Abbildungen gleich sein müssen:

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Definition (Gleichheit von Abbildungen)

Zwei Abbildungen und sind genau dann identisch, wenn , und für alle ist.

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To-Do:

Hier kommt noch nicht raus, dass die "Abbildungsvorschriften" durchaus unterschiedlich aussehen können, auch wenn die Abbildungen eigentlich gleich sind.

Funktionskomposition [Bearbeiten]

Die Funktionskomposition

Seien zwei Abbildungen und gegeben. Die Komposition dieser beiden Abbildungen ist diejenige Abbildung von , die jedes auf abbildet:

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Definition (Komposition von Abbildungen)

Die Komposition zweier Abbildungen und ist definiert durch

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Hinweis

Beachte dass in der Schreibweise für die Funktionskomposition diejenige Funktion, die zuerst angewandt wird, rechts steht (Hier musst du also „von rechts nach links“ lesen). Die Schreibweise meint also, dass auf erst und danach angewandt wird. Es ist also .

Ich möchte dir gerne noch den Unterschied in der Schreibweise und erklären. In der Schreibweise wird zunächst die Abbildung mit der Abbildung verknüpft. Es entsteht eine neue Abbildung . Diese Abbildung wird dann beim Argument ausgewertet und man erhält den Funktionswert .

Beim Ausdruck wird zunächst die Funktion an der Stelle ausgewertet und man erhält den Funktionswert . Dieser Funktionswert wird dann als Argument in der Abbildung verwendet und man erhält den Funktionswert .

Die Gleichung der obigen Definition in kommentierter Version lautet dann:

Verständnisfrage: Sei und . Berechne

Antwort:

Verständnisfrage: Seien und zwei Abbildungen von nach . Gilt dann ? Wieso?

Nein, dies ist nicht der Fall. Sei zum Beispiel und . Dann ist nämlich

und

Hier sieht man, dass ist. Beispielsweise ist .