Die Aussage „Wenn der Hahn kräht auf dem Mist, dann ändert sich das Wetter oder es bleibt wie es ist.“ ist eine Tautologie.
Es gibt Aussagen, die sind immer wahr. Das klassische Beispiel hierfür ist die Bauernregel: „Wenn der Hahn kräht auf dem Mist, dann ändert sich das Wetter oder es bleibt wie es ist.“
stehe für die Aussage „Der Hahn kräht auf dem Mist“ und
für „Das Wetter ändert sich“, dann können wir diese Bauernregel folgendermaßen formalisieren:
Da Aussagen entweder „wahr“ oder „falsch“ sind, ist leicht zu sehen, dass die Bauernregel immer wahr ist. Dabei kommt es überhaupt nicht darauf an, ob der Hahn kräht oder nicht. Denn
oder
– eine dieser beiden Aussagen ist wahr. Es spielt auch keine Rolle, was genau mit
gemeint ist: es muss nur eine Aussage sein!
könnte auch für die Behauptung stehen: „Es gibt kleine, grüne Männchen auf dem Mars.“
Woran liegt es, dass diese Aussage immer wahr ist? Es liegt daran, wie die Aussage mit Junktoren aus Teilaussagen zusammengebaut ist. Wir wissen, dass die Negation
den Wahrheitswert umdreht: aus
wird
und umgekehrt aus
wird
. Die Oder-Verbindung
wird wahr, wenn eine der beiden Teilaussagen wahr ist. Also ist
immer wahr. Die Implikation
ist nur dann falsch, wenn die Prämisse
wahr ist und die Konklusion
falsch ist. In unserem Beispiel aber ist die Konklusion
immer wahr. Daher ist auch
immer wahr. Mit Junktoren zusammengesetzte Aussagen, die immer wahr sind, werden Tautologien oder auch allgemeingültige Aussagen genannt:
Definition (Tautologie)
Eine mit Junktoren zusammengesetzte Aussage heißt tautologisch oder allgemeingültig, wenn sie bei jeder möglichen Interpretation seiner Teilaussagen mit Wahrheitswerten wahr ist.
Besonders wichtige Tautologien sind Äquivalenzen. Zwei Aussagen
und
sind nämlich genau dann äquivalent, wenn die zusammengesetzte Aussage
eine Tautologie ist. Das wird oft bei Beweisen genutzt. Statt direkt die Aussage
zu beweisen, wird eine dazu äquivalente Aussage
gezeigt.
Beispiel (Äquivalente Aussagen)
Die folgenden drei Aussagen sind äquivalent:

(Kontraposition)
(Widerspruchsbeweis)
Es sind also tautologisch:


Eine alternative Formulierung des Widerspruchbeweises ist im Übrigen
.
Überprüfung einer Tautologie[Bearbeiten]
Wir werden jetzt drei Möglichkeiten vorstellen, wie du überprüfen kannst, ob eine Aussage eine Tautologie ist oder nicht. Alle diese Möglichkeiten sollen am Beispiel der Kontraposition
demonstriert werden.
Wahrheitstabelle erstellen[Bearbeiten]
Erklärung der Äquivalenz von dem direktem Beweis, der Kontraposition und dem Widerspruchsbeweis. (
YouTube-Video vom Kanal
Quatematik)
Eine Methode ist es, eine Wahrheitstabelle für die zu untersuchende Aussage aufzustellen, vgl. Kapitel „Wahrheitstabelle“. Wenn in der letzten Spalte der Wahrheitstabelle nur „wahr“ als resultierender Wahrheitswert auftritt, ist die untersuchte Aussage eine Tautologie. Sobald ein resultierender Wahrheitswert „falsch“ ist, ist die Aussage keine Tautologie.
Aufgabe: Stelle die Wahrheitstabelle für
auf.
Aufgabe: Stelle die Wahrheitstabelle für
auf.
Aufgabe: Stelle die Wahrheitstabelle für
auf.
Aufgabe: Stelle die Wahrheitstabelle für
auf.
Äquivalenzumformungen verwenden[Bearbeiten]
Wenn du die Tautologie einer Äquivalenz
beweisen musst, kannst du versuchen, die Aussage
durch bereits bekannte Äquivalenzbeziehungen in die Aussage
umzuformen. Für unser Beispiel nehmen wir an, dass wir die folgenden Äquivalenzen bereits kennen:
(Umformung der Implikation)
(Kommutativität von
)
Mit diesen beiden Äquivalenzen können wir die Kontraposition beweisen:
Diese Methode ist eine Art des Widerspruchsbeweises. Du beweist hier, dass eine Aussage
eine Tautologie ist, indem du zeigst, dass diese Aussage nie falsch sein kann, weil sich sonst ein Widerspruch ergibt. Dabei zerlegst du die zu untersuchende Aussage schrittweise in ihre Teilaussagen und schaust dir nur diejenigen Fälle an, die zu einer falschen Aussage führen würden.
Nehmen wir an, dass
falsch ist. Dann muss entweder
falsch sein und
wahr sein oder umgekehrt. Im ersten Fall muss
und
sein. Dies ist aber ein Widerspruch dazu, dass
wahr ist (weil für
und
die Aussage
falsch ist).
Im zweiten Fall muss
und
sein. Dies bedeutet
und
. Aber auch das führt zu einem Widerspruch, weil
ist (für
und
ist die Aussage
falsch). Schematisch könnte man dies in einem Baum darstellen (deswegen auch der Name). Dabei stellt jeder Ast einen zu betrachtenden Fall dar:
Liste von Tautologien[Bearbeiten]
Bei der Disjunktion und bei der Konjunktion ist es egal, in welcher Reihenfolge du die Aussagen auswertest:


Bei der Disjunktion und bei der Konjunktion ist es egal, in welcher Reihenfolge die einzelnen Teilaussagen verknüpft werden. Dies ist in der deutschen Sprache nicht unbedingt der Fall. Betrachte dazu folgende zwei Aussagen, welche in der Bedeutung einen leichten Unterschied aufweisen: „Ralf aß Haferbrei und er bekam Bauchschmerzen“ und „Er bekam Bauchschmerzen und Ralf aß Haferbrei“.


Eine Disjunktion kann in eine Konjunktion hineingezogen werden und umgekehrt.






Doppelte Verneinung[Bearbeiten]

Satz vom ausgeschlossenen Dritten[Bearbeiten]
(lateinisch: tertium non datur, übersetzt: ein Drittes gibt es nicht.)
Satz vom Widerspruch[Bearbeiten]

Durch Anwendung der de Morganschen Regel, der doppelten Verneinung und der Kommutativität lässt sich der Satz vom Widerspruch in den Satz vom ausgeschlossenen Dritten umformen:
Die Morgansche Regel[Bearbeiten]
Bei der Negation einer Und- beziehungsweise einer Oder-Verknüpfung wird die Negation reingezogen und die Klammer aufgelöst. Aus einem
wird dabei ein
und umgekehrt.


Negation von Implikation und Äquivalenz[Bearbeiten]



Prinzip der Kontraposition[Bearbeiten]
Diese Äquivalenz wird oft genutzt, um eine Implikation zu beweisen, Redewendung: Beweis der Kontraposition.

Beweis durch Widerspruch[Bearbeiten]
Auch mit Hilfe der folgenden Äquivalenz kann eine Implikation bewiesen werden, Redewendung: Beweis durch Widerspruch.


Darstellung von Implikation und Äquivalenz[Bearbeiten]
Mit Hilfe dieser Gesetze kann die Implikation und die Äquivalenz auf Aussagen mit anderen Junktoren zurückgeführt werden.



Gesetze mit Wahr und Falsch[Bearbeiten]
Im Folgenden steht
für „wahr“ und
für „falsch“.
und
können als 0-stellige Junktoren angesehen werden.
(Aus Falschem folgt Beliebiges.)





(Wird gelegentlich als Definition für
verwendet.)